Глава II. § 10 *. Иррациональные неравенства — с. 68
165. Решить систему неравенств:
1) система: 3 − x ≤ 2; 2x + 1 ≤ 4;
2) система: x² − 1 ≥ 0; x > 2;
3) система: 9 − x² ≤ 0; x + 5 < 0.
1) система: 3 − x ≤ 2; 2x + 1 ≤ 4;
2) система: x² − 1 ≥ 0; x > 2;
3) система: 9 − x² ≤ 0; x + 5 < 0.
1) Из первого неравенства: −x ≤ −1, x ≥ 1. Из второго: 2x ≤ 3, x ≤ 1,5. Пересечение: 1 ≤ x ≤ 1,5. Ответ: [1; 1,5].
2) x² − 1 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x + 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 или x ≥ 1. Вместе с условием x > 2 получаем x > 2. Ответ: (2; +∞).
3) 9 − x² ≤ 0 ⇔ x² ≥ 9 ⇔ x ≤ −3 или x ≥ 3. Из второго неравенства x < −5. Общая часть: x < −5. Ответ: (−∞; −5).
2) x² − 1 ≥ 0 ⇔ (x − 1)(x + 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 или x ≥ 1. Вместе с условием x > 2 получаем x > 2. Ответ: (2; +∞).
3) 9 − x² ≤ 0 ⇔ x² ≥ 9 ⇔ x ≤ −3 или x ≥ 3. Из второго неравенства x < −5. Общая часть: x < −5. Ответ: (−∞; −5).
166. Решить неравенство:
1) √x > 2;
2) √x < 3;
3) ∛x ≥ 1;
4) ∛(2x) < 3;
5) √(3x) > 1;
6) √(2x) ≤ 2.
1) √x > 2;
2) √x < 3;
3) ∛x ≥ 1;
4) ∛(2x) < 3;
5) √(3x) > 1;
6) √(2x) ≤ 2.
1) √x > 2 ⇔ x > 4 (при x > 4 корень существует и больше 2). Ответ: x > 4.
2) √x < 3 ⇔ 0 ≤ x < 9 (учитываем ОДЗ x ≥ 0). Ответ: 0 ≤ x < 9.
3) Функция ∛x возрастает на всей оси, поэтому ∛x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1. Ответ: x ≥ 1.
4) ∛(2x) < 3 ⇔ 2x < 27 ⇔ x < 13,5. Ответ: x < 13,5.
5) √(3x) > 1 ⇔ 3x > 1 ⇔ x > 1/3. Ответ: x > 1/3.
6) √(2x) ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2x ≤ 4 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2. Ответ: 0 ≤ x ≤ 2.
2) √x < 3 ⇔ 0 ≤ x < 9 (учитываем ОДЗ x ≥ 0). Ответ: 0 ≤ x < 9.
3) Функция ∛x возрастает на всей оси, поэтому ∛x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1. Ответ: x ≥ 1.
4) ∛(2x) < 3 ⇔ 2x < 27 ⇔ x < 13,5. Ответ: x < 13,5.
5) √(3x) > 1 ⇔ 3x > 1 ⇔ x > 1/3. Ответ: x > 1/3.
6) √(2x) ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2x ≤ 4 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2. Ответ: 0 ≤ x ≤ 2.
167. Решить неравенство:
1) √(x − 2) > 3;
2) √(x − 2) < 1;
3) √(3 − x) < 5;
4) √(4 − x) > 3;
5) √(2x − 3) > 4;
6) √(x + 1) ≥ 2/3;
7) √(3x − 5) < 5;
8) √(4x + 5) ≤ 1/2.
1) √(x − 2) > 3;
2) √(x − 2) < 1;
3) √(3 − x) < 5;
4) √(4 − x) > 3;
5) √(2x − 3) > 4;
6) √(x + 1) ≥ 2/3;
7) √(3x − 5) < 5;
8) √(4x + 5) ≤ 1/2.
1) Обе части неотрицательны: x − 2 > 9, x > 11. Ответ: x > 11.
2) Равносильна система: x − 2 ≥ 0, x − 2 < 1, откуда 2 ≤ x < 3. Ответ: 2 ≤ x < 3.
3) Система: 3 − x ≥ 0, 3 − x < 25, откуда x ≤ 3 и x > −22. Ответ: −22 < x ≤ 3.
4) 4 − x > 9 (ОДЗ 4 − x ≥ 0 выполнено автоматически), x < −5. Ответ: x < −5.
