Глава IV. § 15. Логарифмы — с. 92
266. Найти логарифмы чисел по основанию 3:
3, 9, 27, 81, 1, 1/3, 1/9, 1/243, ∛3, 1/(3√3), 9·∜3.
3, 9, 27, 81, 1, 1/3, 1/9, 1/243, ∛3, 1/(3√3), 9·∜3.
Записываем каждое число как степень тройки; показатель и есть логарифм.
log₃ 3 = 1; log₃ 9 = 2; log₃ 27 = 3; log₃ 81 = 4; log₃ 1 = 0.
log₃ (1/3) = −1; log₃ (1/9) = −2; log₃ (1/243) = −5 (243 = 3^5).
∛3 = 3^(1/3), логарифм 1/3.
1/(3√3) = 3^(−1)·3^(−1/2) = 3^(−3/2), логарифм −3/2.
9·∜3 = 3²·3^(1/4) = 3^(9/4), логарифм 9/4.
Ответ: 1; 2; 3; 4; 0; −1; −2; −5; 1/3; −1,5; 2,25.
log₃ 3 = 1; log₃ 9 = 2; log₃ 27 = 3; log₃ 81 = 4; log₃ 1 = 0.
log₃ (1/3) = −1; log₃ (1/9) = −2; log₃ (1/243) = −5 (243 = 3^5).
∛3 = 3^(1/3), логарифм 1/3.
1/(3√3) = 3^(−1)·3^(−1/2) = 3^(−3/2), логарифм −3/2.
9·∜3 = 3²·3^(1/4) = 3^(9/4), логарифм 9/4.
Ответ: 1; 2; 3; 4; 0; −1; −2; −5; 1/3; −1,5; 2,25.
267. Вычислить:
1) log₂ 16;
2) log₂ 64;
3) log₂ 2;
4) log₂ 1.
1) log₂ 16;
2) log₂ 64;
3) log₂ 2;
4) log₂ 1.
1) 2^4 = 16, log₂ 16 = 4.
2) 2^6 = 64, log₂ 64 = 6.
3) 2^1 = 2, log₂ 2 = 1.
4) 2^0 = 1, log₂ 1 = 0.
Ответ: 1) 4; 2) 6; 3) 1; 4) 0.
2) 2^6 = 64, log₂ 64 = 6.
3) 2^1 = 2, log₂ 2 = 1.
4) 2^0 = 1, log₂ 1 = 0.
Ответ: 1) 4; 2) 6; 3) 1; 4) 0.
268. Вычислить:
1) log₂ (1/2);
2) log₂ (1/8);
3) log₂ √2;
4) log₂ (1/∜2).
1) log₂ (1/2);
2) log₂ (1/8);
3) log₂ √2;
4) log₂ (1/∜2).
1) 1/2 = 2^(−1), log₂ (1/2) = −1.
2) 1/8 = 2^(−3), log₂ (1/8) = −3.
3) √2 = 2^(1/2), log₂ √2 = 1/2.
4) 1/∜2 = 2^(−1/4), log₂ (1/∜2) = −1/4.
Ответ: 1) −1; 2) −3; 3) 1/2; 4) −1/4.
2) 1/8 = 2^(−3), log₂ (1/8) = −3.
3) √2 = 2^(1/2), log₂ √2 = 1/2.
4) 1/∜2 = 2^(−1/4), log₂ (1/∜2) = −1/4.
Ответ: 1) −1; 2) −3; 3) 1/2; 4) −1/4.
269. Вычислить:
1) log₃ 27;
2) log₃ 81;
3) log₃ 3;
4) log₃ 1.
1) log₃ 27;
2) log₃ 81;
3) log₃ 3;
4) log₃ 1.
1) 3³ = 27, log₃ 27 = 3.
2) 3^4 = 81, log₃ 81 = 4.
3) 3^1 = 3, log₃ 3 = 1.
4) 3^0 = 1, log₃ 1 = 0.
Ответ: 1) 3; 2) 4; 3) 1; 4) 0.
2) 3^4 = 81, log₃ 81 = 4.
3) 3^1 = 3, log₃ 3 = 1.
4) 3^0 = 1, log₃ 1 = 0.
Ответ: 1) 3; 2) 4; 3) 1; 4) 0.
