Глава III. § 11. Показательная функция, её свойства и график — с. 76
192. Построить график функции:
1) y = 3ˣ;
2) y = (1/3)ˣ.
1) y = 3ˣ;
2) y = (1/3)ˣ.
Строим графики по точкам.
1) y = 3ˣ. Таблица: x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; y = 1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27. Основание 3 > 1, функция возрастает, определена при всех x, значения только положительные; график проходит через (0; 1), при x → −∞ приближается к оси Ox (горизонтальная асимптота y = 0).
2) y = (1/3)ˣ = 3^(−x). Таблица: x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; y = 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27. Основание 0 < 1/3 < 1, функция убывает; график проходит через (0; 1) и симметричен графику y = 3ˣ относительно оси Oy; при x → +∞ приближается к оси Ox.
Ответ: графики на рисунке.
1) y = 3ˣ. Таблица: x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; y = 1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27. Основание 3 > 1, функция возрастает, определена при всех x, значения только положительные; график проходит через (0; 1), при x → −∞ приближается к оси Ox (горизонтальная асимптота y = 0).
2) y = (1/3)ˣ = 3^(−x). Таблица: x = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; y = 27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27. Основание 0 < 1/3 < 1, функция убывает; график проходит через (0; 1) и симметричен графику y = 3ˣ относительно оси Oy; при x → +∞ приближается к оси Ox.
Ответ: графики на рисунке.
193. С помощью графика функции y = 3ˣ найти приближённое значение:
1) √3;
2) 3^(2/3);
3) 1/√3;
4) 3^(−1,5).
1) √3;
2) 3^(2/3);
3) 1/√3;
4) 3^(−1,5).
Строим график y = 3ˣ и по каждому значению показателя находим ординату точки графика.
1) √3 = 3^(1/2) = 3^0,5: при x = 0,5 по графику y ≈ 1,7.
2) 3^(2/3): x = 2/3 ≈ 0,67, y ≈ 2,1.
3) 1/√3 = 3^(−1/2) = 3^(−0,5): x = −0,5, y ≈ 0,6.
4) 3^(−1,5): x = −1,5, y ≈ 0,2.
Ответ: 1) ≈ 1,7; 2) ≈ 2,1; 3) ≈ 0,6; 4) ≈ 0,2 (проверка: √3 ≈ 1,73; 3^(2/3) ≈ 2,08; 1/√3 ≈ 0,58; 3^(−1,5) ≈ 0,19).
1) √3 = 3^(1/2) = 3^0,5: при x = 0,5 по графику y ≈ 1,7.
2) 3^(2/3): x = 2/3 ≈ 0,67, y ≈ 2,1.
3) 1/√3 = 3^(−1/2) = 3^(−0,5): x = −0,5, y ≈ 0,6.
4) 3^(−1,5): x = −1,5, y ≈ 0,2.
Ответ: 1) ≈ 1,7; 2) ≈ 2,1; 3) ≈ 0,6; 4) ≈ 0,2 (проверка: √3 ≈ 1,73; 3^(2/3) ≈ 2,08; 1/√3 ≈ 0,58; 3^(−1,5) ≈ 0,19).
194. Изобразить схематически график функции:
1) y = 0,4ˣ;
2) y = (√2)ˣ;
3) y = (1/√2)ˣ;
4) y = (√3)ˣ.
1) y = 0,4ˣ;
2) y = (√2)ˣ;
3) y = (1/√2)ˣ;
4) y = (√3)ˣ.
Все функции показательные y = aˣ: определены при всех x, принимают только положительные значения, график проходит через точку (0; 1) и имеет асимптоту y = 0. Характер монотонности определяется основанием.
1) a = 0,4 < 1: функция убывает; график идёт сверху вниз, при x → +∞ приближается к оси Ox.
2) a = √2 ≈ 1,41 > 1: функция возрастает.
3) a = 1/√2 ≈ 0,71 < 1: убывает (график симметричен графику y = (√2)ˣ относительно оси Oy).
4) a = √3 ≈ 1,73 > 1: возрастает, круче, чем y = (√2)ˣ при x > 0.
Ответ: схематические графики на рисунке.
1) a = 0,4 < 1: функция убывает; график идёт сверху вниз, при x → +∞ приближается к оси Ox.
2) a = √2 ≈ 1,41 > 1: функция возрастает.
3) a = 1/√2 ≈ 0,71 < 1: убывает (график симметричен графику y = (√2)ˣ относительно оси Oy).
4) a = √3 ≈ 1,73 > 1: возрастает, круче, чем y = (√2)ˣ при x > 0.
Ответ: схематические графики на рисунке.
