Глава IV. § 16. Свойства логарифмов — с. 96
297. Найти x по данному его логарифму (a > 0, b > 0):
1) log₃ x = 4 log₃ a + 7 log₃ b;
2) log₅ x = 2 log₅ a − 3 log₅ b;
3) log_(1/2) x = (2/3) log_(1/2) a − (1/5) log_(1/2) b;
4) log_(2/3) x = (1/4) log_(2/3) a + (4/7) log_(2/3) b.
1) log₃ x = 4 log₃ a + 7 log₃ b;
2) log₅ x = 2 log₅ a − 3 log₅ b;
3) log_(1/2) x = (2/3) log_(1/2) a − (1/5) log_(1/2) b;
4) log_(2/3) x = (1/4) log_(2/3) a + (4/7) log_(2/3) b.
Вносим коэффициенты под знак логарифма и потенцируем (логарифмическая функция монотонна, поэтому из равенства логарифмов следует равенство аргументов).
1) log₃ x = log₃ (a⁴ b⁷), x = a⁴ b⁷.
2) log₅ x = log₅ (a²/b³), x = a²/b³.
3) log_(1/2) x = log_(1/2) (a^(2/3)/b^(1/5)), x = a^(2/3)/b^(1/5) = ∛(a²) / ⁵√b.
4) log_(2/3) x = log_(2/3) (a^(1/4) b^(4/7)), x = a^(1/4) b^(4/7) = ⁴√a · ⁷√(b⁴).
Ответ: 1) a⁴b⁷; 2) a²/b³; 3) ∛(a²)/⁵√b; 4) ⁴√a · ⁷√(b⁴).
1) log₃ x = log₃ (a⁴ b⁷), x = a⁴ b⁷.
2) log₅ x = log₅ (a²/b³), x = a²/b³.
3) log_(1/2) x = log_(1/2) (a^(2/3)/b^(1/5)), x = a^(2/3)/b^(1/5) = ∛(a²) / ⁵√b.
4) log_(2/3) x = log_(2/3) (a^(1/4) b^(4/7)), x = a^(1/4) b^(4/7) = ⁴√a · ⁷√(b⁴).
Ответ: 1) a⁴b⁷; 2) a²/b³; 3) ∛(a²)/⁵√b; 4) ⁴√a · ⁷√(b⁴).
298. Вычислить:
1) 36^(log₆ 5) + 10^(1 − lg 2) − 8^(log₂ 3);
2) (81^(1/4 − (1/2) log₉ 4) + 25^(log₁₂₅ 8)) · 49^(log₇ 2);
3) 16^(1 + log₄ 5) + 4^((1/2) log₂ 3 + 3 log₈ 5);
4) 72 · (49^((1/2) log₇ 9 − log₇ 6) + 5^(−log_(√5) 4)).
1) 36^(log₆ 5) + 10^(1 − lg 2) − 8^(log₂ 3);
2) (81^(1/4 − (1/2) log₉ 4) + 25^(log₁₂₅ 8)) · 49^(log₇ 2);
3) 16^(1 + log₄ 5) + 4^((1/2) log₂ 3 + 3 log₈ 5);
4) 72 · (49^((1/2) log₇ 9 − log₇ 6) + 5^(−log_(√5) 4)).
1) 36^(log₆ 5) = 6^(2 log₆ 5) = 25; 10^(1 − lg 2) = 10/10^(lg 2) = 10/2 = 5; 8^(log₂ 3) = 2^(3 log₂ 3) = 27. Итого 25 + 5 − 27 = 3.
2) 81^(1/4) = 3; 81^(−(1/2) log₉ 4) = 9^(−log₉ 4) = 1/4; значит первое слагаемое 3/4. 25^(log₁₂₅ 8) = 5^(2 · (1/3) log₅ 8) = 8^(2/3) = 4. Сумма 3/4 + 4 = 19/4. 49^(log₇ 2) = 2² = 4. Итого (19/4) · 4 = 19.
3) 16^(1 + log₄ 5) = 16 · 4^(2 log₄ 5) = 16 · 25 = 400. Показатель второго слагаемого: (1/2) log₂ 3 + 3 log₈ 5 = (1/2) log₂ 3 + log₂ 5; 4^(...) = 2^(log₂ 3 + 2 log₂ 5) = 3 · 25 = 75. Итого 475.
4) 49^((1/2) log₇ 9) = 7^(log₇ 9) = 9; 49^(−log₇ 6) = 1/36; произведение 9/36 = 1/4. log_(√5) 4 = 2 log₅ 4 = log₅ 16, поэтому 5^(−log_(√5) 4) = 1/16. Сумма 1/4 + 1/16 = 5/16. Итого 72 · 5/16 = 22,5.
