Глава III. § 14. Системы показательных уравнений и неравенств — с. 87
244. Решить систему:
1) система: 5^(2x + 1) > 625; 11^(6x² − 10x) = 11^(9x − 15);
2) система: 0,3^(10x² − 47x) = 0,3^(−10x − 7); 3,7^(x²) = 3,7^(0,04).
1) система: 5^(2x + 1) > 625; 11^(6x² − 10x) = 11^(9x − 15);
2) система: 0,3^(10x² − 47x) = 0,3^(−10x − 7); 3,7^(x²) = 3,7^(0,04).
1) Первое неравенство: 5^(2x + 1) > 5^4, 2x + 1 > 4, x > 3/2. Второе: 6x² − 10x = 9x − 15, 6x² − 19x + 15 = 0, D = 361 − 360 = 1, x = (19 ± 1)/12, то есть x = 5/3 или x = 3/2. Условию x > 3/2 удовлетворяет только x = 5/3. Ответ: x = 5/3.
2) Второе уравнение: x² = 0,04, x = ±0,2. Первое: 10x² − 47x = −10x − 7, 10x² − 37x + 7 = 0, D = 1369 − 280 = 1089 = 33², x = (37 ± 33)/20, то есть x = 3,5 или x = 0,2. Общий корень: x = 0,2. Проверка: 10·0,04 − 9,4 = −9 и −2 − 7 = −9. Ответ: x = 0,2.
2) Второе уравнение: x² = 0,04, x = ±0,2. Первое: 10x² − 47x = −10x − 7, 10x² − 37x + 7 = 0, D = 1369 − 280 = 1089 = 33², x = (37 ± 33)/20, то есть x = 3,5 или x = 0,2. Общий корень: x = 0,2. Проверка: 10·0,04 − 9,4 = −9 и −2 − 7 = −9. Ответ: x = 0,2.
245. Решить систему:
1) система: (5^x)^y = 5^21; 5^x·5^y = 5^10; 3^x > 3^y;
2) система: (0,2^y)^x = 0,008; 0,4^y = 0,4^(3,5 − x); 2^x·0,5^y > 1.
1) система: (5^x)^y = 5^21; 5^x·5^y = 5^10; 3^x > 3^y;
2) система: (0,2^y)^x = 0,008; 0,4^y = 0,4^(3,5 − x); 2^x·0,5^y > 1.
1) Из первого xy = 21, из второго x + y = 10; из неравенства 3^x > 3^y следует x > y. По теореме, обратной теореме Виета, числа x и y — корни уравнения t² − 10t + 21 = 0, то есть 3 и 7. Так как x > y: x = 7, y = 3. Ответ: (7; 3).
2) 0,008 = 0,2³, поэтому xy = 3. Из второго уравнения y = 3,5 − x, то есть x + y = 3,5. Неравенство: 2^x·2^(−y) > 1, 2^(x − y) > 1, x > y. Числа x и y — корни уравнения t² − 3,5t + 3 = 0, D = 12,25 − 12 = 0,25, t = (3,5 ± 0,5)/2 = 2 или 1,5. Так как x > y: x = 2, y = 1,5. Ответ: (2; 1,5).
2) 0,008 = 0,2³, поэтому xy = 3. Из второго уравнения y = 3,5 − x, то есть x + y = 3,5. Неравенство: 2^x·2^(−y) > 1, 2^(x − y) > 1, x > y. Числа x и y — корни уравнения t² − 3,5t + 3 = 0, D = 12,25 − 12 = 0,25, t = (3,5 ± 0,5)/2 = 2 или 1,5. Так как x > y: x = 2, y = 1,5. Ответ: (2; 1,5).
246. Сравнить числа:
1) 4^(−√3) и 4^(−√2);
2) 2^(√3) и 2^(1,7);
3) (1/2)^(1,4) и (1/2)^(√2);
4) (1/9)^π и (1/9)^(3,14).
1) 4^(−√3) и 4^(−√2);
2) 2^(√3) и 2^(1,7);
3) (1/2)^(1,4) и (1/2)^(√2);
4) (1/9)^π и (1/9)^(3,14).
1) Основание 4 > 1, функция возрастает. Так как −√3 < −√2, то 4^(−√3) < 4^(−√2).
2) Основание 2 > 1. Так как √3 ≈ 1,732 > 1,7, то 2^(√3) > 2^(1,7).
