Глава III. Упражнения к главе III — с. 89
258. Решить уравнение:
1) 0,6^x·(25/9)^(x² − 12) = (27/125)³;
2) 16·√(0,25^(5 − x/4)) = 2^(√(x + 1)).
1) 0,6^x·(25/9)^(x² − 12) = (27/125)³;
2) 16·√(0,25^(5 − x/4)) = 2^(√(x + 1)).
1) Заметим, что 25/9 = 0,6^(−2), 27/125 = 0,6³. Тогда 0,6^x·0,6^(−2(x² − 12)) = 0,6^9, x − 2x² + 24 = 9, 2x² − x − 15 = 0, D = 1 + 120 = 121, x = (1 ± 11)/4, то есть x = 3 или x = −5/2.
2) Область определения: x ≥ −1. Имеем 16 = 2^4, √(0,25^(5 − x/4)) = (2^(−2))^((5 − x/4)/2) = 2^(x/4 − 5). Левая часть равна 2^(x/4 − 1). Тогда x/4 − 1 = √(x + 1). Нужно x/4 − 1 ≥ 0, x ≥ 4. Возводим в квадрат: (x − 4)²/16 = x + 1, x² − 8x + 16 = 16x + 16, x² − 24x = 0, x = 0 или x = 24. Условию x ≥ 4 удовлетворяет x = 24. Проверка: 16·√(0,25^(−1)) = 16·2 = 32 = 2^5 = 2^(√25).
Ответ: 1) −2,5; 3; 2) 24.
2) Область определения: x ≥ −1. Имеем 16 = 2^4, √(0,25^(5 − x/4)) = (2^(−2))^((5 − x/4)/2) = 2^(x/4 − 5). Левая часть равна 2^(x/4 − 1). Тогда x/4 − 1 = √(x + 1). Нужно x/4 − 1 ≥ 0, x ≥ 4. Возводим в квадрат: (x − 4)²/16 = x + 1, x² − 8x + 16 = 16x + 16, x² − 24x = 0, x = 0 или x = 24. Условию x ≥ 4 удовлетворяет x = 24. Проверка: 16·√(0,25^(−1)) = 16·2 = 32 = 2^5 = 2^(√25).
Ответ: 1) −2,5; 3; 2) 24.
259. Решить уравнение:
1) 2·3^(3x − 1) + 27^(x − 2/3) = 9^(x − 1) + 2·3^(2x − 1);
2) 2^(√x + 2) − 2^(√x + 1) = 12 + 2^(√x − 1);
3) 22·9^(x − 1) − (1/3)·3^(x + 3) + (1/3)·3^(x + 2) = 4;
4) 5·4^(x − 1) − 16^x + 0,25·2^(2x + 2) + 7 = 0.
1) 2·3^(3x − 1) + 27^(x − 2/3) = 9^(x − 1) + 2·3^(2x − 1);
2) 2^(√x + 2) − 2^(√x + 1) = 12 + 2^(√x − 1);
3) 22·9^(x − 1) − (1/3)·3^(x + 3) + (1/3)·3^(x + 2) = 4;
4) 5·4^(x − 1) − 16^x + 0,25·2^(2x + 2) + 7 = 0.
1) 27^(x − 2/3) = 3^(3x − 2). Левая часть: 3^(3x − 2)·(6 + 1) = 7·3^(3x − 2). Правая: 9^(x − 1) = 3^(2x − 2), 2·3^(2x − 1) = 6·3^(2x − 2), сумма 7·3^(2x − 2). Значит 3^(3x − 2) = 3^(2x − 2), x = 0.
2) Область: x ≥ 0. Пусть t = 2^(√x) > 0: 4t − 2t = 12 + t/2, 1,5t = 12, t = 8, √x = 3, x = 9.
3) 22·3^(2x − 2) − 3^(x + 2) + 3^(x + 1) = 4. Пусть t = 3^x > 0: 22t²/9 − 9t + 3t = 4, 22t² − 54t − 36 = 0, 11t² − 27t − 18 = 0, D = 729 + 792 = 1521 = 39², t = 3 или t = −6/11 (не подходит). 3^x = 3, x = 1.
