Глава II. § 10 *. Иррациональные неравенства — с. 69
172. Решить графически неравенство:
1) √x ≥ x;
2) √x < x;
3) √x > x − 2;
4) √x ≤ x − 2.
1) √x ≥ x;
2) √x < x;
3) √x > x − 2;
4) √x ≤ x − 2.
Строим в одной системе координат графики функций, стоящих в левой и правой частях, и находим абсциссы точек пересечения; затем смотрим, где график корня лежит выше (ниже) графика линейной функции.
1) Графики y = √x и y = x пересекаются при √x = x, то есть при x = 0 и x = 1. На отрезке [0; 1] график √x лежит не ниже прямой y = x (например, √0,25 = 0,5 > 0,25), при x > 1 — ниже. Ответ: 0 ≤ x ≤ 1.
2) По рисунку √x < x при x > 1 (график корня ниже прямой). Ответ: x > 1.
3) Прямая y = x − 2 пересекает график y = √x в единственной точке (4; 2): √4 = 2 = 4 − 2. Левее этой точки (при 0 ≤ x < 4) график корня выше прямой; правее — ниже. Область определения: x ≥ 0. Ответ: 0 ≤ x < 4.
4) По рисунку √x ≤ x − 2 при x ≥ 4 (график корня не выше прямой). Ответ: x ≥ 4.
1) Графики y = √x и y = x пересекаются при √x = x, то есть при x = 0 и x = 1. На отрезке [0; 1] график √x лежит не ниже прямой y = x (например, √0,25 = 0,5 > 0,25), при x > 1 — ниже. Ответ: 0 ≤ x ≤ 1.
2) По рисунку √x < x при x > 1 (график корня ниже прямой). Ответ: x > 1.
3) Прямая y = x − 2 пересекает график y = √x в единственной точке (4; 2): √4 = 2 = 4 − 2. Левее этой точки (при 0 ≤ x < 4) график корня выше прямой; правее — ниже. Область определения: x ≥ 0. Ответ: 0 ≤ x < 4.
4) По рисунку √x ≤ x − 2 при x ≥ 4 (график корня не выше прямой). Ответ: x ≥ 4.
173. Решить графически неравенство:
1) √x ≤ 2x;
2) √x > 0,5x;
3) √x ≥ 2x − 1;
4) √x ≥ x².
1) √x ≤ 2x;
2) √x > 0,5x;
3) √x ≥ 2x − 1;
4) √x ≥ x².
1) Графики y = √x и y = 2x пересекаются при √x = 2x: x = 0 или (возводя в квадрат) x = 4x², откуда x = 1/4. Между точками пересечения (0 < x < 1/4) график корня выше прямой, правее x = 1/4 — ниже. Точка x = 0 удовлетворяет неравенству (0 ≤ 0). Ответ: x = 0 и x ≥ 1/4.
2) Графики y = √x и y = 0,5x пересекаются в точках x = 0 и x = 4 (√4 = 2 = 0,5·4). Между ними график корня выше прямой. Ответ: 0 < x < 4.
3) Прямая y = 2x − 1 пересекает график y = √x в точке (1; 1. (другое решение x = 1/4 уравнения 4x² − 5x + 1 = 0 посторонне: при нём 2x − 1 < 0). Левее x = 1 график корня лежит выше прямой на всей области определения. Ответ: 0 ≤ x ≤ 1.
4) Графики y = √x и y = x² пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1). На отрезке [0; 1] график корня не ниже параболы. Ответ: 0 ≤ x ≤ 1.
2) Графики y = √x и y = 0,5x пересекаются в точках x = 0 и x = 4 (√4 = 2 = 0,5·4). Между ними график корня выше прямой. Ответ: 0 < x < 4.
3) Прямая y = 2x − 1 пересекает график y = √x в точке (1; 1. (другое решение x = 1/4 уравнения 4x² − 5x + 1 = 0 посторонне: при нём 2x − 1 < 0). Левее x = 1 график корня лежит выше прямой на всей области определения. Ответ: 0 ≤ x ≤ 1.
4) Графики y = √x и y = x² пересекаются в точках (0; 0) и (1; 1). На отрезке [0; 1] график корня не ниже параболы. Ответ: 0 ≤ x ≤ 1.
