Глава III. § 12. Показательные уравнения — с. 79
208. Решить уравнение:
1) 4^(x − 1) = 1;
2) 0,3^(3x − 2) = 1;
3) 2^(2x) = 2^(4√3);
4) (1/3)^(3x) = (1/3)^(−2).
1) 4^(x − 1) = 1;
2) 0,3^(3x − 2) = 1;
3) 2^(2x) = 2^(4√3);
4) (1/3)^(3x) = (1/3)^(−2).
1) 4^(x − 1) = 4⁰, откуда x − 1 = 0, x = 1.
2) 0,3^(3x − 2) = 0,3⁰, 3x − 2 = 0, x = 2/3.
3) Основания равны: 2x = 4√3, x = 2√3.
4) Основания равны: 3x = −2, x = −2/3.
Ответ: 1) 1; 2) 2/3; 3) 2√3; 4) −2/3.
2) 0,3^(3x − 2) = 0,3⁰, 3x − 2 = 0, x = 2/3.
3) Основания равны: 2x = 4√3, x = 2√3.
4) Основания равны: 3x = −2, x = −2/3.
Ответ: 1) 1; 2) 2/3; 3) 2√3; 4) −2/3.
209. Решить уравнение:
1) 27ˣ = 1/3;
2) 400ˣ = 1/20;
3) (1/5)ˣ = 25;
4) (1/3)ˣ = 1/81.
1) 27ˣ = 1/3;
2) 400ˣ = 1/20;
3) (1/5)ˣ = 25;
4) (1/3)ˣ = 1/81.
1) 27ˣ = 3^(3x), 1/3 = 3^(−1): 3x = −1, x = −1/3.
2) 400ˣ = 20^(2x), 1/20 = 20^(−1): 2x = −1, x = −1/2.
3) 25 = (1/5)^(−2): x = −2.
4) 1/81 = (1/3)⁴: x = 4.
Ответ: 1) −1/3; 2) −1/2; 3) −2; 4) 4.
2) 400ˣ = 20^(2x), 1/20 = 20^(−1): 2x = −1, x = −1/2.
3) 25 = (1/5)^(−2): x = −2.
4) 1/81 = (1/3)⁴: x = 4.
Ответ: 1) −1/3; 2) −1/2; 3) −2; 4) 4.
210. Решить уравнение:
1) 3 · 9ˣ = 81;
2) 2 · 4ˣ = 64;
3) 3^(x + 1/2) · 3^(x − 2) = 1;
4) 0,5^(x + 7) · 0,5^(1 − 2x) = 2;
5) 0,6ˣ · 0,6³ = 0,6^(2x)/0,6⁵;
6) 6^(3x) · 1/6 = 6 · (1/6)^(2x).
1) 3 · 9ˣ = 81;
2) 2 · 4ˣ = 64;
3) 3^(x + 1/2) · 3^(x − 2) = 1;
4) 0,5^(x + 7) · 0,5^(1 − 2x) = 2;
5) 0,6ˣ · 0,6³ = 0,6^(2x)/0,6⁵;
6) 6^(3x) · 1/6 = 6 · (1/6)^(2x).
1) 9ˣ = 27, 3^(2x) = 3³, 2x = 3, x = 3/2.
2) 4ˣ = 32, 2^(2x) = 2⁵, 2x = 5, x = 5/2.
3) Левая часть 3^(x + 1/2 + x − 2) = 3^(2x − 3/2) = 3⁰, откуда 2x = 3/2, x = 3/4.
4) Левая часть 0,5^(x + 7 + 1 − 2x) = 0,5^(8 − x); 2 = 0,5^(−1). Значит 8 − x = −1, x = 9.
5) Левая часть 0,6^(x + 3); правая 0,6^(2x − 5). Тогда x + 3 = 2x − 5, x = 8.
6) Левая часть 6^(3x − 1); правая 6 · 6^(−2x) = 6^(1 − 2x). Тогда 3x − 1 = 1 − 2x, 5x = 2, x = 2/5.
Ответ: 1) 3/2; 2) 5/2; 3) 3/4; 4) 9; 5) 8; 6) 2/5.
2) 4ˣ = 32, 2^(2x) = 2⁵, 2x = 5, x = 5/2.