195. (Устно.) Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравнить числа:
1) 1,7³ и 1;
2) 0,3² и 1;
3) 3,2^1,5 и 3,2^1,6;
4) 0,2^(−3) и 0,2^(−2);
5) (1/5)^√2 и (1/5)^1,4;
6) 3^π и 3^3,14.
1) 1,7³ и 1;
2) 0,3² и 1;
3) 3,2^1,5 и 3,2^1,6;
4) 0,2^(−3) и 0,2^(−2);
5) (1/5)^√2 и (1/5)^1,4;
6) 3^π и 3^3,14.
Единица — это нулевая степень любого основания: 1 = a⁰.
1) 1,7³ и 1,7⁰: основание 1,7 > 1, функция возрастает, 3 > 0, значит 1,7³ > 1.
2) 0,3² и 0,3⁰: основание 0,3 < 1, функция убывает, 2 > 0, значит 0,3² < 1.
3) Основание 3,2 > 1, функция возрастает; 1,5 < 1,6, значит 3,2^1,5 < 3,2^1,6.
4) Основание 0,2 < 1, функция убывает; −3 < −2, значит 0,2^(−3) > 0,2^(−2).
5) Основание 1/5 < 1, функция убывает; √2 ≈ 1,414 > 1,4, значит (1/5)^√2 < (1/5)^1,4.
6) Основание 3 > 1, функция возрастает; π ≈ 3,14159 > 3,14, значит 3^π > 3^3,14.
Ответ: 1) >; 2) <; 3) <; 4) >; 5) <; 6) >.
1) 1,7³ и 1,7⁰: основание 1,7 > 1, функция возрастает, 3 > 0, значит 1,7³ > 1.
2) 0,3² и 0,3⁰: основание 0,3 < 1, функция убывает, 2 > 0, значит 0,3² < 1.
3) Основание 3,2 > 1, функция возрастает; 1,5 < 1,6, значит 3,2^1,5 < 3,2^1,6.
4) Основание 0,2 < 1, функция убывает; −3 < −2, значит 0,2^(−3) > 0,2^(−2).
5) Основание 1/5 < 1, функция убывает; √2 ≈ 1,414 > 1,4, значит (1/5)^√2 < (1/5)^1,4.
6) Основание 3 > 1, функция возрастает; π ≈ 3,14159 > 3,14, значит 3^π > 3^3,14.
Ответ: 1) >; 2) <; 3) <; 4) >; 5) <; 6) >.
196. Сравнить с единицей число:
1) (0,1)^√2;
2) (3,5)^0,1;
3) π^(−2,7);
4) (√5/5)^(−1,2).
1) (0,1)^√2;
2) (3,5)^0,1;
3) π^(−2,7);
4) (√5/5)^(−1,2).
Сравниваем с a⁰ = 1 по основанию и знаку показателя.
1) Основание 0,1 < 1, показатель √2 > 0: функция убывает, (0,1)^√2 < (0,1)⁰ = 1.
2) Основание 3,5 > 1, показатель 0,1 > 0: 3,5^0,1 > 3,5⁰ = 1.
3) Основание π > 1, показатель −2,7 < 0: π^(−2,7) < π⁰ = 1.
4) Основание √5/5 = 1/√5 < 1, показатель −1,2 < 0: функция убывает, значит (√5/5)^(−1,2) > (√5/5)⁰ = 1.
Ответ: 1) меньше 1; 2) больше 1; 3) меньше 1; 4) больше 1.
1) Основание 0,1 < 1, показатель √2 > 0: функция убывает, (0,1)^√2 < (0,1)⁰ = 1.
2) Основание 3,5 > 1, показатель 0,1 > 0: 3,5^0,1 > 3,5⁰ = 1.
3) Основание π > 1, показатель −2,7 < 0: π^(−2,7) < π⁰ = 1.
4) Основание √5/5 = 1/√5 < 1, показатель −1,2 < 0: функция убывает, значит (√5/5)^(−1,2) > (√5/5)⁰ = 1.
Ответ: 1) меньше 1; 2) больше 1; 3) меньше 1; 4) больше 1.
197. Найти координаты точки пересечения графиков функций:
1) y = 2ˣ и y = 8;
2) y = 3ˣ и y = 1/3;
3) y = (1/4)ˣ и y = 1/16;
4) y = (1/3)ˣ и y = 9.
1) y = 2ˣ и y = 8;
2) y = 3ˣ и y = 1/3;
3) y = (1/4)ˣ и y = 1/16;
4) y = (1/3)ˣ и y = 9.
Приравниваем функции и решаем показательное уравнение.
1) 2ˣ = 8 = 2³, x = 3. Точка (3; 8).
2) 3ˣ = 1/3 = 3^(−1), x = −1. Точка (−1; 1/3).
3) (1/4)ˣ = 1/16 = (1/4)², x = 2. Точка (2; 1/16).
