Глава IV. § 17. Десятичные и натуральные логарифмы — с. 99
301. Вычислить с помощью микрокалькулятора:
1) lg 23;
2) lg 7;
3) lg 0,37;
4) lg (2/3).
1) lg 23;
2) lg 7;
3) lg 0,37;
4) lg (2/3).
На микрокалькуляторе используем клавишу lg.
1) lg 23 ≈ 1,3617.
2) lg 7 ≈ 0,8451.
3) lg 0,37 ≈ −0,4318.
4) lg (2/3) ≈ −0,1761.
Ответ: 1) ≈ 1,3617; 2) ≈ 0,8451; 3) ≈ −0,4318; 4) ≈ −0,1761.
1) lg 23 ≈ 1,3617.
2) lg 7 ≈ 0,8451.
3) lg 0,37 ≈ −0,4318.
4) lg (2/3) ≈ −0,1761.
Ответ: 1) ≈ 1,3617; 2) ≈ 0,8451; 3) ≈ −0,4318; 4) ≈ −0,1761.
302. Вычислить с помощью микрокалькулятора:
1) ln 81;
2) ln 2;
3) ln 0,17;
4) ln (6/7).
1) ln 81;
2) ln 2;
3) ln 0,17;
4) ln (6/7).
На микрокалькуляторе используем клавишу ln.
1) ln 81 ≈ 4,3944.
2) ln 2 ≈ 0,6931.
3) ln 0,17 ≈ −1,7720.
4) ln (6/7) ≈ −0,1542.
Ответ: 1) ≈ 4,3944; 2) ≈ 0,6931; 3) ≈ −1,7720; 4) ≈ −0,1542.
1) ln 81 ≈ 4,3944.
2) ln 2 ≈ 0,6931.
3) ln 0,17 ≈ −1,7720.
4) ln (6/7) ≈ −0,1542.
Ответ: 1) ≈ 4,3944; 2) ≈ 0,6931; 3) ≈ −1,7720; 4) ≈ −0,1542.
303. Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1) log₇ 25;
2) log₅ 8;
3) log₉ 0,75;
4) log_(0,75) 1,13.
1) log₇ 25;
2) log₅ 8;
3) log₉ 0,75;
4) log_(0,75) 1,13.
По формуле перехода log_(a) b = lg b / lg a.
1) log₇ 25 = lg 25 / lg 7 ≈ 1,3979 / 0,8451 ≈ 1,65.
2) log₅ 8 = lg 8 / lg 5 ≈ 0,9031 / 0,6990 ≈ 1,29.
3) log₉ 0,75 = lg 0,75 / lg 9 ≈ −0,1249 / 0,9542 ≈ −0,13.
4) log_(0,75) 1,13 = lg 1,13 / lg 0,75 ≈ 0,0531 / (−0,1249) ≈ −0,42.
Ответ: 1) ≈ 1,65; 2) ≈ 1,29; 3) ≈ −0,13; 4) ≈ −0,42.
1) log₇ 25 = lg 25 / lg 7 ≈ 1,3979 / 0,8451 ≈ 1,65.
2) log₅ 8 = lg 8 / lg 5 ≈ 0,9031 / 0,6990 ≈ 1,29.
3) log₉ 0,75 = lg 0,75 / lg 9 ≈ −0,1249 / 0,9542 ≈ −0,13.
4) log_(0,75) 1,13 = lg 1,13 / lg 0,75 ≈ 0,0531 / (−0,1249) ≈ −0,42.
Ответ: 1) ≈ 1,65; 2) ≈ 1,29; 3) ≈ −0,13; 4) ≈ −0,42.
304. Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1) log₇ 5;
2) log₈ 15;
3) log_(0,7) 9;
4) log_(1,1) 0,23.
1) log₇ 5;
2) log₈ 15;
3) log_(0,7) 9;
4) log_(1,1) 0,23.
