Глава III. § 14. Системы показательных уравнений и неравенств — с. 84
233. Найти целые решения неравенства на отрезке [−3; 3]:
1) 9^x − 3^x − 6 > 0;
2) 4^x − 2^x < 12;
3) 5^(2x + 1) + 4·5^x − 1 > 0;
4) 3·9^x + 11·3^x < 4.
1) 9^x − 3^x − 6 > 0;
2) 4^x − 2^x < 12;
3) 5^(2x + 1) + 4·5^x − 1 > 0;
4) 3·9^x + 11·3^x < 4.
1) Пусть t = 3^x > 0: t² − t − 6 > 0, (t − 3)(t + 2) > 0, при t > 0 получаем t > 3, то есть x > 1. На [−3; 3] целые решения: 2; 3.
2) Пусть t = 2^x > 0: t² − t − 12 < 0, (t − 4)(t + 3) < 0, значит 0 < t < 4, x < 2. Целые числа на отрезке: −3; −2; −1; 0; 1.
3) Пусть t = 5^x > 0: 5t² + 4t − 1 > 0, корни t = 1/5 и t = −1, поэтому t > 1/5, то есть 5^x > 5^(−1), x > −1. Целые решения: 0; 1; 2; 3.
4) Пусть t = 3^x > 0: 3t² + 11t − 4 < 0, корни t = 1/3 и t = −4, значит 0 < t < 1/3, x < −1. Целые решения на отрезке: −3; −2.
Ответ: 1) 2; 3; 2) −3; −2; −1; 0; 1; 3) 0; 1; 2; 3; 4) −3; −2.
2) Пусть t = 2^x > 0: t² − t − 12 < 0, (t − 4)(t + 3) < 0, значит 0 < t < 4, x < 2. Целые числа на отрезке: −3; −2; −1; 0; 1.
3) Пусть t = 5^x > 0: 5t² + 4t − 1 > 0, корни t = 1/5 и t = −1, поэтому t > 1/5, то есть 5^x > 5^(−1), x > −1. Целые решения: 0; 1; 2; 3.
4) Пусть t = 3^x > 0: 3t² + 11t − 4 < 0, корни t = 1/3 и t = −4, значит 0 < t < 1/3, x < −1. Целые решения на отрезке: −3; −2.
Ответ: 1) 2; 3; 2) −3; −2; −1; 0; 1; 3) 0; 1; 2; 3; 4) −3; −2.
234. Найти область определения функции:
1) y = √(25^x − 5^x);
2) y = √(4^x − 1).
1) y = √(25^x − 5^x);
2) y = √(4^x − 1).
1) Нужно 25^x − 5^x ≥ 0, то есть 5^(2x) ≥ 5^x. Основание 5 > 1: 2x ≥ x, x ≥ 0.
2) Нужно 4^x − 1 ≥ 0, 4^x ≥ 4^0, x ≥ 0.
Ответ: 1) x ≥ 0; 2) x ≥ 0.
2) Нужно 4^x − 1 ≥ 0, 4^x ≥ 4^0, x ≥ 0.
Ответ: 1) x ≥ 0; 2) x ≥ 0.
235. При каких значениях x значения функции y = (1/4)^x больше значений функции y = (1/2)^x + 12?
Нужно решить неравенство (1/4)^x > (1/2)^x + 12. Так как (1/4)^x = ((1/2)^x)², положим t = (1/2)^x > 0: t² − t − 12 > 0, (t − 4)(t + 3) > 0. При t > 0 получаем t > 4, то есть (1/2)^x > (1/2)^(−2). Основание меньше 1, знак меняется: x < −2.
Проверка: при x = −3 имеем 4³ = 64 > 2³ + 12 = 20; при x = 0 имеем 1 < 13.
Ответ: x < −2.
Проверка: при x = −3 имеем 4³ = 64 > 2³ + 12 = 20; при x = 0 имеем 1 < 13.
Ответ: x < −2.
236. Решить графически неравенство:
1) (1/3)^x ≥ x + 1;
2) (1/2)^x < x − 1/2;
3) 2^x ≤ 9 − x/3;
4) 3^x > −2x/3 − 1/3.
1) (1/3)^x ≥ x + 1;
2) (1/2)^x < x − 1/2;
3) 2^x ≤ 9 − x/3;
4) 3^x > −2x/3 − 1/3.
Строим графики обеих частей и находим абсциссу точки пересечения (она единственна, так как одна функция монотонно убывает, другая возрастает), затем по расположению графиков выбираем нужный промежуток.
1) Графики пересекаются в точке (0; 1). Убывающая функция (1/3)^x лежит не ниже прямой y = x + 1 при x ≤ 0.
2) Графики пересекаются в точке (1; 1/2). Прямая y = x − 1/2 лежит выше убывающей функции (1/2)^x при x > 1.