174. Решить неравенство:
1) √(x² − 3x + 2) > x + 3;
2) √(2x² − 7x − 4) > −x − 1/4.
1) √(x² − 3x + 2) > x + 3;
2) √(2x² − 7x − 4) > −x − 1/4.
1) ОДЗ: x² − 3x + 2 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x − 2) ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 или x ≥ 2. Рассмотрим два случая.
Случай 1: x + 3 < 0, то есть x < −3. Правая часть отрицательна, неравенство верно при всех x из ОДЗ, то есть при x < −3.
Случай 2: x + 3 ≥ 0. Возводим в квадрат: x² − 3x + 2 > x² + 6x + 9, −9x > 7, x < −7/9. С условием x ≥ −3: −3 ≤ x < −7/9; эти числа лежат в ОДЗ (x ≤ 1).
Объединяя: x < −7/9. Ответ: x < −7/9.
2) ОДЗ: 2x² − 7x − 4 ≥ 0 ⇔ (2x + 1)(x − 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1/2 или x ≥ 4.
Случай 1: −x − 1/4 < 0, то есть x > −1/4. С учётом ОДЗ: x ≥ 4; для них неравенство верно (левая часть неотрицательна, правая отрицательна).
Случай 2: −x − 1/4 ≥ 0, x ≤ −1/4. Возводим в квадрат: 2x² − 7x − 4 > x² + x/2 + 1/16, x² − 15x/2 − 65/16 > 0, 16x² − 120x − 65 > 0. Корни: x = (15 ± √290)/4, поэтому x < (15 − √290)/4 или x > (15 + √290)/4. Так как (15 − √290)/4 ≈ −0,51 < −1/2, то x < (15 − √290)/4 удовлетворяет и ОДЗ (x ≤ −1/2), и условию x ≤ −1/4; значения x > (15 + √290)/4 не удовлетворяют условию x ≤ −1/4.
Объединяя: x < (15 − √290)/4 или x ≥ 4. Ответ: x < (15 − √290)/4, x ≥ 4.
Случай 1: x + 3 < 0, то есть x < −3. Правая часть отрицательна, неравенство верно при всех x из ОДЗ, то есть при x < −3.
Случай 2: x + 3 ≥ 0. Возводим в квадрат: x² − 3x + 2 > x² + 6x + 9, −9x > 7, x < −7/9. С условием x ≥ −3: −3 ≤ x < −7/9; эти числа лежат в ОДЗ (x ≤ 1).
Объединяя: x < −7/9. Ответ: x < −7/9.
2) ОДЗ: 2x² − 7x − 4 ≥ 0 ⇔ (2x + 1)(x − 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1/2 или x ≥ 4.
Случай 1: −x − 1/4 < 0, то есть x > −1/4. С учётом ОДЗ: x ≥ 4; для них неравенство верно (левая часть неотрицательна, правая отрицательна).
Случай 2: −x − 1/4 ≥ 0, x ≤ −1/4. Возводим в квадрат: 2x² − 7x − 4 > x² + x/2 + 1/16, x² − 15x/2 − 65/16 > 0, 16x² − 120x − 65 > 0. Корни: x = (15 ± √290)/4, поэтому x < (15 − √290)/4 или x > (15 + √290)/4. Так как (15 − √290)/4 ≈ −0,51 < −1/2, то x < (15 − √290)/4 удовлетворяет и ОДЗ (x ≤ −1/2), и условию x ≤ −1/4; значения x > (15 + √290)/4 не удовлетворяют условию x ≤ −1/4.
Объединяя: x < (15 − √290)/4 или x ≥ 4. Ответ: x < (15 − √290)/4, x ≥ 4.
175. Изобразить схематически график функции, указать её область определения и множество значений:
1) y = x⁹;
2) y = 7x^4;
3) y = √x;
4) y = ∛x;
5) y = x^(−2);
6) y = x^(−3).
1) y = x⁹;
2) y = 7x^4;
3) y = √x;
4) y = ∛x;
5) y = x^(−2);
6) y = x^(−3).
1) Нечётная степень с показателем 9: график похож на кубическую параболу, проходит через (−1; −1), (0; 0), (1; 1), возрастает, симметричен относительно начала координат. D(y) = R, E(y) = R.