По формуле перехода log_(a) b = ln b / ln a.
1) log₇ 5 = ln 5 / ln 7 ≈ 1,6094 / 1,9459 ≈ 0,83.
2) log₈ 15 = ln 15 / ln 8 ≈ 2,7081 / 2,0794 ≈ 1,30.
3) log_(0,7) 9 = ln 9 / ln 0,7 ≈ 2,1972 / (−0,3567) ≈ −6,16.
4) log_(1,1) 0,23 = ln 0,23 / ln 1,1 ≈ −1,4697 / 0,0953 ≈ −15,42.
Ответ: 1) ≈ 0,83; 2) ≈ 1,30; 3) ≈ −6,16; 4) ≈ −15,42.
1) log₇ 5 = ln 5 / ln 7 ≈ 1,6094 / 1,9459 ≈ 0,83.
2) log₈ 15 = ln 15 / ln 8 ≈ 2,7081 / 2,0794 ≈ 1,30.
3) log_(0,7) 9 = ln 9 / ln 0,7 ≈ 2,1972 / (−0,3567) ≈ −6,16.
4) log_(1,1) 0,23 = ln 0,23 / ln 1,1 ≈ −1,4697 / 0,0953 ≈ −15,42.
Ответ: 1) ≈ 0,83; 2) ≈ 1,30; 3) ≈ −6,16; 4) ≈ −15,42.
305. Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7:
1) log₅ 3;
2) lg 6;
3) log₂ 7;
4) log₅ (1/3);
5) lg 7;
6) log₃ 7.
1) log₅ 3;
2) lg 6;
3) log₂ 7;
4) log₅ (1/3);
5) lg 7;
6) log₃ 7.
По формуле перехода log_(a) b = log₇ b / log₇ a.
1) log₅ 3 = log₇ 3 / log₇ 5.
2) lg 6 = log₇ 6 / log₇ 10.
3) log₂ 7 = log₇ 7 / log₇ 2 = 1 / log₇ 2.
4) log₅ (1/3) = log₇ (1/3) / log₇ 5 = −log₇ 3 / log₇ 5.
5) lg 7 = 1 / log₇ 10.
6) log₃ 7 = 1 / log₇ 3.
Ответ: 1) log₇ 3 / log₇ 5; 2) log₇ 6 / log₇ 10; 3) 1 / log₇ 2; 4) −log₇ 3 / log₇ 5; 5) 1 / log₇ 10; 6) 1 / log₇ 3.
1) log₅ 3 = log₇ 3 / log₇ 5.
2) lg 6 = log₇ 6 / log₇ 10.
3) log₂ 7 = log₇ 7 / log₇ 2 = 1 / log₇ 2.
4) log₅ (1/3) = log₇ (1/3) / log₇ 5 = −log₇ 3 / log₇ 5.
5) lg 7 = 1 / log₇ 10.
6) log₃ 7 = 1 / log₇ 3.
Ответ: 1) log₇ 3 / log₇ 5; 2) log₇ 6 / log₇ 10; 3) 1 / log₇ 2; 4) −log₇ 3 / log₇ 5; 5) 1 / log₇ 10; 6) 1 / log₇ 3.
306. Вычислить:
1) 5^(lg 625 / lg 25);
2) log_(1/4) (log₃ 4 · log₂ 3).
1) 5^(lg 625 / lg 25);
2) log_(1/4) (log₃ 4 · log₂ 3).
1) lg 625 / lg 25 = log₂₅ 625 = 2, значит 5^2 = 25.
2) По формуле перехода log₃ 4 · log₂ 3 = (log₂ 4 / log₂ 3) · log₂ 3 = log₂ 4 = 2. Тогда log_(1/4) 2 = log_(2^(−2)) 2 = −1/2.
Ответ: 1) 25; 2) −1/2.
