Упражнения 184–191 — Глава II. Упражнения к главе II

1) Обе функции определены при x ≥ 0: √(x⁵) = x^(5/2), x√x = x^(3/2). Обе проходят через (0; 0) и (1; 1) и возрастают. При 0 < x < 1 выполняется x^(5/2) < x^(3/2) (график y = √(x⁵) ниже), при x > 1 — x^(5/2) > x^(3/2) (график y = √(x⁵) выше и растёт круче). Например, при x = 2: 2^(5/2) ≈ 5,66, 2^(3/2) ≈ 2,83. Обе кривые касаются оси x в начале координат.
2) y = ⁵√x — возрастающая нечётная функция, D = R, график проходит через (−1; −1), (0; 0), (1; 1), в начале координат касается оси y. y = x^(−5) — нечётная функция, определённая при x ≠ 0, её график состоит из двух ветвей: при x > 0 убывающей в I четверти (проходит через (1; 1)), при x < 0 — в III четверти (проходит через (−1; −1)); оси — асимптоты. Графики пересекаются при x^(1/5) = x^(−5), x^(26/5) = 1, в точках (1; 1) и (−1; −1).

Найдём функцию, обратную первой, и сравним со второй (с учётом областей определения и значений).
1) y = (10 − 3x)/(x − 4): D: x ≠ 4. Выражаем x: y(x − 4) = 10 − 3x, xy − 4y = 10 − 3x, x(y + 3) = 4y + 10, x = (4y + 10)/(y + 3). Обратная: y = (4x + 10)/(x + 3) — это вторая функция. Область значений первой: y ≠ −3, совпадает с областью определения второй (x ≠ −3); область определения первой x ≠ 4 совпадает с множеством значений второй (y ≠ 4). Да, являются.
2) y = (3x − 6)/(3x − 1): y(3x − 1) = 3x − 6, 3xy − y = 3x − 6, x(3y − 3) = y − 6, x = (y − 6)/(3y − 3) = (6 − y)/(3 − 3y). Обратная: y = (6 − x)/(3 − 3x) — вторая функция. Области определения и значения согласуются (x ≠ 1/3, y ≠ 1 у первой; x ≠ 1, y ≠ 1/3 у второй). Да, являются.
3) y = 5/(1 − x): y(1 − x) = 5, x = 1 − 5/y = (y − 5)/y. Обратная: y = (x − 5)/x. Вторая функция y = (5 − x)/x = −(x − 5)/x ей не равна (например, при x = 1 обратная даёт −4, а вторая 4). Контроль: f(3) = 5/(1 − 3) = −5/2, а для взаимно обратных функций g(−5/2) должно равняться 3; на самом деле g(−5/2) = (5 + 5/2)/(−5/2) = −3 ≠ 3. Нет, не являются.
4) y = (2 − x)/(2 + x): y(2 + x) = 2 − x, 2y + xy = 2 − x, x(y + 1) = 2 − 2y, x = 2(1 − y)/(1 + y). Обратная: y = 2(1 − x)/(1 + x). Вторая функция y = 2(x − 1)/(1 + x) отличается знаком. Контроль: f(2) = 0, а для взаимно обратных функций g(0) должно равняться 2; на самом деле g(0) = 2(0 − 1)/(1 + 0) = −2 ≠ 2. Нет, не являются.

В каждом пункте сначала находим D и E исходной функции, затем выражаем x через y. Для обратной функции область определения равна E исходной, а множество значений — D исходной.
1) D: x ≥ −2; E: y ≥ 2. √(x + 2) = y − 2, x + 2 = (y − 2)², x = (y − 2)² − 2. Обратная функция: y = (x − 2)² − 2 = x² − 4x + 2, где x ≥ 2, y ≥ −2.
2) D: x ≥ −4; E: y ≤ 2. √(x + 4) = 2 − y, x = (2 − y)² − 4 = y² − 4y. Обратная функция: y = x² − 4x, где x ≤ 2, y ≥ −4.
3) D: x ≤ 3; E: y ≥ −1. √(3 − x) = y + 1, 3 − x = (y + 1)², x = 3 − (y + 1)². Обратная функция: y = 3 − (x + 1)² = 2 − 2x − x², где x ≥ −1, y ≤ 3.
4) D: x ≤ 1; E: y ≥ 3. √(1 − x) = y − 3, x = 1 − (y − 3)². Обратная функция: y = 1 − (x − 3)² = 6x − x² − 8, где x ≥ 3, y ≤ 1.