2) Чётная степень с положительным коэффициентом 7: график — «парабола» четвёртой степени, симметричная относительно оси y, с вершиной (0; 0); убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0, y ≥ 0; проходит через (1; 7). D(y) = R, E(y) = [0; +∞).
3) Ветвь параболы, лежащая над осью x, начинается в точке (0; 0), проходит через (1; 1) и (4; 2), возрастает. D(y) = [0; +∞), E(y) = [0; +∞).
4) Кубический корень — график, симметричный графику y = x³ относительно прямой y = x; проходит через (−1; −1), (0; 0), (1; 1), возрастает, симметричен относительно начала координат. D(y) = R, E(y) = R.
5) y = 1/x²: функция чётная, определена при x ≠ 0, положительна; график состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси y, асимптоты — оси координат; проходит через (±1; 1). D(y) = (−∞; 0) и (0; +∞), E(y) = (0; +∞).
6) y = 1/x³: функция нечётная, определена при x ≠ 0; график состоит из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат, оси координат — асимптоты; проходит через (1; 1) и (−1; −1). D(y) = (−∞; 0) и (0; +∞), E(y) = (−∞; 0) и (0; +∞).
2) Чётная степень с положительным коэффициентом 7: график — «парабола» четвёртой степени, симметричная относительно оси y, с вершиной (0; 0); убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0, y ≥ 0; проходит через (1; 7). D(y) = R, E(y) = [0; +∞).
3) Ветвь параболы, лежащая над осью x, начинается в точке (0; 0), проходит через (1; 1) и (4; 2), возрастает. D(y) = [0; +∞), E(y) = [0; +∞).
4) Кубический корень — график, симметричный графику y = x³ относительно прямой y = x; проходит через (−1; −1), (0; 0), (1; 1), возрастает, симметричен относительно начала координат. D(y) = R, E(y) = R.
5) y = 1/x²: функция чётная, определена при x ≠ 0, положительна; график состоит из двух ветвей в I и II четвертях, симметричных относительно оси y, асимптоты — оси координат; проходит через (±1; 1). D(y) = (−∞; 0) и (0; +∞), E(y) = (0; +∞).
6) y = 1/x³: функция нечётная, определена при x ≠ 0; график состоит из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат, оси координат — асимптоты; проходит через (1; 1) и (−1; −1). D(y) = (−∞; 0) и (0; +∞), E(y) = (−∞; 0) и (0; +∞).
176. На одном рисунке построить графики функций y = x² и y = x^√x. Сравнить значения этих функций при x, равном 0; 0,5; 1; 3/2; 2; 3; 4; 5.
Функция y = x^√x определена при x > 0 (степень с действительным показателем √x берётся для положительного основания).
Составим таблицу значений:
x = 0,5: x² = 0,25; x^√x = 0,5^0,707 ≈ 0,61;
x = 1: x² = 1; x^√x = 1;
x = 3/2: x² = 2,25; x^√x = 1,5^1,225 ≈ 1,64;
x = 2: x² = 4; x^√x = 2^1,414 ≈ 2,67;
x = 3: x² = 9; x^√x = 3^1,732 ≈ 6,70;
x = 4: x² = 16; x^√x = 4² = 16;
x = 5: x² = 25; x^√x = 5^2,236 ≈ 36,6.
Графики показаны на рисунке: они пересекаются в точках (1; 1) и (4; 16).
Сравнение: при x = 0 значение x² равно 0, а x^√x не определено (выражение 0⁰ не имеет смысла), поэтому сравнивать нельзя; при x = 0,5 значение x^√x больше x² (0,61 > 0,25); при x = 1 и x = 4 значения равны; при x = 3/2, 2 и 3 значение x^√x меньше x²; при x = 5 значение x^√x больше x² (36,6 > 25).
Общее объяснение: x^√x = x² ⇔ √x = 2 или x = 1, то есть x = 4 или x = 1; при 0 < x < 1 основание меньше 1 и показатель √x < 2, поэтому x^√x > x²; при 1 < x < 4 показатель √x < 2 при основании больше 1, поэтому x^√x < x²; при x > 4 показатель √x > 2, поэтому x^√x > x².
Оговорка: в точке x = 0 функция y = x^√x не определена, поэтому её значение при x = 0 с x² не сравнивается.