2) По формуле перехода log₃ 4 · log₂ 3 = (log₂ 4 / log₂ 3) · log₂ 3 = log₂ 4 = 2. Тогда log_(1/4) 2 = log_(2^(−2)) 2 = −1/2.
Ответ: 1) 25; 2) −1/2.
307. Решить уравнение:
1) log₅ x = 2 log₅ 3 + 4 log₂₅ 2;
2) log₂ x − 2 log_(1/2) x = 9;
3) log₃ x = 9 log₂₇ 8 − 3 log₃ 4;
4) log₉ x² + log_(√3) x = 3;
5) log₂ x + log₈ x = 8;
6) log₄ x − log₁₆ x = 1/4.
1) log₅ x = 2 log₅ 3 + 4 log₂₅ 2;
2) log₂ x − 2 log_(1/2) x = 9;
3) log₃ x = 9 log₂₇ 8 − 3 log₃ 4;
4) log₉ x² + log_(√3) x = 3;
5) log₂ x + log₈ x = 8;
6) log₄ x − log₁₆ x = 1/4.
Во всех пунктах ОДЗ: x > 0.
1) 4 log₂₅ 2 = 2 log₅ 2, поэтому log₅ x = log₅ 9 + log₅ 4 = log₅ 36, x = 36.
2) log_(1/2) x = −log₂ x, уравнение: 3 log₂ x = 9, log₂ x = 3, x = 8.
3) 9 log₂₇ 8 = 3 log₃ 8; log₃ x = 3 log₃ 8 − 3 log₃ 4 = 3 log₃ 2, x = 8.
4) При x > 0: log₉ x² = log₃ x, log_(√3) x = 2 log₃ x. Тогда 3 log₃ x = 3, log₃ x = 1, x = 3.
5) log₈ x = (1/3) log₂ x, значит (4/3) log₂ x = 8, log₂ x = 6, x = 64.
6) log₄ x = (1/2) log₂ x, log₁₆ x = (1/4) log₂ x; (1/4) log₂ x = 1/4, log₂ x = 1, x = 2.
Ответ: 1) 36; 2) 8; 3) 8; 4) 3; 5) 64; 6) 2.
1) 4 log₂₅ 2 = 2 log₅ 2, поэтому log₅ x = log₅ 9 + log₅ 4 = log₅ 36, x = 36.
2) log_(1/2) x = −log₂ x, уравнение: 3 log₂ x = 9, log₂ x = 3, x = 8.
3) 9 log₂₇ 8 = 3 log₃ 8; log₃ x = 3 log₃ 8 − 3 log₃ 4 = 3 log₃ 2, x = 8.
4) При x > 0: log₉ x² = log₃ x, log_(√3) x = 2 log₃ x. Тогда 3 log₃ x = 3, log₃ x = 1, x = 3.
5) log₈ x = (1/3) log₂ x, значит (4/3) log₂ x = 8, log₂ x = 6, x = 64.
6) log₄ x = (1/2) log₂ x, log₁₆ x = (1/4) log₂ x; (1/4) log₂ x = 1/4, log₂ x = 1, x = 2.
Ответ: 1) 36; 2) 8; 3) 8; 4) 3; 5) 64; 6) 2.
308. Дано: log₇ 2 = m. Найти: log₄₉ 28.
log₄₉ 28 = log_(7²) 28 = (1/2) log₇ 28 = (1/2) (log₇ 4 + log₇ 7) = (1/2)(2m + 1) = m + 1/2.
Ответ: m + 1/2.
Ответ: m + 1/2.
309. Дано: lg 3 = m, lg 5 = n. Найти: log₁₅ 30.
log₁₅ 30 = lg 30 / lg 15 = (lg 3 + lg 10) / (lg 3 + lg 5) = (m + 1)/(m + n).
Ответ: (m + 1)/(m + n).
Ответ: (m + 1)/(m + n).
310. Дано: log₆ 2 = m. Найти: log₂₄ 72.
