Глава III. § 14. Системы показательных уравнений и неравенств — с. 86
240. Решить систему уравнений:
1) система: 2x − y = 1; 5^(x + y) = 25;
2) система: x − y = 2; 3^(x² + y) = 1/9;
3) система: x + y = 1; 2^(x − y) = 8;
4) система: x + 2y = 3; 3^(x − y) = 81.
1) система: 2x − y = 1; 5^(x + y) = 25;
2) система: x − y = 2; 3^(x² + y) = 1/9;
3) система: x + y = 1; 2^(x − y) = 8;
4) система: x + 2y = 3; 3^(x − y) = 81.
1) Из второго уравнения 5^(x + y) = 5², x + y = 2. Складываем с первым: 3x = 3, x = 1, y = 1. Ответ: (1; 1).
2) Второе уравнение: 3^(x² + y) = 3^(−2), x² + y = −2. Из первого y = x − 2, поэтому x² + x − 2 = −2, x² + x = 0, x = 0 или x = −1. Тогда y = −2 или y = −3. Ответ: (0; −2), (−1; −3).
3) Второе уравнение: x − y = 3. Складываем с x + y = 1: 2x = 4, x = 2, y = −1. Ответ: (2; −1).
4) Второе уравнение: 3^(x − y) = 3^4, x − y = 4. Вычитаем из x + 2y = 3: 3y = −1, y = −1/3, x = 4 + y = 11/3. Ответ: (11/3; −1/3).
2) Второе уравнение: 3^(x² + y) = 3^(−2), x² + y = −2. Из первого y = x − 2, поэтому x² + x − 2 = −2, x² + x = 0, x = 0 или x = −1. Тогда y = −2 или y = −3. Ответ: (0; −2), (−1; −3).
3) Второе уравнение: x − y = 3. Складываем с x + y = 1: 2x = 4, x = 2, y = −1. Ответ: (2; −1).
4) Второе уравнение: 3^(x − y) = 3^4, x − y = 4. Вычитаем из x + 2y = 3: 3y = −1, y = −1/3, x = 4 + y = 11/3. Ответ: (11/3; −1/3).
241. Решить систему уравнений:
1) система: 4^x·2^y = 32; 3^(8x + 1) = 3^(3y);
2) система: 3^(3x − 2y) = 81; 3^(6x)·3^y = 27.
1) система: 4^x·2^y = 32; 3^(8x + 1) = 3^(3y);
2) система: 3^(3x − 2y) = 81; 3^(6x)·3^y = 27.
1) Первое: 2^(2x + y) = 2^5, 2x + y = 5. Второе: 8x + 1 = 3y. Из первого y = 5 − 2x, тогда 8x + 1 = 15 − 6x, 14x = 14, x = 1, y = 3. Ответ: (1; 3).
2) Первое: 3x − 2y = 4. Второе: 3^(6x + y) = 3³, 6x + y = 3, y = 3 − 6x. Подставляем: 3x − 6 + 12x = 4, 15x = 10, x = 2/3, y = −1. Ответ: (2/3; −1).
2) Первое: 3x − 2y = 4. Второе: 3^(6x + y) = 3³, 6x + y = 3, y = 3 − 6x. Подставляем: 3x − 6 + 12x = 4, 15x = 10, x = 2/3, y = −1. Ответ: (2/3; −1).
242. Решить систему уравнений:
1) система: 2^x + 2^y = 6; 2^x − 2^y = 2;
2) система: 3^x + 5^y = 8; 3^x − 5^y = −2.
1) система: 2^x + 2^y = 6; 2^x − 2^y = 2;
2) система: 3^x + 5^y = 8; 3^x − 5^y = −2.
1) Складываем уравнения: 2·2^x = 8, 2^x = 4, x = 2. Вычитаем: 2·2^y = 4, 2^y = 2, y = 1. Ответ: (2; 1).
2) Складываем: 2·3^x = 6, 3^x = 3, x = 1. Вычитаем: 2·5^y = 10, 5^y = 5, y = 1. Ответ: (1; 1).
2) Складываем: 2·3^x = 6, 3^x = 3, x = 1. Вычитаем: 2·5^y = 10, 5^y = 5, y = 1. Ответ: (1; 1).
243. Решить систему уравнений:
1) система: 5^x − 5^y = 100; 5^(x − 1) + 5^(y − 1) = 30;
2) система: 2^x − 9·3^y = 7; 2^x·3^y = 8/9;
3) система: 16^y − 16^x = 24; 16^(x + y) = 256;
4) система: 3^x + 2^(x + y + 1) = 5; 3^(x + 1) − 2^(x + y) = 1;
5) система: 5^(x + 1)·3^y = 75; 3^x·5^(y − 1) = 3;
6) система: 3^x·2^y = 4; 3^y·2^x = 9.
