Упражнения 278–289 — Глава IV. § 15. Логарифмы

Логарифм log_(a) t существует, когда выражение под знаком логарифма положительно (основание в каждом пункте задано и допустимо).
1) 4 − x > 0, откуда x < 4.
2) 7 − x > 0, откуда x < 7.
3) 1/(1 − 2x) > 0 ⇔ 1 − 2x > 0, откуда x < 1/2.
4) 5/(2x − 1) > 0 ⇔ 2x − 1 > 0, откуда x > 1/2.
5) −x² > 0 не выполняется ни при каком x (x² ≥ 0), поэтому логарифм не существует ни при одном значении x.
6) −2x³ > 0 ⇔ x³ < 0, откуда x < 0.
Ответ: 1) x < 4; 2) x < 7; 3) x < 1/2; 4) x > 1/2; 5) таких x нет; 6) x < 0.

1) ⁴√2 = 2^(1/4), поэтому log₂ 2^(1/4) = 1/4.
2) 3√3 = 3^(3/2), значит 1/(3√3) = 3^(−3/2) и log₃ 3^(−3/2) = −3/2.
3) √32 = 2^(5/2), 1/√32 = 2^(−5/2). Так как 0,5 = 2^(−1), то log_(0,5) 2^(−5/2) = (−5/2)/(−1) = 5/2.
4) ∛7/49 = 7^(1/3)/7² = 7^(1/3 − 2) = 7^(−5/3), log₇ 7^(−5/3) = −5/3.
Ответ: 1) 1/4; 2) −3/2; 3) 5/2; 4) −5/3.

Используем основное логарифмическое тождество a^(log_(a) b) = b.
1) 9^(2 log₃ 5) = 3^(4 log₃ 5) = (3^(log₃ 5))⁴ = 5⁴ = 625.
2) (1/9)^((1/2) log₃ 4) = 3^(−2 · (1/2) log₃ 4) = 3^(−log₃ 4) = 1/4.
3) (1/4)^(−5 log₂ 3) = 4^(5 log₂ 3) = 2^(10 log₂ 3) = 3^10 = 59049.
4) log_(1/3) 5 = −log₃ 5, поэтому показатель равен 4 log₃ 5, и 27^(4 log₃ 5) = 3^(12 log₃ 5) = 5^12 = 244140625.
5) 10^(3 − log₁₀ 5) = 10³ / 10^(log₁₀ 5) = 1000/5 = 200.
6) (1/7)^(1 + 2 log_(1/7) 3) = (1/7) · ((1/7)^(log_(1/7) 3))² = (1/7) · 3² = 9/7 = 1 2/7.
Ответ: 1) 625; 2) 1/4; 3) 59049; 4) 244140625; 5) 200; 6) 9/7.

1) log₃ 81 = 4, log₂ 4 = 2.
2) log₂ 8 = 3, log₃ 3 = 1.
3) log₁₀ 1000 = 3, log₂₇ 3 = 1/3, поэтому 2 · 1/3 = 2/3.
4) log₂ 8 = 3, log₉ 3 = 1/2, поэтому (1/3) · (1/2) = 1/6.
5) log₄ 16 = 2, log₂ 2 = 1, log_(1/2) 2 = −1; получаем 3 · 1 + (−1) = 2.
Ответ: 1) 2; 2) 1; 3) 2/3; 4) 1/6; 5) 2.

Основание логарифма: x > 0, x ≠ 1. По определению логарифма x^(значение) равно числу под логарифмом.
1) x³ = 27, x = 3 (подходит).
2) x^(−1) = 1/7, откуда x = 7 (подходит).
3) x^(−4) = √5 = 5^(1/2), значит x⁴ = 5^(−1/2), x = 5^(−1/8) (положительный корень; число подходит, так как x ≠ 1), т. е. x = 1/(корень 8-й степени из 5).
Ответ: 1) 3; 2) 7; 3) 5^(−1/8).

Выражение имеет смысл, если аргумент логарифма положителен.
1) 49 − x² > 0 ⇔ x² < 49 ⇔ −7 < x < 7.
2) x² + x − 6 > 0. Корни x² + x − 6 = 0: x = −3 и x = 2, ветви параболы вверх, значит x < −3 или x > 2.
3) x² + 2x + 7 = (x + 1)² + 6 ≥ 6 > 0 при всех x, поэтому выражение имеет смысл при любом x.
Ответ: 1) −7 < x < 7; 2) x < −3, x > 2; 3) x — любое число.