270. Вычислить:
1) log₃ (1/9);
2) log₃ (1/3);
3) log₃ ∜3;
4) log₃ (1/∜3).
1) log₃ (1/9);
2) log₃ (1/3);
3) log₃ ∜3;
4) log₃ (1/∜3).
1) 1/9 = 3^(−2), log₃ (1/9) = −2.
2) 1/3 = 3^(−1), log₃ (1/3) = −1.
3) ∜3 = 3^(1/4), log₃ ∜3 = 1/4.
4) 1/∜3 = 3^(−1/4), log₃ (1/∜3) = −1/4.
Ответ: 1) −2; 2) −1; 3) 1/4; 4) −1/4.
2) 1/3 = 3^(−1), log₃ (1/3) = −1.
3) ∜3 = 3^(1/4), log₃ ∜3 = 1/4.
4) 1/∜3 = 3^(−1/4), log₃ (1/∜3) = −1/4.
Ответ: 1) −2; 2) −1; 3) 1/4; 4) −1/4.
271. Вычислить:
1) log_(1/2) (1/32);
2) log_(1/2) 4;
3) log_(0,5) 0,125;
4) log_(0,5) (1/2);
5) log_(0,5) 1;
6) log_(1/2) ∛2.
1) log_(1/2) (1/32);
2) log_(1/2) 4;
3) log_(0,5) 0,125;
4) log_(0,5) (1/2);
5) log_(0,5) 1;
6) log_(1/2) ∛2.
Во всех пунктах основание 1/2.
1) 1/32 = (1/2)^5, значение 5.
2) 4 = (1/2)^(−2), значение −2.
3) 0,125 = 1/8 = (1/2)^3, значение 3.
4) 1/2 = (1/2)^1, значение 1.
5) 1 = (1/2)^0, значение 0.
6) ∛2 = 2^(1/3) = (1/2)^(−1/3), значение −1/3.
Ответ: 1) 5; 2) −2; 3) 3; 4) 1; 5) 0; 6) −1/3.
1) 1/32 = (1/2)^5, значение 5.
2) 4 = (1/2)^(−2), значение −2.
3) 0,125 = 1/8 = (1/2)^3, значение 3.
4) 1/2 = (1/2)^1, значение 1.
5) 1 = (1/2)^0, значение 0.
6) ∛2 = 2^(1/3) = (1/2)^(−1/3), значение −1/3.
Ответ: 1) 5; 2) −2; 3) 3; 4) 1; 5) 0; 6) −1/3.
272. Вычислить:
1) log₅ 625;
2) log₆ 216;
3) log₄ (1/16);
4) log₅ (1/125).
1) log₅ 625;
2) log₆ 216;
3) log₄ (1/16);
4) log₅ (1/125).
1) 625 = 5^4, значение 4.
2) 216 = 6³, значение 3.
3) 1/16 = 4^(−2), значение −2.
4) 1/125 = 5^(−3), значение −3.
Ответ: 1) 4; 2) 3; 3) −2; 4) −3.
2) 216 = 6³, значение 3.
3) 1/16 = 4^(−2), значение −2.
4) 1/125 = 5^(−3), значение −3.
Ответ: 1) 4; 2) 3; 3) −2; 4) −3.
273. Вычислить:
1) log_(1/5) 125;
2) log_(1/3) 27;
3) log_(1/4) (1/64);
4) log_(1/6) 36.
1) log_(1/5) 125;
2) log_(1/3) 27;
3) log_(1/4) (1/64);
4) log_(1/6) 36.
1) 125 = 5³ = (1/5)^(−3), значение −3.
2) 27 = 3³ = (1/3)^(−3), значение −3.
3) 1/64 = (1/4)³, значение 3.
4) 36 = 6² = (1/6)^(−2), значение −2.
Ответ: 1) −3; 2) −3; 3) 3; 4) −2.
2) 27 = 3³ = (1/3)^(−3), значение −3.
3) 1/64 = (1/4)³, значение 3.
4) 36 = 6² = (1/6)^(−2), значение −2.
Ответ: 1) −3; 2) −3; 3) 3; 4) −2.
274. Вычислить:
1) 3^(log₃ 18);
2) 5^(log₅ 16);
3) 10^(log₁₀ 2);
4) (1/4)^(log_(1/4) 6).
1) 3^(log₃ 18);
2) 5^(log₅ 16);
3) 10^(log₁₀ 2);
4) (1/4)^(log_(1/4) 6).
