Алгебра Алимов 10-11 класс, страница 62 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава II. § 9. Иррациональные уравнения — с. 62

151. (Устно.) Решить уравнение:
1) √x = 2;
2) √x = 7;
3) ∛x = 2;
4) ∛x = −3;
5) ∛(1 − 3x) = 0;
6) корень 4-й степени из x = 1;
7) корень 4-й степени из (2 − x) = 0.

1) x = 2² = 4.
2) x = 7² = 49.
3) x = 2³ = 8.
4) x = (−3)³ = −27.
5) 1 − 3x = 0, x = 1/3.
6) x = 1⁴ = 1.
7) 2 − x = 0, x = 2.
Проверка подстановкой подтверждает все найденные значения.

Решить уравнение (152—161).
152. 1) √(x + 1) = 3;
2) √(x − 2) = 5;
3) √(4 + x) = √(2x − 1).

1) Возводим в квадрат: x + 1 = 9, x = 8. Проверка: √9 = 3.
Ответ: x = 8.
2) x − 2 = 25, x = 27. Проверка: √25 = 5.
Ответ: x = 27.
3) 4 + x = 2x − 1, x = 5. Проверка: √9 = √9, подкоренные выражения положительны.
Ответ: x = 5.

153. 1) ∛(2x + 3) = 1;
2) ∛(1 − x) = 2;
3) ∛(3x² − 3) = ∛(8x).

Возведение в куб равносильно, так как кубический корень определён при любом значении подкоренного выражения.
1) 2x + 3 = 1, x = −1.
2) 1 − x = 8, x = −7.
3) 3x² − 3 = 8x, 3x² − 8x − 3 = 0, D = 64 + 36 = 100, x = (8 ± 10)/6, x = 3 или x = −1/3.
Ответ: 1) x = −1; 2) x = −7; 3) x = 3, x = −1/3.

154. 1) x + 1 = √(1 − x);
2) x = 1 + √(x + 11);
3) √(x + 3) = √(5 − x);
4) √(x² − x − 3) = 3.

1) Необходимо x + 1 ≥ 0. Возводим в квадрат: x² + 2x + 1 = 1 − x, x² + 3x = 0, x = 0 или x = −3. При x = −3 левая часть −2 < 0 — посторонний корень. При x = 0: 1 = √1 — верно.
Ответ: x = 0.
2) √(x + 11) = x − 1, необходимо x ≥ 1. x + 11 = x² − 2x + 1, x² − 3x − 10 = 0, x = 5 или x = −2. Корень −2 не удовлетворяет условию x ≥ 1. Проверка: 5 = 1 + √16 — верно.
Ответ: x = 5.
3) x + 3 = 5 − x, x = 1. Проверка: √4 = √4.
Ответ: x = 1.
4) x² − x − 3 = 9, x² − x − 12 = 0, x = 4 или x = −3. Проверка: при x = 4: 16 − 4 − 3 = 9; при x = −3: 9 + 3 − 3 = 9; оба значения подходят.
Ответ: x = 4, x = −3.

155. 1) √x − x = −12;
2) x + √x = 2(x − 1);
3) √(x − 1) = x − 3;
4) √(6 + x − x²) = 1 − x.

1) √x = x − 12, необходимо x ≥ 12. Пусть t = √x ≥ 0: t² − t − 12 = 0, t = 4 или t = −3; t = −3 не подходит. √x = 4, x = 16. Проверка: 4 − 16 = −12.
Ответ: x = 16.
2) √x = 2x − 2 − x = x − 2, необходимо x ≥ 2. x = x² − 4x + 4, x² − 5x + 4 = 0, x = 1 или x = 4. Корень 1 не удовлетворяет условию x ≥ 2. Проверка: 4 + 2 = 6 = 2·3.
Ответ: x = 4.
3) Необходимо x ≥ 3. x − 1 = x² − 6x + 9, x² − 7x + 10 = 0, x = 2 или x = 5. Корень 2 не удовлетворяет условию x ≥ 3. Проверка: √4 = 2 = 5 − 3.
Ответ: x = 5.
4) Необходимо 1 − x ≥ 0, т. е. x ≤ 1. 6 + x − x² = 1 − 2x + x², 2x² − 3x − 5 = 0, D = 49, x = (3 ± 7)/4, x = 5/2 или x = −1. Корень 5/2 не удовлетворяет условию x ≤ 1. Проверка: √(6 − 1 − 1) = 2 = 1 − (−1).
Ответ: x = −1.

156. 1) √(2x − 34) = 1 + √x;
2) √(5x) + √(14 − x) = 8;
3) √(15 + x) + √(3 + x) = 6;
4) √(3 − 2x) − √(1 − x) = 1.

1) Возводим в квадрат: 2x − 34 = 1 + 2√x + x, x − 35 = 2√x (необходимо x ≥ 35). Пусть t = √x ≥ 0: t² − 2t − 35 = 0, t = 7 или t = −5; подходит t = 7, x = 49. Проверка: √64 = 8 = 1 + 7.
Ответ: x = 49.
2) Пусть a = √(5x), b = √(14 − x), a, b ≥ 0. Тогда a + b = 8 и a² + 5b² = 5x + 70 − 5x = 70. Подставляя a = 8 − b: 64 − 16b + 6b² = 70, 3b² − 8b − 3 = 0, b = 3 или b = −1/3. Подходит b = 3: 14 − x = 9, x = 5. Проверка: √25 + √9 = 8.
Ответ: x = 5.
3) Пусть u = √(15 + x), v = √(3 + x). Тогда u² − v² = 12 и u + v = 6, поэтому u − v = 2. Отсюда u = 4, v = 2, x = 1. Проверка: √16 + √4 = 6.
Ответ: x = 1.
4) Пусть u = √(3 − 2x), v = √(1 − x). Тогда u = 1 + v и u² − 2v² = 3 − 2x − 2 + 2x = 1. Подставляем: 1 + 2v + v² − 2v² = 1, v(2 − v) = 0, v = 0 или v = 2. Если v = 0, то x = 1; если v = 2, то 1 − x = 4, x = −3. Проверка: x = 1: √1 − 0 = 1; x = −3: √9 − √4 = 1. Оба значения подходят.
Ответ: x = 1, x = −3.

157. 1) √(x² + 2) + √(x³ + x²) = 0;
2) корень 3-й степени из (1 + x⁴) = корень 3-й степени из (1 + x²).

1) Каждое слагаемое неотрицательно, причём √(x² + 2) ≥ √2 > 0 при любом x. Поэтому левая часть положительна и равенство нулю невозможно.
Ответ: корней нет.
2) Кубический корень — возрастающая функция, поэтому 1 + x⁴ = 1 + x², x⁴ − x² = 0, x²(x − 1)(x + 1) = 0.
Ответ: x = −1, x = 0, x = 1.