Составим таблицу значений:
x = 0,5: x² = 0,25; x^√x = 0,5^0,707 ≈ 0,61;
x = 1: x² = 1; x^√x = 1;
x = 3/2: x² = 2,25; x^√x = 1,5^1,225 ≈ 1,64;
x = 2: x² = 4; x^√x = 2^1,414 ≈ 2,67;
x = 3: x² = 9; x^√x = 3^1,732 ≈ 6,70;
x = 4: x² = 16; x^√x = 4² = 16;
x = 5: x² = 25; x^√x = 5^2,236 ≈ 36,6.
Графики показаны на рисунке: они пересекаются в точках (1; 1) и (4; 16).
Сравнение: при x = 0 значение x² равно 0, а x^√x не определено (выражение 0⁰ не имеет смысла), поэтому сравнивать нельзя; при x = 0,5 значение x^√x больше x² (0,61 > 0,25); при x = 1 и x = 4 значения равны; при x = 3/2, 2 и 3 значение x^√x меньше x²; при x = 5 значение x^√x больше x² (36,6 > 25).
Общее объяснение: x^√x = x² ⇔ √x = 2 или x = 1, то есть x = 4 или x = 1; при 0 < x < 1 основание меньше 1 и показатель √x < 2, поэтому x^√x > x²; при 1 < x < 4 показатель √x < 2 при основании больше 1, поэтому x^√x < x²; при x > 4 показатель √x > 2, поэтому x^√x > x².
Оговорка: в точке x = 0 функция y = x^√x не определена, поэтому её значение при x = 0 с x² не сравнивается.
177. Расположить числа в порядке возрастания:
1) 0,3^π, 0,3^0,5, 0,3^(2/3), 0,3^3,1415;
2) √(2^π), 1,9^π, (1/√2)^π, π^π;
3) 5^(−2), 5^(−0,7), 5^(1/3), (1/5)^2,1;
4) 0,5^(−2/3), 1,3^(−2/3), π^(−2/3), (√2)^(−2/3).
1) 0,3^π, 0,3^0,5, 0,3^(2/3), 0,3^3,1415;
2) √(2^π), 1,9^π, (1/√2)^π, π^π;
3) 5^(−2), 5^(−0,7), 5^(1/3), (1/5)^2,1;
4) 0,5^(−2/3), 1,3^(−2/3), π^(−2/3), (√2)^(−2/3).
1) Основание 0,3 меньше 1, поэтому функция y = 0,3^t убывающая: большему показателю соответствует меньшее значение. Показатели: 0,5 < 2/3 < 3,1415 < π. Значит, 0,3^π < 0,3^3,1415 < 0,3^(2/3) < 0,3^0,5. Ответ: 0,3^π, 0,3^3,1415, 0,3^(2/3), 0,3^0,5.
2) Показатель у всех чисел один и тот же, π > 0, поэтому функция y = x^π возрастающая при x > 0, и числа располагаются так же, как основания. √(2^π) = 2^(π/2) = (√2)^π, основание √2 ≈ 1,41. Основания: 1/√2 ≈ 0,71 < √2 ≈ 1,41 < 1,9 < π. Ответ: (1/√2)^π, √(2^π), 1,9^π, π^π.
3) Приведём к основанию 5: (1/5)^2,1 = 5^(−2,1). Основание 5 больше 1, функция возрастает, поэтому числа располагаются так же, как показатели: −2,1 < −2 < −0,7 < 1/3. Ответ: (1/5)^2,1, 5^(−2), 5^(−0,7), 5^(1/3).
4) Показатель −2/3 у всех чисел одинаковый и отрицательный, поэтому функция y = x^(−2/3) на (0; +∞) убывающая: большему основанию соответствует меньшее значение. Основания: 0,5 < 1,3 < √2 ≈ 1,414 < π. Ответ: π^(−2/3), (√2)^(−2/3), 1,3^(−2/3), 0,5^(−2/3).
Оговорка: в пункте 2) число читается как квадратный корень из 2^π; оно равно (√2)^π, ответ от этого не зависит.
