Глава III. § 12. Показательные уравнения — с. 81
226. Решить уравнение:
1) 4 · 9ˣ − 13 · 6ˣ + 9 · 4ˣ = 0;
2) 16 · 9ˣ − 25 · 12ˣ + 9 · 16ˣ = 0;
3) корень x-й степени из 2 · корень 2x-й степени из 3 = 12;
4) корень x-й степени из 5 · 5ˣ = 25.
1) 4 · 9ˣ − 13 · 6ˣ + 9 · 4ˣ = 0;
2) 16 · 9ˣ − 25 · 12ˣ + 9 · 16ˣ = 0;
3) корень x-й степени из 2 · корень 2x-й степени из 3 = 12;
4) корень x-й степени из 5 · 5ˣ = 25.
1) Делим на 4ˣ > 0: 4 · (3/2)^(2x) − 13 · (3/2)ˣ + 9 = 0. Пусть t = (3/2)ˣ > 0: 4t² − 13t + 9 = 0, D = 169 − 144 = 25, t = (13 ± 5)/8: t = 9/4 или t = 1. (3/2)ˣ = (3/2)² → x = 2; (3/2)ˣ = 1 → x = 0.
2) Делим на 16ˣ > 0: 16 · (3/4)^(2x) − 25 · (3/4)ˣ + 9 = 0. t = (3/4)ˣ > 0: 16t² − 25t + 9 = 0, D = 625 − 576 = 49, t = (25 ± 7)/32: t = 1 или t = 9/16. Тогда x = 0 или x = 2.
3) Корень x-й степени имеет смысл при натуральном x > 1 (показатель корня — натуральное число, большее 1). Уравнение: 2^(1/x) · 3^(1/(2x)) = 12. Возводим в степень 2x: 2² · 3 = 12^(2x), 12 = 12^(2x), 2x = 1, x = 1/2. Но x = 1/2 не натуральное число, поэтому корней нет.
4) Уравнение: 5^(1/x) · 5ˣ = 5², 1/x + x = 2, x² − 2x + 1 = 0, x = 1. Но показатель корня должен быть натуральным числом, большим 1, поэтому x = 1 не подходит. Корней нет.
Ответ: 1) 0; 2; 2) 0; 2; 3) корней нет; 4) корней нет.
Оговорка: в п. 3) и 4) принято, что корень x-й степени определён при натуральном x > 1 (как в задаче 9 параграфа); ответ «нет корней» для п. 4) совпадает с ответом учебника. Если допустить x = 1 в п. 4), получилось бы x = 1.
2) Делим на 16ˣ > 0: 16 · (3/4)^(2x) − 25 · (3/4)ˣ + 9 = 0. t = (3/4)ˣ > 0: 16t² − 25t + 9 = 0, D = 625 − 576 = 49, t = (25 ± 7)/32: t = 1 или t = 9/16. Тогда x = 0 или x = 2.
3) Корень x-й степени имеет смысл при натуральном x > 1 (показатель корня — натуральное число, большее 1). Уравнение: 2^(1/x) · 3^(1/(2x)) = 12. Возводим в степень 2x: 2² · 3 = 12^(2x), 12 = 12^(2x), 2x = 1, x = 1/2. Но x = 1/2 не натуральное число, поэтому корней нет.
4) Уравнение: 5^(1/x) · 5ˣ = 5², 1/x + x = 2, x² − 2x + 1 = 0, x = 1. Но показатель корня должен быть натуральным числом, большим 1, поэтому x = 1 не подходит. Корней нет.
Ответ: 1) 0; 2; 2) 0; 2; 3) корней нет; 4) корней нет.
Оговорка: в п. 3) и 4) принято, что корень x-й степени определён при натуральном x > 1 (как в задаче 9 параграфа); ответ «нет корней» для п. 4) совпадает с ответом учебника. Если допустить x = 1 в п. 4), получилось бы x = 1.
227. Доказать, что уравнение имеет только один корень x = 1:
1) 4ˣ + 25ˣ = 29;
2) 7ˣ + 18ˣ = 25.
1) 4ˣ + 25ˣ = 29;
2) 7ˣ + 18ˣ = 25.
1) Подставим x = 1: 4 + 25 = 29, равенство верно, значит x = 1 — корень. Функции y = 4ˣ и y = 25ˣ возрастают на всей числовой прямой (основания больше 1), поэтому их сумма f(x) = 4ˣ + 25ˣ тоже возрастает. Возрастающая функция принимает каждое значение ровно один раз, поэтому уравнение f(x) = 29 не имеет других корней: при x > 1 имеем f(x) > f(1) = 29, при x < 1 имеем f(x) < 29.
2) При x = 1: 7 + 18 = 25 — верно. Функция g(x) = 7ˣ + 18ˣ — сумма двух возрастающих функций, значит возрастает и принимает значение 25 только при x = 1.
Что и требовалось доказать.
2) При x = 1: 7 + 18 = 25 — верно. Функция g(x) = 7ˣ + 18ˣ — сумма двух возрастающих функций, значит возрастает и принимает значение 25 только при x = 1.
Что и требовалось доказать.