5) 2x − 3 > 16, 2x > 19, x > 9,5. Ответ: x > 9,5.
6) x + 1 ≥ 4/9 (ОДЗ выполняется автоматически), x ≥ −5/9. Ответ: x ≥ −5/9.
7) Система: 3x − 5 ≥ 0, 3x − 5 < 25, откуда x ≥ 5/3 и x < 10. Ответ: 5/3 ≤ x < 10.
8) Система: 4x + 5 ≥ 0, 4x + 5 ≤ 1/4, откуда x ≥ −5/4 и 4x ≤ −19/4, x ≤ −19/16. Ответ: −5/4 ≤ x ≤ −19/16.
2) Равносильна система: x − 2 ≥ 0, x − 2 < 1, откуда 2 ≤ x < 3. Ответ: 2 ≤ x < 3.
3) Система: 3 − x ≥ 0, 3 − x < 25, откуда x ≤ 3 и x > −22. Ответ: −22 < x ≤ 3.
4) 4 − x > 9 (ОДЗ 4 − x ≥ 0 выполнено автоматически), x < −5. Ответ: x < −5.
5) 2x − 3 > 16, 2x > 19, x > 9,5. Ответ: x > 9,5.
6) x + 1 ≥ 4/9 (ОДЗ выполняется автоматически), x ≥ −5/9. Ответ: x ≥ −5/9.
7) Система: 3x − 5 ≥ 0, 3x − 5 < 25, откуда x ≥ 5/3 и x < 10. Ответ: 5/3 ≤ x < 10.
8) Система: 4x + 5 ≥ 0, 4x + 5 ≤ 1/4, откуда x ≥ −5/4 и 4x ≤ −19/4, x ≤ −19/16. Ответ: −5/4 ≤ x ≤ −19/16.
168. Решить неравенство:
1) √(x² − 1) > 1;
2) √(1 − x²) < 1;
3) √(25 − x²) > 4;
4) √(25 − x²) < 4.
1) √(x² − 1) > 1;
2) √(1 − x²) < 1;
3) √(25 − x²) > 4;
4) √(25 − x²) < 4.
1) Возводим в квадрат (обе части неотрицательны, ОДЗ выполнится автоматически): x² − 1 > 1, x² > 2, |x| > √2. Ответ: x < −√2, x > √2.
2) Система: 1 − x² ≥ 0, 1 − x² < 1, то есть x² ≤ 1 и x² > 0. Отсюда −1 ≤ x < 0 или 0 < x ≤ 1. Ответ: [−1; 0) и (0; 1].
3) 25 − x² > 16 (ОДЗ выполнится), x² < 9, −3 < x < 3. Ответ: −3 < x < 3.
4) Система: 25 − x² ≥ 0, 25 − x² < 16, то есть x² ≤ 25 и x² > 9. Отсюда 3 < |x| ≤ 5. Ответ: −5 ≤ x < −3, 3 < x ≤ 5.
2) Система: 1 − x² ≥ 0, 1 − x² < 1, то есть x² ≤ 1 и x² > 0. Отсюда −1 ≤ x < 0 или 0 < x ≤ 1. Ответ: [−1; 0) и (0; 1].
3) 25 − x² > 16 (ОДЗ выполнится), x² < 9, −3 < x < 3. Ответ: −3 < x < 3.
4) Система: 25 − x² ≥ 0, 25 − x² < 16, то есть x² ≤ 25 и x² > 9. Отсюда 3 < |x| ≤ 5. Ответ: −5 ≤ x < −3, 3 < x ≤ 5.
169. Решить неравенство:
1) √(2x² + 3x − 2) > 0;
2) √(2 + x − x²) > −1;
3) √(6x − x²) < √5;
4) √(x² − x) > √2;
5) √(x² + 2x) > −3 − x²;
6) √(4x − x²) > −2 − 3x².
1) √(2x² + 3x − 2) > 0;
2) √(2 + x − x²) > −1;
3) √(6x − x²) < √5;
4) √(x² − x) > √2;
5) √(x² + 2x) > −3 − x²;
6) √(4x − x²) > −2 − 3x².
1) Корень положителен, когда подкоренное выражение положительно: 2x² + 3x − 2 > 0. Корни: x = −2 и x = 1/2, ветви параболы вверх, значит x < −2 или x > 1/2. Ответ: x < −2, x > 1/2.