Перейдём к основанию 6: log₂₄ 72 = log₆ 72 / log₆ 24.
log₆ 72 = log₆ (36 · 2) = 2 + m.
log₆ 24 = log₆ (6 · 4) = 1 + 2m.
Ответ: (2 + m)/(1 + 2m).
log₆ 72 = log₆ (36 · 2) = 2 + m.
log₆ 24 = log₆ (6 · 4) = 1 + 2m.
Ответ: (2 + m)/(1 + 2m).
311. Дано: log₃₆ 8 = m. Найти: log₃₆ 9.
8 = 2³, значит log₃₆ 8 = 3 log₃₆ 2 = m, log₃₆ 2 = m/3. Тогда log₃₆ 4 = 2m/3. Так как 9 = 36/4, log₃₆ 9 = log₃₆ 36 − log₃₆ 4 = 1 − 2m/3.
Ответ: 1 − 2m/3.
Ответ: 1 − 2m/3.
312. Вычислить:
1) log₃ 216 / log₈ 3 − log₃ 24 / log₇₂ 3;
2) log₂ 192 / log₁₂ 2 − log₂ 24 / log₉₆ 2.
1) log₃ 216 / log₈ 3 − log₃ 24 / log₇₂ 3;
2) log₂ 192 / log₁₂ 2 − log₂ 24 / log₉₆ 2.
1/log₈ 3 = log₃ 8 и 1/log₇₂ 3 = log₃ 72.
1) Пусть u = log₃ 2. Тогда log₃ 216 = 3 + 3u, log₃ 8 = 3u, log₃ 24 = 1 + 3u, log₃ 72 = 2 + 3u. Выражение: (3 + 3u) · 3u − (1 + 3u)(2 + 3u) = 9u + 9u² − 2 − 9u − 9u² = −2.
2) 1/log₁₂ 2 = log₂ 12, 1/log₉₆ 2 = log₂ 96. Пусть v = log₂ 3: log₂ 192 = 6 + v, log₂ 12 = 2 + v, log₂ 24 = 3 + v, log₂ 96 = 5 + v. Выражение: (6 + v)(2 + v) − (3 + v)(5 + v) = 12 + 8v + v² − 15 − 8v − v² = −3.
Ответ: 1) −2; 2) −3.
1) Пусть u = log₃ 2. Тогда log₃ 216 = 3 + 3u, log₃ 8 = 3u, log₃ 24 = 1 + 3u, log₃ 72 = 2 + 3u. Выражение: (3 + 3u) · 3u − (1 + 3u)(2 + 3u) = 9u + 9u² − 2 − 9u − 9u² = −2.
2) 1/log₁₂ 2 = log₂ 12, 1/log₉₆ 2 = log₂ 96. Пусть v = log₂ 3: log₂ 192 = 6 + v, log₂ 12 = 2 + v, log₂ 24 = 3 + v, log₂ 96 = 5 + v. Выражение: (6 + v)(2 + v) − (3 + v)(5 + v) = 12 + 8v + v² − 15 − 8v − v² = −3.
Ответ: 1) −2; 2) −3.
313. Решить уравнение:
1) log₂² x − 9 log₈ x = 4;
2) 16 log₁₆² x + 3 log₄ x − 1 = 0;
3) log₃² x + 5 log₉ x − 1,5 = 0;
4) log₃² x − 15 log₂₇ x + 6 = 0.
1) log₂² x − 9 log₈ x = 4;
2) 16 log₁₆² x + 3 log₄ x − 1 = 0;
3) log₃² x + 5 log₉ x − 1,5 = 0;
4) log₃² x − 15 log₂₇ x + 6 = 0.
ОДЗ: x > 0 (log_(a)² x означает (log_(a) x)²).
1) Пусть t = log₂ x, тогда log₈ x = t/3: t² − 3t − 4 = 0, t = 4 или t = −1. x = 16 или x = 1/2.