Ответ: 1) 3; 2) 19; 3) 475; 4) 22,5.
2) 81^(1/4) = 3; 81^(−(1/2) log₉ 4) = 9^(−log₉ 4) = 1/4; значит первое слагаемое 3/4. 25^(log₁₂₅ 8) = 5^(2 · (1/3) log₅ 8) = 8^(2/3) = 4. Сумма 3/4 + 4 = 19/4. 49^(log₇ 2) = 2² = 4. Итого (19/4) · 4 = 19.
3) 16^(1 + log₄ 5) = 16 · 4^(2 log₄ 5) = 16 · 25 = 400. Показатель второго слагаемого: (1/2) log₂ 3 + 3 log₈ 5 = (1/2) log₂ 3 + log₂ 5; 4^(...) = 2^(log₂ 3 + 2 log₂ 5) = 3 · 25 = 75. Итого 475.
4) 49^((1/2) log₇ 9) = 7^(log₇ 9) = 9; 49^(−log₇ 6) = 1/36; произведение 9/36 = 1/4. log_(√5) 4 = 2 log₅ 4 = log₅ 16, поэтому 5^(−log_(√5) 4) = 1/16. Сумма 1/4 + 1/16 = 5/16. Итого 72 · 5/16 = 22,5.
Ответ: 1) 3; 2) 19; 3) 475; 4) 22,5.
299. Доказать, что если a > 0, a ≠ 1, b > 0, p ≠ 0, то log_(a^p) b = (1/p) log_(a) b. Используя эту формулу, вычислить:
1) log₃₆ 2 − (1/2) log_(1/6) 3;
2) 2 log₂₅ 30 + log_(0,2) 6.
1) log₃₆ 2 − (1/2) log_(1/6) 3;
2) 2 log₂₅ 30 + log_(0,2) 6.
Доказательство. Пусть t = log_(a^p) b. По определению (a^p)^t = b, т. е. a^(pt) = b, откуда pt = log_(a) b и t = (1/p) log_(a) b. (Основание a^p > 0 и a^p ≠ 1, так как p ≠ 0, a ≠ 1.)
1) log₃₆ 2 = log_(6²) 2 = (1/2) log₆ 2; log_(1/6) 3 = −log₆ 3. Выражение равно (1/2) log₆ 2 + (1/2) log₆ 3 = (1/2) log₆ 6 = 1/2.
2) 2 log₂₅ 30 = 2 · (1/2) log₅ 30 = log₅ 30; log_(0,2) 6 = log_(5^(−1)) 6 = −log₅ 6. Сумма log₅ 30 − log₅ 6 = log₅ 5 = 1.
Ответ: 1) 1/2; 2) 1.
1) log₃₆ 2 = log_(6²) 2 = (1/2) log₆ 2; log_(1/6) 3 = −log₆ 3. Выражение равно (1/2) log₆ 2 + (1/2) log₆ 3 = (1/2) log₆ 6 = 1/2.
2) 2 log₂₅ 30 = 2 · (1/2) log₅ 30 = log₅ 30; log_(0,2) 6 = log_(5^(−1)) 6 = −log₅ 6. Сумма log₅ 30 − log₅ 6 = log₅ 5 = 1.
Ответ: 1) 1/2; 2) 1.
300. Выразить через a и b:
1) log_(√3) 50, если log₃ 15 = a, log₃ 10 = b;
2) log₄ 1250, если log₂ 5 = a.
1) log_(√3) 50, если log₃ 15 = a, log₃ 10 = b;
2) log₄ 1250, если log₂ 5 = a.
1) log_(√3) 50 = log_(3^(1/2)) 50 = 2 log₃ 50 = 2 (log₃ 5 + log₃ 10). Из log₃ 15 = log₃ 3 + log₃ 5 = 1 + log₃ 5 = a получаем log₃ 5 = a − 1. Тогда log_(√3) 50 = 2 (a − 1 + b) = 2(a + b − 1).
2) log₄ 1250 = (1/2) log₂ 1250 = (1/2) log₂ (2 · 5⁴) = (1/2)(1 + 4a) = 2a + 1/2.
Ответ: 1) 2(a + b − 1); 2) 2a + 1/2.
2) log₄ 1250 = (1/2) log₂ 1250 = (1/2) log₂ (2 · 5⁴) = (1/2)(1 + 4a) = 2a + 1/2.
Ответ: 1) 2(a + b − 1); 2) 2a + 1/2.