2) Левая часть неотрицательна, правая отрицательна, поэтому неравенство верно при всех x из ОДЗ: 2 + x − x² ≥ 0 ⇔ x² − x − 2 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2. Ответ: −1 ≤ x ≤ 2.
3) Система: 6x − x² ≥ 0, 6x − x² < 5. Первое: 0 ≤ x ≤ 6. Второе: x² − 6x + 5 > 0, x < 1 или x > 5. Ответ: 0 ≤ x < 1, 5 < x ≤ 6.
4) Возводим в квадрат (ОДЗ выполнится автоматически): x² − x > 2, x² − x − 2 > 0, x < −1 или x > 2. Ответ: x < −1, x > 2.
5) Правая часть −3 − x² < 0 при всех x, а левая неотрицательна, поэтому решения — вся ОДЗ: x² + 2x ≥ 0, x(x + 2) ≥ 0, x ≤ −2 или x ≥ 0. Ответ: x ≤ −2, x ≥ 0.
6) Правая часть −2 − 3x² < 0 при всех x, поэтому решения — вся ОДЗ: 4x − x² ≥ 0, x(x − 4) ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 4. При x = 0: 0 > −2 верно. Ответ: 0 ≤ x ≤ 4.
2) Левая часть неотрицательна, правая отрицательна, поэтому неравенство верно при всех x из ОДЗ: 2 + x − x² ≥ 0 ⇔ x² − x − 2 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 2. Ответ: −1 ≤ x ≤ 2.
3) Система: 6x − x² ≥ 0, 6x − x² < 5. Первое: 0 ≤ x ≤ 6. Второе: x² − 6x + 5 > 0, x < 1 или x > 5. Ответ: 0 ≤ x < 1, 5 < x ≤ 6.
4) Возводим в квадрат (ОДЗ выполнится автоматически): x² − x > 2, x² − x − 2 > 0, x < −1 или x > 2. Ответ: x < −1, x > 2.
5) Правая часть −3 − x² < 0 при всех x, а левая неотрицательна, поэтому решения — вся ОДЗ: x² + 2x ≥ 0, x(x + 2) ≥ 0, x ≤ −2 или x ≥ 0. Ответ: x ≤ −2, x ≥ 0.
6) Правая часть −2 − 3x² < 0 при всех x, поэтому решения — вся ОДЗ: 4x − x² ≥ 0, x(x − 4) ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 4. При x = 0: 0 > −2 верно. Ответ: 0 ≤ x ≤ 4.
170. Решить неравенство:
1) √(x + 2) > √(4 − x);
2) √(3 + 2x) ≥ √(x + 1);
3) √(2x − 5) < √(5x + 4);
4) √(3x − 2) > x − 2;
5) √(5x + 11) > x + 3;
6) √(3 − x) < √(3x − 5).
1) √(x + 2) > √(4 − x);
2) √(3 + 2x) ≥ √(x + 1);
3) √(2x − 5) < √(5x + 4);
4) √(3x − 2) > x − 2;
5) √(5x + 11) > x + 3;
6) √(3 − x) < √(3x − 5).
1) Система: x + 2 > 4 − x, 4 − x ≥ 0 (тогда и x + 2 ≥ 0 выполнено при x > 1). Из первого: x > 1; из второго: x ≤ 4. Ответ: 1 < x ≤ 4.
2) Система: 3 + 2x ≥ x + 1, x + 1 ≥ 0. Первое: x ≥ −2; второе: x ≥ −1. Ответ: x ≥ −1.
3) Система: 2x − 5 ≥ 0, 2x − 5 < 5x + 4. Первое: x ≥ 2,5; второе: −3x < 9, x > −3. Ответ: x ≥ 2,5.
4) ОДЗ: x ≥ 2/3. Случай 1: x − 2 < 0, то есть x < 2: правая часть отрицательна, неравенство верно, получаем 2/3 ≤ x < 2. Случай 2: x ≥ 2: возводим в квадрат: 3x − 2 > x² − 4x + 4, x² − 7x + 6 < 0, 1 < x < 6, с учётом x ≥ 2 получаем 2 ≤ x < 6. Объединение: 2/3 ≤ x < 6. Ответ: 2/3 ≤ x < 6.
5) ОДЗ: x ≥ −11/5 = −2,2, при этом x + 3 > 0. Возводим в квадрат: 5x + 11 > x² + 6x + 9, x² + x − 2 < 0, −2 < x < 1. Все эти значения принадлежат ОДЗ. Ответ: −2 < x < 1.