4) (1/3)ˣ = 9 = (1/3)^(−2), x = −2. Точка (−2; 9).
Показательная функция монотонна, поэтому точка пересечения с горизонтальной прямой единственная.
Ответ: 1. (3; 8); 2. (−1; 1/3); 3. (2; 1/16); 4. (−2; 9).
1) 2ˣ = 8 = 2³, x = 3. Точка (3; 8).
2) 3ˣ = 1/3 = 3^(−1), x = −1. Точка (−1; 1/3).
3) (1/4)ˣ = 1/16 = (1/4)², x = 2. Точка (2; 1/16).
4) (1/3)ˣ = 9 = (1/3)^(−2), x = −2. Точка (−2; 9).
Показательная функция монотонна, поэтому точка пересечения с горизонтальной прямой единственная.
Ответ: 1. (3; 8); 2. (−1; 1/3); 3. (2; 1/16); 4. (−2; 9).
198. (Устно.) Решить уравнение:
1) 5ˣ = 1/5;
2) 7ˣ = 49;
3) (1/3)ˣ = √3;
4) (1/7)ˣ = ∛7.
1) 5ˣ = 1/5;
2) 7ˣ = 49;
3) (1/3)ˣ = √3;
4) (1/7)ˣ = ∛7.
Приводим обе части к одному основанию; степени с одинаковым основанием a > 0, a ≠ 1 равны тогда и только тогда, когда равны показатели.
1) 5ˣ = 5^(−1), x = −1.
2) 7ˣ = 7², x = 2.
3) (1/3)ˣ = 3^(−x), √3 = 3^(1/2); −x = 1/2, x = −1/2.
4) (1/7)ˣ = 7^(−x), ∛7 = 7^(1/3); −x = 1/3, x = −1/3.
Ответ: 1) −1; 2) 2; 3) −1/2; 4) −1/3.
1) 5ˣ = 5^(−1), x = −1.
2) 7ˣ = 7², x = 2.
3) (1/3)ˣ = 3^(−x), √3 = 3^(1/2); −x = 1/2, x = −1/2.
4) (1/7)ˣ = 7^(−x), ∛7 = 7^(1/3); −x = 1/3, x = −1/3.
Ответ: 1) −1; 2) 2; 3) −1/2; 4) −1/3.
199. (Устно.) Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:
1) y = 0,3^(−x);
2) y = (1/7)^(−x);
3) y = 1,3^(−2x);
4) y = 0,7^(−3x).
1) y = 0,3^(−x);
2) y = (1/7)^(−x);
3) y = 1,3^(−2x);
4) y = 0,7^(−3x).
Приводим функцию к виду y = aˣ и смотрим на основание: при a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
1) 0,3^(−x) = (0,3^(−1))ˣ = (10/3)ˣ, основание 10/3 > 1 — функция возрастающая.
2) (1/7)^(−x) = 7ˣ, основание 7 > 1 — возрастающая.
3) 1,3^(−2x) = (1,3^(−2))ˣ = (1/1,69)ˣ, основание 1/1,69 < 1 — убывающая.
4) 0,7^(−3x) = (0,7^(−3))ˣ = (1000/343)ˣ, основание > 1 — возрастающая.
Ответ: 1) возрастающая; 2) возрастающая; 3) убывающая; 4) возрастающая.
1) 0,3^(−x) = (0,3^(−1))ˣ = (10/3)ˣ, основание 10/3 > 1 — функция возрастающая.
2) (1/7)^(−x) = 7ˣ, основание 7 > 1 — возрастающая.
3) 1,3^(−2x) = (1,3^(−2))ˣ = (1/1,69)ˣ, основание 1/1,69 < 1 — убывающая.
4) 0,7^(−3x) = (0,7^(−3))ˣ = (1000/343)ˣ, основание > 1 — возрастающая.
Ответ: 1) возрастающая; 2) возрастающая; 3) убывающая; 4) возрастающая.
200. Решить графически неравенство:
1) (1/3)ˣ > 1;
2) (1/2)ˣ < 1;
3) 5ˣ > 5;
4) 5ˣ < 1/5.
1) (1/3)ˣ > 1;
2) (1/2)ˣ < 1;
3) 5ˣ > 5;
4) 5ˣ < 1/5.
Строим график функции в левой части и горизонтальную прямую y, равную правой части; выбираем те x, при которых график лежит выше (ниже) прямой.
1) График y = (1/3)ˣ пересекает прямую y = 1 в точке x = 0. Функция убывает, график выше прямой при x < 0. Ответ: x < 0.
2) y = (1/2)ˣ убывает, пересекает y = 1 при x = 0, ниже прямой при x > 0. Ответ: x > 0.
3) y = 5ˣ возрастает, пересекает y = 5 при x = 1, выше прямой при x > 1. Ответ: x > 1.
