Глава IV. § 16. Свойства логарифмов — с. 95
290. Вычислить:
1) log₁₀ 5 + log₁₀ 2;
2) log₁₀ 8 + log₁₀ 125;
3) log₁₂ 2 + log₁₂ 72;
4) log₃ 6 + log₃ (3/2).
1) log₁₀ 5 + log₁₀ 2;
2) log₁₀ 8 + log₁₀ 125;
3) log₁₂ 2 + log₁₂ 72;
4) log₃ 6 + log₃ (3/2).
Применяем log_(a) b + log_(a) c = log_(a) (bc).
1) log₁₀ (5 · 2) = log₁₀ 10 = 1.
2) log₁₀ (8 · 125) = log₁₀ 1000 = 3.
3) log₁₂ (2 · 72) = log₁₂ 144 = 2.
4) log₃ (6 · 3/2) = log₃ 9 = 2.
Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) 2; 4) 2.
1) log₁₀ (5 · 2) = log₁₀ 10 = 1.
2) log₁₀ (8 · 125) = log₁₀ 1000 = 3.
3) log₁₂ (2 · 72) = log₁₂ 144 = 2.
4) log₃ (6 · 3/2) = log₃ 9 = 2.
Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) 2; 4) 2.
291. Вычислить:
1) log₂ 15 − log₂ (15/16);
2) log₅ 75 − log₅ 3;
3) log_(1/3) 54 − log_(1/3) 2;
4) log₈ (1/16) − log₈ 32.
1) log₂ 15 − log₂ (15/16);
2) log₅ 75 − log₅ 3;
3) log_(1/3) 54 − log_(1/3) 2;
4) log₈ (1/16) − log₈ 32.
Применяем log_(a) b − log_(a) c = log_(a) (b/c).
1) log₂ (15 : 15/16) = log₂ 16 = 4.
2) log₅ (75/3) = log₅ 25 = 2.
3) log_(1/3) (54/2) = log_(1/3) 27 = −3.
4) log₈ ((1/16)/32) = log₈ (1/512) = log₈ 8^(−3) = −3.
Ответ: 1) 4; 2) 2; 3) −3; 4) −3.
1) log₂ (15 : 15/16) = log₂ 16 = 4.
2) log₅ (75/3) = log₅ 25 = 2.
3) log_(1/3) (54/2) = log_(1/3) 27 = −3.
4) log₈ ((1/16)/32) = log₈ (1/512) = log₈ 8^(−3) = −3.
Ответ: 1) 4; 2) 2; 3) −3; 4) −3.
292. Вычислить:
1) log₁₃ ⁵√169;
2) log₁₁ ∛121;
3) log_(1/3) ⁴√243;
4) log₂ 1/⁶√128.
1) log₁₃ ⁵√169;
2) log₁₁ ∛121;
3) log_(1/3) ⁴√243;
4) log₂ 1/⁶√128.
Применяем log_(a) b^r = r log_(a) b.
1) log₁₃ 13^(2/5) = 2/5.
2) log₁₁ 11^(2/3) = 2/3.
3) ⁴√243 = 3^(5/4), log_(1/3) 3^(5/4) = −5/4.
4) 1/⁶√128 = 2^(−7/6), log₂ 2^(−7/6) = −7/6.
Ответ: 1) 2/5; 2) 2/3; 3) −5/4; 4) −7/6.
1) log₁₃ 13^(2/5) = 2/5.
2) log₁₁ 11^(2/3) = 2/3.
3) ⁴√243 = 3^(5/4), log_(1/3) 3^(5/4) = −5/4.
4) 1/⁶√128 = 2^(−7/6), log₂ 2^(−7/6) = −7/6.
Ответ: 1) 2/5; 2) 2/3; 3) −5/4; 4) −7/6.