4) Пусть t = 4^x > 0 (16^x = t², 2^(2x + 2) = 4t): 5t/4 − t² + t + 7 = 0, 4t² − 9t − 28 = 0, D = 81 + 448 = 529 = 23², t = 4 или t = −7/4 (не подходит). 4^x = 4, x = 1.
Ответ: 1) 0; 2) 9; 3) 1; 4) 1.
2) Область: x ≥ 0. Пусть t = 2^(√x) > 0: 4t − 2t = 12 + t/2, 1,5t = 12, t = 8, √x = 3, x = 9.
3) 22·3^(2x − 2) − 3^(x + 2) + 3^(x + 1) = 4. Пусть t = 3^x > 0: 22t²/9 − 9t + 3t = 4, 22t² − 54t − 36 = 0, 11t² − 27t − 18 = 0, D = 729 + 792 = 1521 = 39², t = 3 или t = −6/11 (не подходит). 3^x = 3, x = 1.
4) Пусть t = 4^x > 0 (16^x = t², 2^(2x + 2) = 4t): 5t/4 − t² + t + 7 = 0, 4t² − 9t − 28 = 0, D = 81 + 448 = 529 = 23², t = 4 или t = −7/4 (не подходит). 4^x = 4, x = 1.
Ответ: 1) 0; 2) 9; 3) 1; 4) 1.
260. Решить уравнение:
1) 2^(x + 4) + 2^(x + 2) = 5^(x + 1) + 3·5^x;
2) 5^(2x) − 7^x − 5^(2x)·17 + 7^x·17 = 0;
3) 2^(x² − 1) − 3^(x²) = 3^(x² − 1) − 2^(x² + 2);
4) 3·4^x + (1/3)·9^(x + 2) = 6·4^(x + 1) − (1/2)·9^(x + 1).
1) 2^(x + 4) + 2^(x + 2) = 5^(x + 1) + 3·5^x;
2) 5^(2x) − 7^x − 5^(2x)·17 + 7^x·17 = 0;
3) 2^(x² − 1) − 3^(x²) = 3^(x² − 1) − 2^(x² + 2);
4) 3·4^x + (1/3)·9^(x + 2) = 6·4^(x + 1) − (1/2)·9^(x + 1).
1) 2^x·(16 + 4) = 5^x·(5 + 3), 20·2^x = 8·5^x, (2/5)^x = 2/5, x = 1.
2) 5^(2x)·(1 − 17) + 7^x·(17 − 1) = 0, 16·(7^x − 25^x) = 0, 7^x = 25^x, (7/25)^x = 1, x = 0.
3) Переносим: 2^(x² − 1) + 2^(x² + 2) = 3^(x² − 1) + 3^(x²). Тогда 2^(x² − 1)·(1 + 8) = 3^(x² − 1)·(1 + 3), 9·2^(x² − 1) = 4·3^(x² − 1), (3/2)^(x² − 1) = 9/4 = (3/2)², x² − 1 = 2, x = ±√3.
4) 3·4^x − 24·4^x = −(1/2)·9^(x + 1) − (1/3)·9^(x + 2), то есть −21·4^x = −9^x·(9/2 + 27) = −31,5·9^x. Тогда (9/4)^x = 21/31,5 = 2/3 = (3/2)^(−1), (3/2)^(2x) = (3/2)^(−1), x = −1/2.
Ответ: 1) 1; 2) 0; 3) ±√3; 4) −0,5.
2) 5^(2x)·(1 − 17) + 7^x·(17 − 1) = 0, 16·(7^x − 25^x) = 0, 7^x = 25^x, (7/25)^x = 1, x = 0.