2) Показатель у всех чисел один и тот же, π > 0, поэтому функция y = x^π возрастающая при x > 0, и числа располагаются так же, как основания. √(2^π) = 2^(π/2) = (√2)^π, основание √2 ≈ 1,41. Основания: 1/√2 ≈ 0,71 < √2 ≈ 1,41 < 1,9 < π. Ответ: (1/√2)^π, √(2^π), 1,9^π, π^π.
3) Приведём к основанию 5: (1/5)^2,1 = 5^(−2,1). Основание 5 больше 1, функция возрастает, поэтому числа располагаются так же, как показатели: −2,1 < −2 < −0,7 < 1/3. Ответ: (1/5)^2,1, 5^(−2), 5^(−0,7), 5^(1/3).
4) Показатель −2/3 у всех чисел одинаковый и отрицательный, поэтому функция y = x^(−2/3) на (0; +∞) убывающая: большему основанию соответствует меньшее значение. Основания: 0,5 < 1,3 < √2 ≈ 1,414 < π. Ответ: π^(−2/3), (√2)^(−2/3), 1,3^(−2/3), 0,5^(−2/3).
Оговорка: в пункте 2) число читается как квадратный корень из 2^π; оно равно (√2)^π, ответ от этого не зависит.
178. Решить уравнение с помощью графиков:
1) ∛x = x² + x − 1;
2) x^(−2) = 2 − x².
1) ∛x = x² + x − 1;
2) x^(−2) = 2 − x².
1) Строим в одной системе координат графики y = ∛x и y = x² + x − 1 (парабола с вершиной (−1/2; −5/4)). По рисунку графики пересекаются в двух точках (−1; −1) и (1; 1). Проверка: ∛(−1) = −1 и (−1)² − 1 − 1 = −1; ∛1 = 1 и 1 + 1 − 1 = 1. Других пересечений нет: при x ≥ 1 парабола растёт быстрее, при x ≤ −1 она также выше, а между точками парабола лежит ниже графика кубического корня. Ответ: x = −1, x = 1.
2) Строим графики y = 1/x² (две ветви в верхней полуплоскости, оси — асимптоты) и параболу y = 2 − x² (вершина (0; 2), ветви вниз). Они пересекаются в двух точках (−1; 1) и (1; 1): при x = ±1 имеем 1/x² = 1 и 2 − x² = 1. Проверка алгебраически: при t = x² получаем 1/t = 2 − t, t² − 2t + 1 = 0, t = 1, x = ±1. Ответ: x = −1, x = 1.
2) Строим графики y = 1/x² (две ветви в верхней полуплоскости, оси — асимптоты) и параболу y = 2 − x² (вершина (0; 2), ветви вниз). Они пересекаются в двух точках (−1; 1) и (1; 1): при x = ±1 имеем 1/x² = 1 и 2 − x² = 1. Проверка алгебраически: при t = x² получаем 1/t = 2 − t, t² − 2t + 1 = 0, t = 1, x = ±1. Ответ: x = −1, x = 1.
179. Найти область определения функции:
1) y = ∛(1 − x);
2) y = корень 6-й степени из (2 − x²);
3) y = (3x² + 1)^(−2);
4) y = √(x² − x − 2).
1) y = ∛(1 − x);
2) y = корень 6-й степени из (2 − x²);
3) y = (3x² + 1)^(−2);
4) y = √(x² − x − 2).
1) Кубический корень определён при любом подкоренном выражении. Ответ: D(y) = R.
2) Корень чётной степени: 2 − x² ≥ 0, x² ≤ 2, −√2 ≤ x ≤ √2. Ответ: D(y) = [−√2; √2].
3) y = 1/(3x² + 1)². Знаменатель не равен нулю, так как 3x² + 1 ≥ 1 > 0 при любых x. Ответ: D(y) = R.
4) x² − x − 2 ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x − 2) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 или x ≥ 2. Ответ: D(y) = (−∞; −1] и [2; +∞).
2) Корень чётной степени: 2 − x² ≥ 0, x² ≤ 2, −√2 ≤ x ≤ √2. Ответ: D(y) = [−√2; √2].
3) y = 1/(3x² + 1)². Знаменатель не равен нулю, так как 3x² + 1 ≥ 1 > 0 при любых x. Ответ: D(y) = R.
4) x² − x − 2 ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x − 2) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 или x ≥ 2. Ответ: D(y) = (−∞; −1] и [2; +∞).