1) система: 5^x − 5^y = 100; 5^(x − 1) + 5^(y − 1) = 30;
2) система: 2^x − 9·3^y = 7; 2^x·3^y = 8/9;
3) система: 16^y − 16^x = 24; 16^(x + y) = 256;
4) система: 3^x + 2^(x + y + 1) = 5; 3^(x + 1) − 2^(x + y) = 1;
5) система: 5^(x + 1)·3^y = 75; 3^x·5^(y − 1) = 3;
6) система: 3^x·2^y = 4; 3^y·2^x = 9.
1) Второе уравнение умножим на 5: 5^x + 5^y = 150. Складываем с первым: 2·5^x = 250, 5^x = 125, x = 3; тогда 5^y = 25, y = 2. Ответ: (3; 2).
2) Пусть u = 2^x > 0, v = 3^y > 0: u − 9v = 7, uv = 8/9. Тогда u = 7 + 9v, 9v² + 7v − 8/9 = 0, 81v² + 63v − 8 = 0, D = 3969 + 2592 = 6561 = 81², v = (−63 + 81)/162 = 1/9 (второй корень отрицателен). Тогда 3^y = 3^(−2), y = −2; u = 8, x = 3. Ответ: (3; −2).
3) Пусть u = 16^x, v = 16^y: v − u = 24, uv = 256. Тогда u(u + 24) = 256, u² + 24u − 256 = 0, u = 8 (корень −32 не подходит), v = 32. 16^x = 8: 2^(4x) = 2³, x = 3/4; 16^y = 32: 4y = 5, y = 5/4. Ответ: (3/4; 5/4).
4) Пусть u = 3^x, w = 2^(x + y): u + 2w = 5, 3u − w = 1. Из второго w = 3u − 1, тогда u + 6u − 2 = 5, u = 1, w = 2. Значит x = 0, x + y = 1, y = 1. Ответ: (0; 1).
5) Перемножим уравнения: 5^(x + y)·3^(x + y) = 225, 15^(x + y) = 15², x + y = 2. Разделим первое на второе: 5^(x − y + 2)·3^(y − x) = 25, значит (5/3)^(x − y) = 1, x = y. Тогда x = y = 1. Проверка: 5²·3 = 75, 3·5^0 = 3. Ответ: (1; 1).
6) Перемножим: 6^(x + y) = 36, x + y = 2. Разделим первое на второе: (3/2)^(x − y) = 4/9 = (3/2)^(−2), x − y = −2. Тогда x = 0, y = 2. Проверка: 3^0·2² = 4, 3²·2^0 = 9. Ответ: (0; 2).
2) Пусть u = 2^x > 0, v = 3^y > 0: u − 9v = 7, uv = 8/9. Тогда u = 7 + 9v, 9v² + 7v − 8/9 = 0, 81v² + 63v − 8 = 0, D = 3969 + 2592 = 6561 = 81², v = (−63 + 81)/162 = 1/9 (второй корень отрицателен). Тогда 3^y = 3^(−2), y = −2; u = 8, x = 3. Ответ: (3; −2).
3) Пусть u = 16^x, v = 16^y: v − u = 24, uv = 256. Тогда u(u + 24) = 256, u² + 24u − 256 = 0, u = 8 (корень −32 не подходит), v = 32. 16^x = 8: 2^(4x) = 2³, x = 3/4; 16^y = 32: 4y = 5, y = 5/4. Ответ: (3/4; 5/4).
4) Пусть u = 3^x, w = 2^(x + y): u + 2w = 5, 3u − w = 1. Из второго w = 3u − 1, тогда u + 6u − 2 = 5, u = 1, w = 2. Значит x = 0, x + y = 1, y = 1. Ответ: (0; 1).
5) Перемножим уравнения: 5^(x + y)·3^(x + y) = 225, 15^(x + y) = 15², x + y = 2. Разделим первое на второе: 5^(x − y + 2)·3^(y − x) = 25, значит (5/3)^(x − y) = 1, x = y. Тогда x = y = 1. Проверка: 5²·3 = 75, 3·5^0 = 3. Ответ: (1; 1).
6) Перемножим: 6^(x + y) = 36, x + y = 2. Разделим первое на второе: (3/2)^(x − y) = 4/9 = (3/2)^(−2), x − y = −2. Тогда x = 0, y = 2. Проверка: 3^0·2² = 4, 3²·2^0 = 9. Ответ: (0; 2).