1) ОДЗ: x ≥ 4. При таких x выражение 2x − 1 > x − 3, поэтому √(2x − 1) > √(x − 3) и правая часть √(x − 3) − √(2x − 1) < 0, а левая часть √(x − 4) ≥ 0. Равенство невозможно. Ответ: корней нет.
2) ОДЗ: x ≥ 0. Перепишем: 2√(x + 3) = √x + √(2x + 7). Обе части неотрицательны: 4(x + 3) = x + 2x + 7 + 2√(x(2x + 7)), x + 5 = 2√(2x² + 7x). Ещё раз в квадрат: x² + 10x + 25 = 8x² + 28x, 7x² + 18x − 25 = 0, D = 324 + 700 = 1024, x = (−18 ± 32)/14, x = 1 или x = −25/7. Условию x ≥ 0 удовлетворяет x = 1. Проверка: 2·2 − 3 = 1 = √1. Ответ: x = 1.
3) ОДЗ: x ≥ 3. Перенесём: √(x − 3) + √(x + 4) = √(2x + 1). Возводим в квадрат: x − 3 + x + 4 + 2√((x − 3)(x + 4)) = 2x + 1, откуда 2√((x − 3)(x + 4)) = 0, (x − 3)(x + 4) = 0, x = 3 или x = −4. По ОДЗ подходит x = 3. Проверка: √0 = 0 = √7 − √7. Ответ: x = 3.
4) ОДЗ: x ≤ 1. Перепишем: √(9 − 2x) + √(1 − x) = 2√(4 − x). Возводим в квадрат: 9 − 2x + 1 − x + 2√((9 − 2x)(1 − x)) = 16 − 4x, откуда 2√((9 − 2x)(1 − x)) = 6 − x. При x ≤ 1 правая часть положительна. Ещё раз в квадрат: 4(9 − 11x + 2x²) = 36 − 12x + x², 8x² − 44x + 36 = 36 − 12x + x², 7x² − 32x = 0, x = 0 или x = 32/7. По ОДЗ подходит x = 0. Проверка: √9 = 3 = 2·2 − 1. Ответ: x = 0.

1) ОДЗ: x ≥ −4. Пусть t = корень 4-й степени из (x + 4), t ≥ 0; тогда √(x + 4) = t². Уравнение: t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2. x + 4 = 1, x = −3; x + 4 = 16, x = 12. Ответ: x = −3, x = 12.
2) ОДЗ: x ≥ 3. Пусть t = корень 4-й степени из (x − 3) ≥ 0: t² = 3t + 4, t² − 3t − 4 = 0, t = 4 или t = −1. Условию t ≥ 0 удовлетворяет t = 4: x − 3 = 256, x = 259. Ответ: x = 259.
3) ОДЗ: x ≤ 1. Пусть t = корень 6-й степени из (1 − x) ≥ 0, тогда ∛(1 − x) = t². Уравнение: t − 5t² = −6, 5t² − t − 6 = 0, D = 1 + 120 = 121, t = (1 ± 11)/10, t = 6/5 или t = −1. Подходит t = 6/5: 1 − x = (6/5)^6 = 46656/15625, x = 1 − 46656/15625 = −31031/15625 ≈ −1,986. Ответ: x = −31031/15625.
4) Пусть t = √(x² + 3x) ≥ 0, тогда t² + t − 2 = 0, t = 1 или t = −2. Подходит t = 1: x² + 3x = 1, x² + 3x − 1 = 0, D = 9 + 4 = 13, x = (−3 ± √13)/2. Оба корня удовлетворяют условию (подкоренное выражение равно 1). Ответ: x = (−3 ± √13)/2.
5) ОДЗ: −3 ≤ x ≤ 3, x ≠ 0 (знаменатель не равен нулю). Обозначим a = √(3 − x), b = √(3 + x), a ≠ b. Уравнение: (a + b)/(a − b) = 2, a + b = 2a − 2b, a = 3b. Тогда 3 − x = 9(3 + x), 3 − x = 27 + 9x, 10x = −24, x = −2,4. Проверка: a = √5,4, b = √0,6, a = 3b, (3b + b)/(3b − b) = 2. Ответ: x = −12/5.
6) ОДЗ: x ≥ −2. Пусть t = √(x + 2) ≥ 0, x + 2 = t². Тогда x + 6 − 4√(x + 2) = t² + 4 − 4t = (t − 2)², 11 + x − 6√(x + 2) = t² + 9 − 6t = (t − 3)². Уравнение: |t − 2| + |t − 3| = 1. Сумма расстояний от t до точек 2 и 3 равна расстоянию между этими точками (1) только при 2 ≤ t ≤ 3 (на числовой прямой проверяем знаки: при t < 2 сумма равна 5 − 2t > 1, при t > 3 равна 2t − 5 > 1). Итак, 2 ≤ √(x + 2) ≤ 3, 4 ≤ x + 2 ≤ 9, 2 ≤ x ≤ 7. Ответ: 2 ≤ x ≤ 7.