2) Пусть t = log₂ x, log₁₆ x = t/4, log₄ x = t/2: 16 · t²/16 + 3t/2 − 1 = 0 ⇒ 2t² + 3t − 2 = 0, D = 25, t = 1/2 или t = −2. x = √2 или x = 1/4.
3) Пусть s = log₃ x, log₉ x = s/2: s² + 5s/2 − 3/2 = 0 ⇒ 2s² + 5s − 3 = 0, D = 49, s = 1/2 или s = −3. x = √3 или x = 1/27.
4) Пусть s = log₃ x, log₂₇ x = s/3: s² − 5s + 6 = 0, s = 2 или s = 3. x = 9 или x = 27.
Ответ: 1) 1/2; 16; 2) 1/4; √2; 3) 1/27; √3; 4) 9; 27.
1) Пусть t = log₂ x, тогда log₈ x = t/3: t² − 3t − 4 = 0, t = 4 или t = −1. x = 16 или x = 1/2.
2) Пусть t = log₂ x, log₁₆ x = t/4, log₄ x = t/2: 16 · t²/16 + 3t/2 − 1 = 0 ⇒ 2t² + 3t − 2 = 0, D = 25, t = 1/2 или t = −2. x = √2 или x = 1/4.
3) Пусть s = log₃ x, log₉ x = s/2: s² + 5s/2 − 3/2 = 0 ⇒ 2s² + 5s − 3 = 0, D = 49, s = 1/2 или s = −3. x = √3 или x = 1/27.
4) Пусть s = log₃ x, log₂₇ x = s/3: s² − 5s + 6 = 0, s = 2 или s = 3. x = 9 или x = 27.
Ответ: 1) 1/2; 16; 2) 1/4; √2; 3) 1/27; √3; 4) 9; 27.
314. Вычислить (не используя микрокалькулятор):
1) log₅ 2 / log₅ 6 + log₄ 3 / log₄ 6;
2) (log₇ 2 + 1 / log₅ 7) lg 7;
3) 2 log₂ 3 / log₄ 9.
1) log₅ 2 / log₅ 6 + log₄ 3 / log₄ 6;
2) (log₇ 2 + 1 / log₅ 7) lg 7;
3) 2 log₂ 3 / log₄ 9.
1) log₅ 2 / log₅ 6 = log₆ 2, log₄ 3 / log₄ 6 = log₆ 3; сумма log₆ 6 = 1.
2) 1/log₅ 7 = log₇ 5, поэтому в скобках log₇ 2 + log₇ 5 = log₇ 10. Произведение log₇ 10 · lg 7 = (lg 10 / lg 7) · lg 7 = 1.
3) log₄ 9 = log₂ 9 / log₂ 4 = 2 log₂ 3 / 2 = log₂ 3, поэтому выражение равно 2 log₂ 3 / log₂ 3 = 2.
Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) 2.
2) 1/log₅ 7 = log₇ 5, поэтому в скобках log₇ 2 + log₇ 5 = log₇ 10. Произведение log₇ 10 · lg 7 = (lg 10 / lg 7) · lg 7 = 1.
3) log₄ 9 = log₂ 9 / log₂ 4 = 2 log₂ 3 / 2 = log₂ 3, поэтому выражение равно 2 log₂ 3 / log₂ 3 = 2.
Ответ: 1) 1; 2) 1; 3) 2.
315. Число жителей города-новостройки увеличивается ежегодно на 8%. Через сколько лет число жителей удвоится?
Пусть первоначально было N жителей. Через n лет их станет N · 1,08^n. Условие: N · 1,08^n = 2N ⇒ 1,08^n = 2 ⇒ n = log_(1,08) 2 = lg 2 / lg 1,08 ≈ 0,3010 / 0,0334 ≈ 9,006.
Ответ: примерно через 9 лет.
Ответ: примерно через 9 лет.