3) Переносим: 2^(x² − 1) + 2^(x² + 2) = 3^(x² − 1) + 3^(x²). Тогда 2^(x² − 1)·(1 + 8) = 3^(x² − 1)·(1 + 3), 9·2^(x² − 1) = 4·3^(x² − 1), (3/2)^(x² − 1) = 9/4 = (3/2)², x² − 1 = 2, x = ±√3.
4) 3·4^x − 24·4^x = −(1/2)·9^(x + 1) − (1/3)·9^(x + 2), то есть −21·4^x = −9^x·(9/2 + 27) = −31,5·9^x. Тогда (9/4)^x = 21/31,5 = 2/3 = (3/2)^(−1), (3/2)^(2x) = (3/2)^(−1), x = −1/2.
Ответ: 1) 1; 2) 0; 3) ±√3; 4) −0,5.
261. Решить неравенство:
1) 8,4^((x − 3)/(x² + 1)) < 1;
2) 2^(x²)·5^(x²) < 10^(−3)·(10^(3 − x))²;
3) (4^x − 2^(x + 1) + 8)/2^(1 − x) < 8^x;
4) 1/(3^x + 5) ≤ 1/(3^(x + 1) − 1).
1) 8,4^((x − 3)/(x² + 1)) < 1;
2) 2^(x²)·5^(x²) < 10^(−3)·(10^(3 − x))²;
3) (4^x − 2^(x + 1) + 8)/2^(1 − x) < 8^x;
4) 1/(3^x + 5) ≤ 1/(3^(x + 1) − 1).
1) 1 = 8,4^0, основание больше 1: (x − 3)/(x² + 1) < 0. Знаменатель положителен при любом x, значит x − 3 < 0, x < 3.
2) Левая часть 10^(x²), правая 10^(−3)·10^(6 − 2x) = 10^(3 − 2x). Тогда x² < 3 − 2x, x² + 2x − 3 < 0, −3 < x < 1.
3) Так как 2^(1 − x) > 0, умножаем на него: 4^x − 2·2^x + 8 < 8^x·2^(1 − x) = 2·4^x. Тогда 4^x + 2·2^x − 8 > 0. Пусть t = 2^x > 0: t² + 2t − 8 > 0, (t − 2)(t + 4) > 0, t > 2, x > 1.
4) Пусть t = 3^x > 0. Знаменатель 3t − 1 ≠ 0.
Если 3t − 1 < 0 (t < 1/3), правая часть отрицательна, левая положительна, неравенство не выполняется.
Если 3t − 1 > 0: знаменатели положительны, поэтому 3t − 1 ≤ t + 5, t ≤ 3. Итак, 1/3 < t ≤ 3, то есть −1 < x ≤ 1.
Ответ: 1) x < 3; 2) −3 < x < 1; 3) x > 1; 4) −1 < x ≤ 1.
2) Левая часть 10^(x²), правая 10^(−3)·10^(6 − 2x) = 10^(3 − 2x). Тогда x² < 3 − 2x, x² + 2x − 3 < 0, −3 < x < 1.
3) Так как 2^(1 − x) > 0, умножаем на него: 4^x − 2·2^x + 8 < 8^x·2^(1 − x) = 2·4^x. Тогда 4^x + 2·2^x − 8 > 0. Пусть t = 2^x > 0: t² + 2t − 8 > 0, (t − 2)(t + 4) > 0, t > 2, x > 1.
4) Пусть t = 3^x > 0. Знаменатель 3t − 1 ≠ 0.
Если 3t − 1 < 0 (t < 1/3), правая часть отрицательна, левая положительна, неравенство не выполняется.
Если 3t − 1 > 0: знаменатели положительны, поэтому 3t − 1 ≤ t + 5, t ≤ 3. Итак, 1/3 < t ≤ 3, то есть −1 < x ≤ 1.
Ответ: 1) x < 3; 2) −3 < x < 1; 3) x > 1; 4) −1 < x ≤ 1.
262. Решить систему уравнений:
1) система: 2^(x − y) = 128; (1/2)^(x − 2y + 1) = 1/8;
2) система: 2^x·5^y = 10; 5^y − 2^x = 3.