1) Правая часть должна быть положительной: x − 1 > 0, x > 1 (ОДЗ x ≥ −1 выполнена). Возводим в квадрат: x + 1 < x² − 2x + 1, x² − 3x > 0, x < 0 или x > 3. С условием x > 1: x > 3. Ответ: x > 3.
2) ОДЗ: x ≤ 1. Если x + 1 < 0, то есть x < −1, неравенство верно (корень неотрицателен). Если x ≥ −1, возводим в квадрат: 1 − x > x² + 2x + 1, x² + 3x < 0, −3 < x < 0; с условием x ≥ −1 получаем −1 ≤ x < 0. Объединяя: x < 0. Ответ: x < 0.
3) ОДЗ: x ≥ 2/3. Если x < 2, правая часть отрицательна — неравенство верно: 2/3 ≤ x < 2. Если x ≥ 2: 3x − 2 > x² − 4x + 4, x² − 7x + 6 < 0, 1 < x < 6, с условием x ≥ 2 получаем 2 ≤ x < 6. Объединяя: 2/3 ≤ x < 6. Ответ: 2/3 ≤ x < 6.
4) ОДЗ: x ≥ −1/2; при этом x + 1 > 0. Возводим в квадрат: 2x + 1 ≤ x² + 2x + 1, x² ≥ 0 — верно при всех x. Ответ: x ≥ −1/2.

1) ОДЗ: 19x − x² − 78 > 0 ⇔ x² − 19x + 78 < 0 ⇔ 6 < x < 13. На ОДЗ знаменатель положителен, поэтому нужно x² − 13x + 40 ≤ 0, (x − 5)(x − 8) ≤ 0, 5 ≤ x ≤ 8. Пересечение: 6 < x ≤ 8. Ответ: 6 < x ≤ 8.
2) ОДЗ: 2x² + 7x − 4 ≥ 0 ⇔ (2x − 1)(x + 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ −4 или x ≥ 1/2, и x ≠ −4. То есть x < −4 или x ≥ 1/2.
Если x < −4: числитель положителен (или равен нулю), знаменатель отрицателен, дробь ≤ 0 < 1/2 — верно при всех таких x.
Если x ≥ 1/2: знаменатель положителен, 2√(2x² + 7x − 4) < x + 4, 4(2x² + 7x − 4) < x² + 8x + 16, 7x² + 20x − 32 < 0, корни x = −4 и x = 8/7, значит −4 < x < 8/7; с условием x ≥ 1/2: 1/2 ≤ x < 8/7.
Ответ: x < −4, 1/2 ≤ x < 8/7.
3) ОДЗ: x ≥ −3. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: 3 + x > x² − 6x + 9, x² − 7x + 6 < 0, 1 < x < 6. Эти значения входят в ОДЗ. Ответ: 1 < x < 6.
4) ОДЗ: −7 ≤ x ≤ 3. Возводим в квадрат: 3 − x < 7 + x + 10 + x + 2√((7 + x)(10 + x)), откуда −3x − 14 < 2√((x + 7)(x + 10)). Если −3x − 14 < 0, то есть x > −14/3, неравенство верно. Если x ≤ −14/3: (3x + 14)² < 4(x² + 17x + 70), 9x² + 84x + 196 < 4x² + 68x + 280, 5x² + 16x − 84 < 0, корни x = −6 и x = 14/5, значит −6 < x < 14/5; с условием x ≤ −14/3 и ОДЗ получаем −6 < x ≤ −14/3. Объединяя со случаем x > −14/3 (и x ≤ 3): −6 < x ≤ 3. Ответ: −6 < x ≤ 3.

1) ОДЗ: x ≥ 6. Функция f(x) = √(x − 2) + √(x − 6) возрастает на [6; +∞) как сумма возрастающих, f(6) = 2, и f принимает все значения от 2 до +∞.
Если a ≤ 2: f(x) ≥ 2 ≥ a при всех x из ОДЗ, решений нет.
Если a > 2: решим уравнение f(x) = a. Пусть u = √(x − 2), v = √(x − 6); тогда u² − v² = 4, u + v = a, откуда u − v = 4/a, u = (a + 4/a)/2 = (a² + 4)/(2a), x = 2 + (a² + 4)²/(4a²) = (a⁴ + 16a² + 16)/(4a²). Так как f возрастает, неравенство f(x) < a выполняется при 6 ≤ x < (a⁴ + 16a² + 16)/(4a²). (При a = 2 получаем 6 — согласовано.)
Ответ: если a ≤ 2, решений нет; если a > 2, то 6 ≤ x < (a⁴ + 16a² + 16)/(4a²).
2) Неравенство √(a² − x²) > −2x. ОДЗ: |x| ≤ |a|.
Если a = 0: ОДЗ — только x = 0, и 0 > 0 неверно. Решений нет.
Если a ≠ 0, пусть b = |a| > 0. Рассмотрим x ≥ 0: правая часть −2x ≤ 0, а левая положительна при x < b и равна нулю при x = b. При 0 ≤ x < b неравенство верно, при x = b: 0 > −2b верно. Значит, подходят 0 ≤ x ≤ b.
При −b ≤ x < 0 обе части положительны: b² − x² > 4x², x² < b²/5, |x| < b/√5, то есть −b/√5 < x < 0.
Объединяя: −|a|/√5 < x ≤ |a|.
Ответ: при a = 0 решений нет; при a ≠ 0: −|a|/√5 < x ≤ |a|.