По основному логарифмическому тождеству a^(log_a b) = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0):
1) 18;
2) 16;
3) 2;
4) 6.
Ответ: 1) 18; 2) 16; 3) 2; 4) 6.
1) 18;
2) 16;
3) 2;
4) 6.
Ответ: 1) 18; 2) 16; 3) 2; 4) 6.
275. Вычислить:
1) 3^(5·log₃ 2);
2) (1/2)^(6·log_(1/2) 2);
3) 0,3^(2·log_(0,3) 6);
4) 7^((1/2)·log₇ 9).
1) 3^(5·log₃ 2);
2) (1/2)^(6·log_(1/2) 2);
3) 0,3^(2·log_(0,3) 6);
4) 7^((1/2)·log₇ 9).
Используем свойство (a^m)^n и основное логарифмическое тождество.
1) 3^(5·log₃ 2) = (3^(log₃ 2))^5 = 2^5 = 32.
2) (1/2)^(6·log_(1/2) 2) = ((1/2)^(log_(1/2) 2))^6 = 2^6 = 64.
3) 0,3^(2·log_(0,3) 6) = 6² = 36.
4) 7^((1/2)·log₇ 9) = (7^(log₇ 9))^(1/2) = 9^(1/2) = 3.
Ответ: 1) 32; 2) 64; 3) 36; 4) 3.
1) 3^(5·log₃ 2) = (3^(log₃ 2))^5 = 2^5 = 32.
2) (1/2)^(6·log_(1/2) 2) = ((1/2)^(log_(1/2) 2))^6 = 2^6 = 64.
3) 0,3^(2·log_(0,3) 6) = 6² = 36.
4) 7^((1/2)·log₇ 9) = (7^(log₇ 9))^(1/2) = 9^(1/2) = 3.
Ответ: 1) 32; 2) 64; 3) 36; 4) 3.
276. Вычислить:
1) 8^(log₂ 5);
2) 9^(log₃ 12);
3) 16^(log₄ 7);
4) 0,125^(log_(0,5) 1).
1) 8^(log₂ 5);
2) 9^(log₃ 12);
3) 16^(log₄ 7);
4) 0,125^(log_(0,5) 1).
1) 8 = 2³: 8^(log₂ 5) = (2^(log₂ 5))³ = 5³ = 125.
2) 9 = 3²: 9^(log₃ 12) = (3^(log₃ 12))² = 12² = 144.
3) 16 = 4²: 16^(log₄ 7) = 7² = 49.
4) log_(0,5) 1 = 0, поэтому 0,125^0 = 1.
Ответ: 1) 125; 2) 144; 3) 49; 4) 1.
2) 9 = 3²: 9^(log₃ 12) = (3^(log₃ 12))² = 12² = 144.
3) 16 = 4²: 16^(log₄ 7) = 7² = 49.
4) log_(0,5) 1 = 0, поэтому 0,125^0 = 1.
Ответ: 1) 125; 2) 144; 3) 49; 4) 1.
277. Решить уравнение:
1) log₆ x = 3;
2) log₅ x = 4;
3) log₂ (5 − x) = 3;
4) log₃ (x + 2) = 3;
5) log_(1/6) (0,5 + x) = −1.
1) log₆ x = 3;
2) log₅ x = 4;
3) log₂ (5 − x) = 3;
4) log₃ (x + 2) = 3;
5) log_(1/6) (0,5 + x) = −1.
По определению логарифма.
1) x = 6³ = 216.
2) x = 5^4 = 625.
3) 5 − x = 2³ = 8, x = −3. Проверка: 5 − (−3) = 8 > 0.
4) x + 2 = 3³ = 27, x = 25.
5) 0,5 + x = (1/6)^(−1) = 6, x = 5,5.
Ответ: 1) 216; 2) 625; 3) −3; 4) 25; 5) 5,5.
1) x = 6³ = 216.
2) x = 5^4 = 625.
3) 5 − x = 2³ = 8, x = −3. Проверка: 5 − (−3) = 8 > 0.
4) x + 2 = 3³ = 27, x = 25.
5) 0,5 + x = (1/6)^(−1) = 6, x = 5,5.
Ответ: 1) 216; 2) 625; 3) −3; 4) 25; 5) 5,5.