1) система: 2^(x − y) = 128; (1/2)^(x − 2y + 1) = 1/8;
2) система: 2^x·5^y = 10; 5^y − 2^x = 3.
1) Первое: x − y = 7. Второе: x − 2y + 1 = 3, x − 2y = 2. Вычитаем: y = 5, x = 12. Ответ: (12; 5).
2) Пусть u = 2^x > 0, v = 5^y > 0: uv = 10, v − u = 3. Тогда u(u + 3) = 10, u² + 3u − 10 = 0, u = 2 (корень −5 не подходит), v = 5. Значит x = 1, y = 1. Ответ: (1; 1).
2) Пусть u = 2^x > 0, v = 5^y > 0: uv = 10, v − u = 3. Тогда u(u + 3) = 10, u² + 3u − 10 = 0, u = 2 (корень −5 не подходит), v = 5. Значит x = 1, y = 1. Ответ: (1; 1).
263. Построить график функции:
1) y = 2^(x + |x|);
2) y = |3^|x| − 3|.
1) y = 2^(x + |x|);
2) y = |3^|x| − 3|.
1) Раскрываем модуль. При x ≥ 0: x + |x| = 2x, y = 2^(2x) = 4^x. При x < 0: x + |x| = 0, y = 2^0 = 1. График: горизонтальный луч y = 1 при x < 0 и ветвь показательной кривой y = 4^x при x ≥ 0, выходящая из точки (0; 1) (точки (1; 4), (1,5; 8)).
2) Функция чётная (зависит от |x|), строим при x ≥ 0 и отражаем относительно оси y. При x ≥ 0 график y = 3^x − 3 нужно взять по модулю: функция 3^x − 3 отрицательна при x < 1 (значение при x = 0 равно −2, при x = 1 равно 0) и положительна при x > 1. Поэтому при 0 ≤ x ≤ 1 имеем y = 3 − 3^x (убывает от 2 до 0), при x ≥ 1 имеем y = 3^x − 3 (возрастает; при x = 2 значение 6). Отражаем левую часть. Получаем график с «галочкой» нулей в точках (−1; 0) и (1; 0) и максимумом на отрезке [−1; 1] в точке (0; 2. (локальный максимум).
2) Функция чётная (зависит от |x|), строим при x ≥ 0 и отражаем относительно оси y. При x ≥ 0 график y = 3^x − 3 нужно взять по модулю: функция 3^x − 3 отрицательна при x < 1 (значение при x = 0 равно −2, при x = 1 равно 0) и положительна при x > 1. Поэтому при 0 ≤ x ≤ 1 имеем y = 3 − 3^x (убывает от 2 до 0), при x ≥ 1 имеем y = 3^x − 3 (возрастает; при x = 2 значение 6). Отражаем левую часть. Получаем график с «галочкой» нулей в точках (−1; 0) и (1; 0) и максимумом на отрезке [−1; 1] в точке (0; 2. (локальный максимум).
264. Решить уравнение:
1) 0,2^(x + 0,5)/√5 = 5·0,04^x;
2) 4·3^x − 9·2^x = 5·3^(x/2)·2^(x/2);
3) 2·4^x − 3·10^x − 5·25^x = 0;
4) 4·9^x + 12^x − 3·16^x = 0.
1) 0,2^(x + 0,5)/√5 = 5·0,04^x;
2) 4·3^x − 9·2^x = 5·3^(x/2)·2^(x/2);
3) 2·4^x − 3·10^x − 5·25^x = 0;
4) 4·9^x + 12^x − 3·16^x = 0.
1) 0,2 = 5^(−1), 0,04 = 5^(−2), √5 = 5^(1/2). Левая часть: 5^(−x − 1/2 − 1/2) = 5^(−x − 1). Правая: 5·5^(−2x) = 5^(1 − 2x). Тогда −x − 1 = 1 − 2x, x = 2.