Нужно, чтобы выражение под логарифмом было положительным.
1) 1 − x³ > 0 ⇔ x³ < 1 ⇔ x < 1.
2) x³ + 8 > 0 ⇔ x³ > −8 ⇔ x > −2.
3) x³ + x² − 6x = x(x² + x − 6) = x(x + 3)(x − 2) > 0. Корни −3, 0, 2; методом интервалов: знак «+» на (−3; 0) и на (2; +∞). Значит −3 < x < 0 или x > 2.
4) x³ + x² − 2x = x(x² + x − 2) = x(x + 2)(x − 1) > 0. Корни −2, 0, 1; знак «+» на (−2; 0) и (1; +∞). Значит −2 < x < 0 или x > 1.
Ответ: 1) x < 1; 2) x > −2; 3) −3 < x < 0, x > 2; 4) −2 < x < 0, x > 1.

По определению логарифма a^t = b ⇔ t = log_(a) b.
1) x = log₂ 5.
2) x = log_(1,2) 4.
3) 2x + 3 = log₄ 5, откуда x = (log₄ 5 − 3)/2.
4) 1 − 2x = log₇ 2, откуда 2x = 1 − log₇ 2 и x = (1 − log₇ 2)/2.
Ответ: 1) log₂ 5; 2) log_(1,2) 4; 3. (log₄ 5 − 3)/2; 4. (1 − log₇ 2)/2.

1) Пусть t = 7^x > 0. Тогда t² + t − 12 = 0, t = 3 или t = −4. Значение t = −4 не подходит. 7^x = 3, x = log₇ 3.
2) Пусть t = 3^x > 0: t² − t − 12 = 0, t = 4 или t = −3 (не подходит). 3^x = 4, x = log₃ 4.
3) 8^(x + 1) = 8 · 8^x, 8^(2x − 1) = 8^(2x)/8. Пусть t = 8^x > 0: 8t − t²/8 = 30 ⇒ t² − 64t + 240 = 0, D = 4096 − 960 = 3136 = 56², t = (64 ± 56)/2, t = 60 или t = 4. Оба положительны. 8^x = 60 ⇒ x = log₈ 60; 8^x = 4 ⇒ x = 2/3. Проверка для t = 4: 32 − 16/8 = 30.
4) Пусть t = (1/3)^x > 0, тогда (1/9)^x = t²: t² − 5t + 6 = 0, t = 2 или t = 3. (1/3)^x = 3 ⇒ x = −1; (1/3)^x = 2 ⇒ x = log_(1/3) 2 (= −log₃ 2).
Ответ: 1) log₇ 3; 2) log₃ 4; 3) 2/3 и log₈ 60; 4) −1 и log_(1/3) 2.

1) Раскроем скобки: 9^x + 3 · 6^x + 6^x + 3 · 4^x = 8 · 6^x ⇒ 9^x − 4 · 6^x + 3 · 4^x = 0. Разделим на 4^x > 0 и обозначим t = (3/2)^x > 0: t² − 4t + 3 = 0, t = 1 или t = 3. (3/2)^x = 1 ⇒ x = 0; (3/2)^x = 3 ⇒ x = log_(3/2) 3.
2) Раскроем скобки: 6 · 15^x − 6 · 25^x + 5 · 9^x − 5 · 15^x = 8 · 15^x ⇒ 6 · 25^x + 7 · 15^x − 5 · 9^x = 0. Разделим на 9^x и обозначим t = (5/3)^x > 0: 6t² + 7t − 5 = 0, D = 49 + 120 = 169, t = (−7 ± 13)/12, t = 1/2 или t = −5/3 (не подходит). (5/3)^x = 1/2 ⇒ x = log_(5/3) (1/2) = −log_(5/3) 2.
Ответ: 1) 0 и log_(3/2) 3; 2) log_(5/3) (1/2).

Основание логарифма положительно и не равно 1, аргумент положителен.
1) x > 0, x ≠ 1, 2x − 1 > 0 ⇒ x > 1/2. Итого 1/2 < x < 1 или x > 1.
2) x − 1 > 0 ⇒ x > 1; x − 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2; x + 1 > 0 выполняется при x > 1. Итого 1 < x < 2 или x > 2.
Ответ: 1) 1/2 < x < 1, x > 1; 2) 1 < x < 2, x > 2.

Так как 3^(x − 2) = 3^x/9, уравнение имеет вид 9^x + a(1 − a) · 3^x − a³ = 0. Пусть t = 3^x > 0: t² + a(1 − a)t − a³ = 0.
D = a²(1 − a)² + 4a³ = a²(1 + a)². Корни: t = (−a(1 − a) ± |a|(1 + a))/2, т. е. t = a² и t = −a (проверка по теореме Виета: сумма a² − a = −a(1 − a), произведение −a³).
Условие t > 0:
— a = 0: оба корня равны 0, решений нет.
— a > 0: годится только t = a² (корень −a < 0), x = log₃ a².
— a < 0: годятся оба корня t = a² и t = −a; x = log₃ a² и x = log₃ (−a). При a = −1 корни совпадают (a² = −a = 1), x = 0.
Ответ: если a = 0, решений нет; если a > 0, то x = log₃ a²; если a < 0 и a ≠ −1, то x = log₃ a² и x = log₃ (−a); если a = −1, то x = 0.