3) Графики пересекаются в точке (3; 8): 2³ = 8 = 9 − 1. Возрастающая функция 2^x лежит не выше убывающей прямой при x ≤ 3.
4) Графики пересекаются в точке (−1; 1/3): 3^(−1) = 1/3 = 2/3 − 1/3. Возрастающая функция 3^x лежит выше убывающей прямой при x > −1.
Ответ: 1) x ≤ 0; 2) x > 1; 3) x ≤ 3; 4) x > −1.
1) Графики пересекаются в точке (0; 1). Убывающая функция (1/3)^x лежит не ниже прямой y = x + 1 при x ≤ 0.
2) Графики пересекаются в точке (1; 1/2). Прямая y = x − 1/2 лежит выше убывающей функции (1/2)^x при x > 1.
3) Графики пересекаются в точке (3; 8): 2³ = 8 = 9 − 1. Возрастающая функция 2^x лежит не выше убывающей прямой при x ≤ 3.
4) Графики пересекаются в точке (−1; 1/3): 3^(−1) = 1/3 = 2/3 − 1/3. Возрастающая функция 3^x лежит выше убывающей прямой при x > −1.
Ответ: 1) x ≤ 0; 2) x > 1; 3) x ≤ 3; 4) x > −1.
237. Решить графически уравнение:
1) 2^x = 3 − 2x − x²;
2) 3^(−x) = √x;
3) (1/3)^x = −3/x;
4) (1/2)^x = x³ − 1.
1) 2^x = 3 − 2x − x²;
2) 3^(−x) = √x;
3) (1/3)^x = −3/x;
4) (1/2)^x = x³ − 1.
Строим графики левой и правой частей и находим абсциссы точек пересечения; точные значения проверяем подстановкой, приближённые считаем с точностью до десятых.
1) Парабола y = 3 − 2x − x² = 4 − (x + 1)² с вершиной (−1; 4) пересекает график возрастающей функции y = 2^x в двух точках: левая абсцисса около −3,0, правая около 0,6. Проверка: при x = 0,58 имеем 2^0,58 ≈ 1,49 и 3 − 1,16 − 0,34 ≈ 1,50; при x = −2,97 имеем 2^(−2,97) ≈ 0,127 и 3 + 5,94 − 8,82 = 0,12.
2) Функция y = 3^(−x) убывает, y = √x возрастает, поэтому корень один: x ≈ 0,4 (3^(−0,4) ≈ 0,64, √0,4 ≈ 0,63).
3) При x > 0 правая часть отрицательна, а левая положительна, решений нет. При x < 0 график y = 3^(−x) возрастает при убывании x, а график y = −3/x убывает по модулю, поэтому пересечение одно: (−1; 3). Проверка: (1/3)^(−1) = 3 = −3/(−1). x = −1.
4) Функция (1/2)^x убывает, а x³ − 1 возрастает; корень один: x ≈ 1,1 ((1/2)^1,1 ≈ 0,47, 1,1³ − 1 ≈ 0,33; при 1,13 значения близки).
Ответ: 1) x ≈ −3,0 и x ≈ 0,6; 2) x ≈ 0,4; 3) x = −1; 4) x ≈ 1,1.
Оговорка: корни в пунктах 1, 2 и 4 найдены графически приближённо.
1) Парабола y = 3 − 2x − x² = 4 − (x + 1)² с вершиной (−1; 4) пересекает график возрастающей функции y = 2^x в двух точках: левая абсцисса около −3,0, правая около 0,6. Проверка: при x = 0,58 имеем 2^0,58 ≈ 1,49 и 3 − 1,16 − 0,34 ≈ 1,50; при x = −2,97 имеем 2^(−2,97) ≈ 0,127 и 3 + 5,94 − 8,82 = 0,12.
2) Функция y = 3^(−x) убывает, y = √x возрастает, поэтому корень один: x ≈ 0,4 (3^(−0,4) ≈ 0,64, √0,4 ≈ 0,63).
3) При x > 0 правая часть отрицательна, а левая положительна, решений нет. При x < 0 график y = 3^(−x) возрастает при убывании x, а график y = −3/x убывает по модулю, поэтому пересечение одно: (−1; 3). Проверка: (1/3)^(−1) = 3 = −3/(−1). x = −1.
4) Функция (1/2)^x убывает, а x³ − 1 возрастает; корень один: x ≈ 1,1 ((1/2)^1,1 ≈ 0,47, 1,1³ − 1 ≈ 0,33; при 1,13 значения близки).
Ответ: 1) x ≈ −3,0 и x ≈ 0,6; 2) x ≈ 0,4; 3) x = −1; 4) x ≈ 1,1.
Оговорка: корни в пунктах 1, 2 и 4 найдены графически приближённо.
238. Решить неравенство:
1) 11^(√(x + 6)) > 11^x;
2) 0,3^(√(30 − x)) > 0,3^x.
1) 11^(√(x + 6)) > 11^x;
2) 0,3^(√(30 − x)) > 0,3^x.