6) Система: 3 − x < 3x − 5, 3 − x ≥ 0 (3x − 5 > 3 − x ≥ 0 даёт и 3x − 5 > 0). Из первого: 4x > 8, x > 2; из второго: x ≤ 3. Ответ: 2 < x ≤ 3.
2) Система: 3 + 2x ≥ x + 1, x + 1 ≥ 0. Первое: x ≥ −2; второе: x ≥ −1. Ответ: x ≥ −1.
3) Система: 2x − 5 ≥ 0, 2x − 5 < 5x + 4. Первое: x ≥ 2,5; второе: −3x < 9, x > −3. Ответ: x ≥ 2,5.
4) ОДЗ: x ≥ 2/3. Случай 1: x − 2 < 0, то есть x < 2: правая часть отрицательна, неравенство верно, получаем 2/3 ≤ x < 2. Случай 2: x ≥ 2: возводим в квадрат: 3x − 2 > x² − 4x + 4, x² − 7x + 6 < 0, 1 < x < 6, с учётом x ≥ 2 получаем 2 ≤ x < 6. Объединение: 2/3 ≤ x < 6. Ответ: 2/3 ≤ x < 6.
5) ОДЗ: x ≥ −11/5 = −2,2, при этом x + 3 > 0. Возводим в квадрат: 5x + 11 > x² + 6x + 9, x² + x − 2 < 0, −2 < x < 1. Все эти значения принадлежат ОДЗ. Ответ: −2 < x < 1.
6) Система: 3 − x < 3x − 5, 3 − x ≥ 0 (3x − 5 > 3 − x ≥ 0 даёт и 3x − 5 > 0). Из первого: 4x > 8, x > 2; из второго: x ≤ 3. Ответ: 2 < x ≤ 3.
171. Решить неравенство:
1) √(x + 1) − √x < √(x − 1);
2) √(x + 3) < √(7 − x) + √(10 − x).
1) √(x + 1) − √x < √(x − 1);
2) √(x + 3) < √(7 − x) + √(10 − x).
1) ОДЗ: x ≥ 1. Перепишем: √(x + 1) < √x + √(x − 1). Обе части положительны, возводим в квадрат: x + 1 < x + x − 1 + 2√(x(x − 1)), откуда 2 − x < 2√(x² − x). Если x ≥ 2, левая часть неположительна, а правая положительна — неравенство верно. Если 1 ≤ x < 2, обе части положительны: (2 − x)² < 4(x² − x), 4 − 4x + x² < 4x² − 4x, 3x² > 4, x > 2/√3 (так как x > 0); число 2/√3 ≈ 1,155 лежит в промежутке [1; 2). Итак, решения: x > 2/√3. Ответ: x > 2/√3.
2) ОДЗ: −3 ≤ x ≤ 7. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: x + 3 < 7 − x + 10 − x + 2√((7 − x)(10 − x)), откуда 3x − 14 < 2√((7 − x)(10 − x)). Если 3x − 14 < 0 (x < 14/3), неравенство верно. Если x ≥ 14/3: (3x − 14)² < 4(70 − 17x + x²), 9x² − 84x + 196 < 4x² − 68x + 280, 5x² − 16x − 84 < 0, корни x = −2,8 и x = 6, значит −2,8 < x < 6; с условием x ≥ 14/3 получаем 14/3 ≤ x < 6. Объединяя со случаем x < 14/3, с учётом ОДЗ: −3 ≤ x < 6. Ответ: −3 ≤ x < 6.
2) ОДЗ: −3 ≤ x ≤ 7. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: x + 3 < 7 − x + 10 − x + 2√((7 − x)(10 − x)), откуда 3x − 14 < 2√((7 − x)(10 − x)). Если 3x − 14 < 0 (x < 14/3), неравенство верно. Если x ≥ 14/3: (3x − 14)² < 4(70 − 17x + x²), 9x² − 84x + 196 < 4x² − 68x + 280, 5x² − 16x − 84 < 0, корни x = −2,8 и x = 6, значит −2,8 < x < 6; с условием x ≥ 14/3 получаем 14/3 ≤ x < 6. Объединяя со случаем x < 14/3, с учётом ОДЗ: −3 ≤ x < 6. Ответ: −3 ≤ x < 6.