2) Пусть a = 3^(x/2), b = 2^(x/2) (a, b > 0): 4a² − 9b² = 5ab. Делим на b²: 4s² − 5s − 9 = 0, где s = a/b = (3/2)^(x/2). Корни s = 9/4 и s = −1 (не подходит). (3/2)^(x/2) = (3/2)², x/2 = 2, x = 4.
3) Делим на 25^x: 2·(2/5)^(2x) − 3·(2/5)^x − 5 = 0. Пусть s = (2/5)^x > 0: 2s² − 3s − 5 = 0, s = 5/2 или s = −1 (не подходит). (2/5)^x = (2/5)^(−1), x = −1.
4) Делим на 16^x: 4·(3/4)^(2x) + (3/4)^x − 3 = 0. Пусть s = (3/4)^x > 0: 4s² + s − 3 = 0, s = 3/4 или s = −1 (не подходит). x = 1.
Ответ: 1) 2; 2) 4; 3) −1; 4) 1.
2) Пусть a = 3^(x/2), b = 2^(x/2) (a, b > 0): 4a² − 9b² = 5ab. Делим на b²: 4s² − 5s − 9 = 0, где s = a/b = (3/2)^(x/2). Корни s = 9/4 и s = −1 (не подходит). (3/2)^(x/2) = (3/2)², x/2 = 2, x = 4.
3) Делим на 25^x: 2·(2/5)^(2x) − 3·(2/5)^x − 5 = 0. Пусть s = (2/5)^x > 0: 2s² − 3s − 5 = 0, s = 5/2 или s = −1 (не подходит). (2/5)^x = (2/5)^(−1), x = −1.
4) Делим на 16^x: 4·(3/4)^(2x) + (3/4)^x − 3 = 0. Пусть s = (3/4)^x > 0: 4s² + s − 3 = 0, s = 3/4 или s = −1 (не подходит). x = 1.
Ответ: 1) 2; 2) 4; 3) −1; 4) 1.
265. Решить неравенство:
1) 3^(|x − 2|) < 9;
2) 4^(|x + 1|) > 16;
3) 2^(|x − 2|) > 4^(|x + 1|);
4) 5^(|x + 4|) < 25^(|x|).
1) 3^(|x − 2|) < 9;
2) 4^(|x + 1|) > 16;
3) 2^(|x − 2|) > 4^(|x + 1|);
4) 5^(|x + 4|) < 25^(|x|).
1) 3^(|x − 2|) < 3², |x − 2| < 2, 0 < x < 4.
2) 4^(|x + 1|) > 4², |x + 1| > 2, x + 1 < −2 или x + 1 > 2, то есть x < −3 или x > 1.
3) 4^(|x + 1|) = 2^(2|x + 1|), значит |x − 2| > 2|x + 1|. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: x² − 4x + 4 > 4x² + 8x + 4, 3x² + 12x < 0, −4 < x < 0.
4) 25^(|x|) = 5^(2|x|), значит |x + 4| < 2|x|; возводим в квадрат: x² + 8x + 16 < 4x², 3x² − 8x − 16 > 0, корни 4 и −4/3, значит x < −4/3 или x > 4.
Ответ: 1) 0 < x < 4; 2) x < −3, x > 1; 3) −4 < x < 0; 4) x < −4/3, x > 4.
2) 4^(|x + 1|) > 4², |x + 1| > 2, x + 1 < −2 или x + 1 > 2, то есть x < −3 или x > 1.
3) 4^(|x + 1|) = 2^(2|x + 1|), значит |x − 2| > 2|x + 1|. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: x² − 4x + 4 > 4x² + 8x + 4, 3x² + 12x < 0, −4 < x < 0.
4) 25^(|x|) = 5^(2|x|), значит |x + 4| < 2|x|; возводим в квадрат: x² + 8x + 16 < 4x², 3x² − 8x − 16 > 0, корни 4 и −4/3, значит x < −4/3 или x > 4.
Ответ: 1) 0 < x < 4; 2) x < −3, x > 1; 3) −4 < x < 0; 4) x < −4/3, x > 4.