1) Основание 11 > 1, значит √(x + 6) > x. Область определения: x ≥ −6.
Если −6 ≤ x < 0, правая часть отрицательна, неравенство верно.
Если x ≥ 0, возводим в квадрат: x + 6 > x², x² − x − 6 < 0, −2 < x < 3, то есть 0 ≤ x < 3.
Объединяя, получаем −6 ≤ x < 3.
2) Основание 0,3 < 1, знак меняется: √(30 − x) < x. Область определения: x ≤ 30; нужно x ≥ 0 (корень неотрицателен). Возводим в квадрат: 30 − x < x², x² + x − 30 > 0, (x + 6)(x − 5) > 0, x < −6 или x > 5. С учётом x ≥ 0 и x ≤ 30: 5 < x ≤ 30.
Ответ: 1) −6 ≤ x < 3; 2) 5 < x ≤ 30.
Если −6 ≤ x < 0, правая часть отрицательна, неравенство верно.
Если x ≥ 0, возводим в квадрат: x + 6 > x², x² − x − 6 < 0, −2 < x < 3, то есть 0 ≤ x < 3.
Объединяя, получаем −6 ≤ x < 3.
2) Основание 0,3 < 1, знак меняется: √(30 − x) < x. Область определения: x ≤ 30; нужно x ≥ 0 (корень неотрицателен). Возводим в квадрат: 30 − x < x², x² + x − 30 > 0, (x + 6)(x − 5) > 0, x < −6 или x > 5. С учётом x ≥ 0 и x ≤ 30: 5 < x ≤ 30.
Ответ: 1) −6 ≤ x < 3; 2) 5 < x ≤ 30.
239. Решить неравенство:
1) 0,4^x − 2,5^(x + 1) > 1,5;
2) 25·0,04^(2x) > 0,2^(x(3 − x));
3) 4^x/(4^x − 3^x) < 4;
4) (1/4)^x − 32·(1/8)^(x² − 1) < 0.
1) 0,4^x − 2,5^(x + 1) > 1,5;
2) 25·0,04^(2x) > 0,2^(x(3 − x));
3) 4^x/(4^x − 3^x) < 4;
4) (1/4)^x − 32·(1/8)^(x² − 1) < 0.
1) 2,5^(x + 1) = 2,5·2,5^x = 2,5/0,4^x. Пусть t = 0,4^x > 0: t − 2,5/t > 1,5, t² − 1,5t − 2,5 > 0, корни 2,5 и −1, значит t > 2,5 = 0,4^(−1). Основание меньше 1: x < −1.
2) 25 = 0,2^(−2), 0,04^(2x) = 0,2^(4x). Тогда 0,2^(4x − 2) > 0,2^(3x − x²); основание меньше 1: 4x − 2 < 3x − x², x² + x − 2 < 0, −2 < x < 1.
3) Пусть t = (3/4)^x > 0, t ≠ 1 (знаменатель не нуль). Делим числитель и знаменатель на 4^x: 1/(1 − t) < 4.
Если t > 1 (x < 0), знаменатель отрицателен, дробь отрицательна и меньше 4: неравенство верно.
Если t < 1 (x > 0): 1 < 4(1 − t), t < 3/4, то есть (3/4)^x < 3/4, x > 1.
Решение: x < 0 или x > 1.
4) Приводим к основанию 2: 2^(−2x) < 2^5·2^(−3(x² − 1)) = 2^(8 − 3x²). Основание 2 > 1: −2x < 8 − 3x², 3x² − 2x − 8 < 0, корни 2 и −4/3, значит −4/3 < x < 2.
Ответ: 1) x < −1; 2) −2 < x < 1; 3) x < 0, x > 1; 4) −4/3 < x < 2.
2) 25 = 0,2^(−2), 0,04^(2x) = 0,2^(4x). Тогда 0,2^(4x − 2) > 0,2^(3x − x²); основание меньше 1: 4x − 2 < 3x − x², x² + x − 2 < 0, −2 < x < 1.
3) Пусть t = (3/4)^x > 0, t ≠ 1 (знаменатель не нуль). Делим числитель и знаменатель на 4^x: 1/(1 − t) < 4.
Если t > 1 (x < 0), знаменатель отрицателен, дробь отрицательна и меньше 4: неравенство верно.
Если t < 1 (x > 0): 1 < 4(1 − t), t < 3/4, то есть (3/4)^x < 3/4, x > 1.
Решение: x < 0 или x > 1.
4) Приводим к основанию 2: 2^(−2x) < 2^5·2^(−3(x² − 1)) = 2^(8 − 3x²). Основание 2 > 1: −2x < 8 − 3x², 3x² − 2x − 8 < 0, корни 2 и −4/3, значит −4/3 < x < 2.
Ответ: 1) x < −1; 2) −2 < x < 1; 3) x < 0, x > 1; 4) −4/3 < x < 2.