293. Вычислить:
1) log₈ 12 − log₈ 15 + log₈ 20;
2) log₉ 15 + log₉ 18 − log₉ 10;
3) (1/2) log₇ 36 − log₇ 14 − 3 log₇ ∛21;
4) 2 log_(1/3) 6 − (1/2) log_(1/3) 400 + 3 log_(1/3) ∛45.
1) log₈ 12 − log₈ 15 + log₈ 20;
2) log₉ 15 + log₉ 18 − log₉ 10;
3) (1/2) log₇ 36 − log₇ 14 − 3 log₇ ∛21;
4) 2 log_(1/3) 6 − (1/2) log_(1/3) 400 + 3 log_(1/3) ∛45.
1) log₈ (12 · 20/15) = log₈ 16 = 4/3 (так как 16 = 8^(4/3)).
2) log₉ (15 · 18/10) = log₉ 27 = 3/2 (27 = 9^(3/2)).
3) (1/2) log₇ 36 = log₇ 6; 3 log₇ ∛21 = log₇ 21. Сумма: log₇ (6/(14 · 21)) = log₇ (6/294) = log₇ (1/49) = −2.
4) 2 log_(1/3) 6 = log_(1/3) 36; (1/2) log_(1/3) 400 = log_(1/3) 20; 3 log_(1/3) ∛45 = log_(1/3) 45. Получаем log_(1/3) (36 · 45/20) = log_(1/3) 81 = −4.
Ответ: 1) 4/3; 2) 3/2; 3) −2; 4) −4.
2) log₉ (15 · 18/10) = log₉ 27 = 3/2 (27 = 9^(3/2)).
3) (1/2) log₇ 36 = log₇ 6; 3 log₇ ∛21 = log₇ 21. Сумма: log₇ (6/(14 · 21)) = log₇ (6/294) = log₇ (1/49) = −2.
4) 2 log_(1/3) 6 = log_(1/3) 36; (1/2) log_(1/3) 400 = log_(1/3) 20; 3 log_(1/3) ∛45 = log_(1/3) 45. Получаем log_(1/3) (36 · 45/20) = log_(1/3) 81 = −4.
Ответ: 1) 4/3; 2) 3/2; 3) −2; 4) −4.
294. Вычислить:
1) log₃ 8 / log₃ 16;
2) log₅ 27 / log₅ 9;
3) (log₅ 36 − log₅ 12) / log₅ 9;
4) log₇ 8 / (log₇ 15 − log₇ 30).
1) log₃ 8 / log₃ 16;
2) log₅ 27 / log₅ 9;
3) (log₅ 36 − log₅ 12) / log₅ 9;
4) log₇ 8 / (log₇ 15 − log₇ 30).
1) log₃ 8/log₃ 16 = log₁₆ 8 = log₂ 8 / log₂ 16 = 3/4.
2) log₅ 27/log₅ 9 = 3 log₅ 3 / (2 log₅ 3) = 3/2.
3) log₅ 36 − log₅ 12 = log₅ 3, log₅ 9 = 2 log₅ 3; частное равно 1/2.
4) log₇ 15 − log₇ 30 = log₇ (1/2) = −log₇ 2, log₇ 8 = 3 log₇ 2; частное равно −3.
Ответ: 1) 3/4; 2) 3/2; 3) 1/2; 4) −3.
2) log₅ 27/log₅ 9 = 3 log₅ 3 / (2 log₅ 3) = 3/2.
3) log₅ 36 − log₅ 12 = log₅ 3, log₅ 9 = 2 log₅ 3; частное равно 1/2.
4) log₇ 15 − log₇ 30 = log₇ (1/2) = −log₇ 2, log₇ 8 = 3 log₇ 2; частное равно −3.
Ответ: 1) 3/4; 2) 3/2; 3) 1/2; 4) −3.
295. Вычислить log_(a) x, если log_(a) b = 3, log_(a) c = −2:
1) x = a³ b² √c;
2) x = a⁴ ∛b / c³.
1) x = a³ b² √c;
2) x = a⁴ ∛b / c³.