3) Основание 1/2 < 1, функция убывает. Так как 1,4 < √2 (1,4² = 1,96 < 2), то (1/2)^(1,4) > (1/2)^(√2).
4) Основание 1/9 < 1, функция убывает. Так как π > 3,14, то (1/9)^π < (1/9)^(3,14).
Ответ: 1) <; 2) >; 3) >; 4) <.
2) Основание 2 > 1. Так как √3 ≈ 1,732 > 1,7, то 2^(√3) > 2^(1,7).
3) Основание 1/2 < 1, функция убывает. Так как 1,4 < √2 (1,4² = 1,96 < 2), то (1/2)^(1,4) > (1/2)^(√2).
4) Основание 1/9 < 1, функция убывает. Так как π > 3,14, то (1/9)^π < (1/9)^(3,14).
Ответ: 1) <; 2) >; 3) >; 4) <.
247. Сравнить с единицей число:
1) 2^(−√5);
2) (1/2)^(√3);
3) (π/4)^(√5 − 2);
4) (1/3)^(√8 − 3).
1) 2^(−√5);
2) (1/2)^(√3);
3) (π/4)^(√5 − 2);
4) (1/3)^(√8 − 3).
Для a > 1 имеем a^t > 1 при t > 0 и a^t < 1 при t < 0; для 0 < a < 1 наоборот.
1) Основание 2 > 1, показатель −√5 < 0, значит 2^(−√5) < 1.
2) Основание 1/2 < 1, показатель √3 > 0, значит (1/2)^(√3) < 1.
3) π/4 < 1 (так как π < 4), показатель √5 − 2 > 0 (√5 > 2), значит (π/4)^(√5 − 2) < 1.
4) Основание 1/3 < 1, показатель √8 − 3 < 0 (√8 < 3), значит (1/3)^(√8 − 3) > 1.
Ответ: 1) меньше 1; 2) меньше 1; 3) меньше 1; 4) больше 1.
1) Основание 2 > 1, показатель −√5 < 0, значит 2^(−√5) < 1.
2) Основание 1/2 < 1, показатель √3 > 0, значит (1/2)^(√3) < 1.
3) π/4 < 1 (так как π < 4), показатель √5 − 2 > 0 (√5 > 2), значит (π/4)^(√5 − 2) < 1.
4) Основание 1/3 < 1, показатель √8 − 3 < 0 (√8 < 3), значит (1/3)^(√8 − 3) > 1.
Ответ: 1) меньше 1; 2) меньше 1; 3) меньше 1; 4) больше 1.
248. (Устно.) Является ли функция возрастающей или убывающей:
1) y = 0,78^x;
2) y = 1,69^x;
3) y = (1/2)^(−x);
4) y = 4^(−x)?
1) y = 0,78^x;
2) y = 1,69^x;
3) y = (1/2)^(−x);
4) y = 4^(−x)?
1) Основание 0,78 < 1, функция убывающая.
2) Основание 1,69 > 1, функция возрастающая.
3) (1/2)^(−x) = 2^x, основание 2 > 1, функция возрастающая.
4) 4^(−x) = (1/4)^x, основание меньше 1, функция убывающая.
2) Основание 1,69 > 1, функция возрастающая.
3) (1/2)^(−x) = 2^x, основание 2 > 1, функция возрастающая.
4) 4^(−x) = (1/4)^x, основание меньше 1, функция убывающая.
249. В каком промежутке находятся значения функции при x ∈ [−1; 2]:
1) y = 5^x;
2) y = 5^(−x)?
1) y = 5^x;
2) y = 5^(−x)?
1) Функция 5^x возрастает, поэтому наименьшее значение при x = −1: 5^(−1) = 1/5, наибольшее при x = 2: 5² = 25. Значения лежат в промежутке [1/5; 25].
2) Функция 5^(−x) = (1/5)^x убывает: наибольшее значение при x = −1: 5^1 = 5, наименьшее при x = 2: 5^(−2) = 1/25 = 0,04. Значения лежат в промежутке [0,04; 5].
Ответ: 1) [0,2; 25]; 2) [0,04; 5].
2) Функция 5^(−x) = (1/5)^x убывает: наибольшее значение при x = −1: 5^1 = 5, наименьшее при x = 2: 5^(−2) = 1/25 = 0,04. Значения лежат в промежутке [0,04; 5].
Ответ: 1) [0,2; 25]; 2) [0,04; 5].