4) y = 5ˣ пересекает y = 1/5 при x = −1 (5^(−1) = 1/5), ниже прямой при x < −1. Ответ: x < −1.
1) График y = (1/3)ˣ пересекает прямую y = 1 в точке x = 0. Функция убывает, график выше прямой при x < 0. Ответ: x < 0.
2) y = (1/2)ˣ убывает, пересекает y = 1 при x = 0, ниже прямой при x > 0. Ответ: x > 0.
3) y = 5ˣ возрастает, пересекает y = 5 при x = 1, выше прямой при x > 1. Ответ: x > 1.
4) y = 5ˣ пересекает y = 1/5 при x = −1 (5^(−1) = 1/5), ниже прямой при x < −1. Ответ: x < −1.
201. Построить график функции:
1) y = 3ˣ − 2;
2) y = (1/2)ˣ + 3;
3) y = 2^(x + 1);
4) y = 3^(x − 2).
1) y = 3ˣ − 2;
2) y = (1/2)ˣ + 3;
3) y = 2^(x + 1);
4) y = 3^(x − 2).
Графики получаем сдвигом графика y = aˣ.
1) y = 3ˣ − 2: график y = 3ˣ сдвигаем вниз на 2 вдоль оси Oy. Асимптота y = −2, точка (0; −1), пересечение с Ox: 3ˣ = 2, x = log₃ 2 ≈ 0,63. Функция возрастает.
2) y = (1/2)ˣ + 3: график y = (1/2)ˣ сдвигаем вверх на 3. Асимптота y = 3, точки (0; 4), (1; 3,5). Функция убывает, область значений y > 3.
3) y = 2^(x + 1): график y = 2ˣ сдвигаем влево на 1 вдоль оси Ox (то же, что растяжение вдвое: y = 2·2ˣ). Точки (−1; 1), (0; 2), асимптота y = 0.
4) y = 3^(x − 2): график y = 3ˣ сдвигаем вправо на 2. Точки (2; 1), (3; 3), (0; 1/9), асимптота y = 0.
Ответ: графики на рисунке.
1) y = 3ˣ − 2: график y = 3ˣ сдвигаем вниз на 2 вдоль оси Oy. Асимптота y = −2, точка (0; −1), пересечение с Ox: 3ˣ = 2, x = log₃ 2 ≈ 0,63. Функция возрастает.
2) y = (1/2)ˣ + 3: график y = (1/2)ˣ сдвигаем вверх на 3. Асимптота y = 3, точки (0; 4), (1; 3,5). Функция убывает, область значений y > 3.
3) y = 2^(x + 1): график y = 2ˣ сдвигаем влево на 1 вдоль оси Ox (то же, что растяжение вдвое: y = 2·2ˣ). Точки (−1; 1), (0; 2), асимптота y = 0.
4) y = 3^(x − 2): график y = 3ˣ сдвигаем вправо на 2. Точки (2; 1), (3; 3), (0; 1/9), асимптота y = 0.
Ответ: графики на рисунке.
202. Доказать, что графики функций y = 2ˣ и y = (1/2)ˣ симметричны относительно оси ординат.
Две кривые симметричны относительно оси Oy, если точка (x; y) лежит на одной из них тогда и только тогда, когда точка (−x; y) лежит на другой.
Пусть точка (x₀; y₀) принадлежит графику y = 2ˣ, то есть y₀ = 2^(x₀). Точка, симметричная ей относительно оси Oy, — это (−x₀; y₀). Проверим, что она лежит на графике y = (1/2)ˣ: (1/2)^(−x₀) = (2^(−1))^(−x₀) = 2^(x₀) = y₀. Верно.
Обратно, если (x₁; y₁) принадлежит графику y = (1/2)ˣ, то y₁ = (1/2)^(x₁) = 2^(−x₁), и точка (−x₁; y₁) лежит на графике y = 2ˣ.
Так как (1/2)ˣ = 2^(−x) = f(−x) для f(x) = 2ˣ, графики симметричны относительно оси ординат. Что и требовалось доказать.
Пусть точка (x₀; y₀) принадлежит графику y = 2ˣ, то есть y₀ = 2^(x₀). Точка, симметричная ей относительно оси Oy, — это (−x₀; y₀). Проверим, что она лежит на графике y = (1/2)ˣ: (1/2)^(−x₀) = (2^(−1))^(−x₀) = 2^(x₀) = y₀. Верно.
Обратно, если (x₁; y₁) принадлежит графику y = (1/2)ˣ, то y₁ = (1/2)^(x₁) = 2^(−x₁), и точка (−x₁; y₁) лежит на графике y = 2ˣ.
Так как (1/2)ˣ = 2^(−x) = f(−x) для f(x) = 2ˣ, графики симметричны относительно оси ординат. Что и требовалось доказать.