3) Левая часть 3^(x + 1/2 + x − 2) = 3^(2x − 3/2) = 3⁰, откуда 2x = 3/2, x = 3/4.
4) Левая часть 0,5^(x + 7 + 1 − 2x) = 0,5^(8 − x); 2 = 0,5^(−1). Значит 8 − x = −1, x = 9.
5) Левая часть 0,6^(x + 3); правая 0,6^(2x − 5). Тогда x + 3 = 2x − 5, x = 8.
6) Левая часть 6^(3x − 1); правая 6 · 6^(−2x) = 6^(1 − 2x). Тогда 3x − 1 = 1 − 2x, 5x = 2, x = 2/5.
Ответ: 1) 3/2; 2) 5/2; 3) 3/4; 4) 9; 5) 8; 6) 2/5.
211. Решить уравнение:
1) 3^(2x − 1) + 3^(2x) = 108;
2) 2^(3x + 2) − 2^(3x − 2) = 30;
3) 2^(x + 1) + 2^(x − 1) + 2ˣ = 28;
4) 3^(x − 1) − 3ˣ + 3^(x + 1) = 63.
1) 3^(2x − 1) + 3^(2x) = 108;
2) 2^(3x + 2) − 2^(3x − 2) = 30;
3) 2^(x + 1) + 2^(x − 1) + 2ˣ = 28;
4) 3^(x − 1) − 3ˣ + 3^(x + 1) = 63.
Выносим за скобки степень с наименьшим показателем.
1) 3^(2x − 1)(1 + 3) = 108, 3^(2x − 1) = 27 = 3³, 2x − 1 = 3, x = 2.
2) 2^(3x − 2)(2⁴ − 1) = 30, 15 · 2^(3x − 2) = 30, 2^(3x − 2) = 2, 3x − 2 = 1, x = 1.
3) 2^(x − 1)(2² + 1 + 2) = 28, 7 · 2^(x − 1) = 28, 2^(x − 1) = 4, x − 1 = 2, x = 3.
4) 3^(x − 1)(1 − 3 + 9) = 63, 7 · 3^(x − 1) = 63, 3^(x − 1) = 9, x − 1 = 2, x = 3.
Ответ: 1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) 3.
1) 3^(2x − 1)(1 + 3) = 108, 3^(2x − 1) = 27 = 3³, 2x − 1 = 3, x = 2.
2) 2^(3x − 2)(2⁴ − 1) = 30, 15 · 2^(3x − 2) = 30, 2^(3x − 2) = 2, 3x − 2 = 1, x = 1.
3) 2^(x − 1)(2² + 1 + 2) = 28, 7 · 2^(x − 1) = 28, 2^(x − 1) = 4, x − 1 = 2, x = 3.
4) 3^(x − 1)(1 − 3 + 9) = 63, 7 · 3^(x − 1) = 63, 3^(x − 1) = 9, x − 1 = 2, x = 3.
Ответ: 1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) 3.
212. Решить уравнение:
1) 5ˣ = 8ˣ;
2) (1/2)ˣ = (1/3)ˣ;
3) 3ˣ = 5^(2x);
4) 4ˣ = 3^(x/2).
1) 5ˣ = 8ˣ;
2) (1/2)ˣ = (1/3)ˣ;
3) 3ˣ = 5^(2x);
4) 4ˣ = 3^(x/2).
Во всех случаях делим на правую часть (она положительна) и получаем уравнение (a)ˣ = 1 при a ≠ 1, откуда x = 0.
1) (5/8)ˣ = 1, 5/8 ≠ 1, x = 0.
2) (3/2)ˣ = 1, x = 0.
3) 5^(2x) = 25ˣ, (3/25)ˣ = 1, x = 0.
4) 3^(x/2) = (√3)ˣ, (4/√3)ˣ = 1, основание 4/√3 ≠ 1, x = 0.
Ответ: во всех пунктах x = 0.
1) (5/8)ˣ = 1, 5/8 ≠ 1, x = 0.
2) (3/2)ˣ = 1, x = 0.
3) 5^(2x) = 25ˣ, (3/25)ˣ = 1, x = 0.