1) log_(a) x = 3 log_(a) a + 2 log_(a) b + (1/2) log_(a) c = 3 + 2 · 3 + (1/2)(−2) = 3 + 6 − 1 = 8.
2) log_(a) x = 4 log_(a) a + (1/3) log_(a) b − 3 log_(a) c = 4 + 1 + 6 = 11.
Ответ: 1) 8; 2) 11.
2) log_(a) x = 4 log_(a) a + (1/3) log_(a) b − 3 log_(a) c = 4 + 1 + 6 = 11.
Ответ: 1) 8; 2) 11.
296. Вычислить:
1) (log₂ 24 − (1/2) log₂ 72) / (log₃ 18 − (1/3) log₃ 72);
2) (log₇ 14 − (1/3) log₇ 56) / (log₆ 30 − (1/2) log₆ 150);
3) (log₂ 4 + log₂ √10) / (log₂ 20 + 3 log₂ 2);
4) (3 log₇ 2 − (1/2) log₇ 64) / (4 log₅ 2 + (1/3) log₅ 27).
1) (log₂ 24 − (1/2) log₂ 72) / (log₃ 18 − (1/3) log₃ 72);
2) (log₇ 14 − (1/3) log₇ 56) / (log₆ 30 − (1/2) log₆ 150);
3) (log₂ 4 + log₂ √10) / (log₂ 20 + 3 log₂ 2);
4) (3 log₇ 2 − (1/2) log₇ 64) / (4 log₅ 2 + (1/3) log₅ 27).
1) Числитель: log₂ 24 = 3 + log₂ 3, (1/2) log₂ 72 = (1/2)(3 + 2 log₂ 3) = 3/2 + log₂ 3; разность 3/2. Знаменатель: log₃ 18 = 2 + log₃ 2, (1/3) log₃ 72 = (1/3)(2 + 3 log₃ 2) = 2/3 + log₃ 2; разность 4/3. Частное (3/2) : (4/3) = 9/8.
2) Числитель: log₇ 14 = 1 + log₇ 2; (1/3) log₇ 56 = (1/3)(3 log₇ 2 + 1) = log₇ 2 + 1/3; разность 2/3. Знаменатель: log₆ 30 = 1 + log₆ 5; (1/2) log₆ 150 = (1/2)(1 + 2 log₆ 5) = 1/2 + log₆ 5; разность 1/2. Частное (2/3) : (1/2) = 4/3.
3) Числитель: 2 + (1/2) log₂ 10 = 2 + (1/2)(1 + log₂ 5) = (5 + log₂ 5)/2. Знаменатель: log₂ 20 + 3 = 2 + log₂ 5 + 3 = 5 + log₂ 5. Частное 1/2.
4) Числитель: 3 log₇ 2 − (1/2) · 6 log₇ 2 = 0. Знаменатель: 4 log₅ 2 + log₅ 3 ≠ 0. Частное 0.
Ответ: 1) 9/8; 2) 4/3; 3) 1/2; 4) 0.
2) Числитель: log₇ 14 = 1 + log₇ 2; (1/3) log₇ 56 = (1/3)(3 log₇ 2 + 1) = log₇ 2 + 1/3; разность 2/3. Знаменатель: log₆ 30 = 1 + log₆ 5; (1/2) log₆ 150 = (1/2)(1 + 2 log₆ 5) = 1/2 + log₆ 5; разность 1/2. Частное (2/3) : (1/2) = 4/3.
3) Числитель: 2 + (1/2) log₂ 10 = 2 + (1/2)(1 + log₂ 5) = (5 + log₂ 5)/2. Знаменатель: log₂ 20 + 3 = 2 + log₂ 5 + 3 = 5 + log₂ 5. Частное 1/2.
4) Числитель: 3 log₇ 2 − (1/2) · 6 log₇ 2 = 0. Знаменатель: 4 log₅ 2 + log₅ 3 ≠ 0. Частное 0.
Ответ: 1) 9/8; 2) 4/3; 3) 1/2; 4) 0.