4) 3^(x/2) = (√3)ˣ, (4/√3)ˣ = 1, основание 4/√3 ≠ 1, x = 0.
Ответ: во всех пунктах x = 0.
213. Решить уравнение:
1) 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0;
2) 16ˣ − 17 · 4ˣ + 16 = 0;
3) 25ˣ − 6 · 5ˣ + 5 = 0;
4) 64ˣ − 8ˣ − 56 = 0.
1) 9ˣ − 4 · 3ˣ + 3 = 0;
2) 16ˣ − 17 · 4ˣ + 16 = 0;
3) 25ˣ − 6 · 5ˣ + 5 = 0;
4) 64ˣ − 8ˣ − 56 = 0.
Замена: показательная функция, возведённая в квадрат, даёт квадратное уравнение; помним, что t > 0.
1) t = 3ˣ > 0: t² − 4t + 3 = 0, t₁ = 1, t₂ = 3. 3ˣ = 1 → x = 0; 3ˣ = 3 → x = 1.
2) t = 4ˣ > 0: t² − 17t + 16 = 0, t = 1 или t = 16. 4ˣ = 1 → x = 0; 4ˣ = 16 → x = 2.
3) t = 5ˣ > 0: t² − 6t + 5 = 0, t = 1 или t = 5. x = 0 или x = 1.
4) t = 8ˣ > 0: t² − t − 56 = 0, t = 8 или t = −7. t = −7 не подходит (8ˣ > 0). 8ˣ = 8 → x = 1.
Ответ: 1) 0; 1; 2) 0; 2; 3) 0; 1; 4) 1.
1) t = 3ˣ > 0: t² − 4t + 3 = 0, t₁ = 1, t₂ = 3. 3ˣ = 1 → x = 0; 3ˣ = 3 → x = 1.
2) t = 4ˣ > 0: t² − 17t + 16 = 0, t = 1 или t = 16. 4ˣ = 1 → x = 0; 4ˣ = 16 → x = 2.
3) t = 5ˣ > 0: t² − 6t + 5 = 0, t = 1 или t = 5. x = 0 или x = 1.
4) t = 8ˣ > 0: t² − t − 56 = 0, t = 8 или t = −7. t = −7 не подходит (8ˣ > 0). 8ˣ = 8 → x = 1.
Ответ: 1) 0; 1; 2) 0; 2; 3) 0; 1; 4) 1.
214. Решить уравнение:
1) 3^(x² + x − 12) = 1;
2) 2^(x² − 7x + 10) = 1;
3) 2^((x − 1)/(x − 2)) = 4;
4) 0,5^(1/x) = 4^(1/(x + 1)).
1) 3^(x² + x − 12) = 1;
2) 2^(x² − 7x + 10) = 1;
3) 2^((x − 1)/(x − 2)) = 4;
4) 0,5^(1/x) = 4^(1/(x + 1)).
1) 3^(x² + x − 12) = 3⁰, x² + x − 12 = 0, x₁ = 3, x₂ = −4.
2) x² − 7x + 10 = 0, x₁ = 2, x₂ = 5.
3) ОДЗ: x ≠ 2. (x − 1)/(x − 2) = 2, x − 1 = 2x − 4, x = 3. Удовлетворяет ОДЗ.
4) ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ −1. 0,5^(1/x) = 2^(−1/x), 4^(1/(x + 1)) = 2^(2/(x + 1)). Тогда −1/x = 2/(x + 1), −(x + 1) = 2x, 3x = −1, x = −1/3. Входит в ОДЗ.
Ответ: 1) 3; −4; 2) 2; 5; 3) 3; 4) −1/3.
2) x² − 7x + 10 = 0, x₁ = 2, x₂ = 5.
3) ОДЗ: x ≠ 2. (x − 1)/(x − 2) = 2, x − 1 = 2x − 4, x = 3. Удовлетворяет ОДЗ.
4) ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ −1. 0,5^(1/x) = 2^(−1/x), 4^(1/(x + 1)) = 2^(2/(x + 1)). Тогда −1/x = 2/(x + 1), −(x + 1) = 2x, 3x = −1, x = −1/3. Входит в ОДЗ.
Ответ: 1) 3; −4; 2) 2; 5; 3) 3; 4) −1/3.