Глава II. § 8. Равносильные уравнения и неравенства — с. 59
141. Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения:
1) x − 3 = 0 и x² − 5x + 6 = 0;
2) (x² − 3x + 2)/(x − 1) = 0 и x² − 3x + 2 = 0.
1) x − 3 = 0 и x² − 5x + 6 = 0;
2) (x² − 3x + 2)/(x − 1) = 0 и x² − 3x + 2 = 0.
Второе уравнение — следствие первого, если все корни первого являются корнями второго.
1) Первое: x = 3. Второе: x = 2 или x = 3. Корень первого является корнем второго, поэтому второе уравнение является следствием первого.
2) Первое: x² − 3x + 2 = 0 при x ≠ 1, т. е. x = 2. Второе: x = 1 или x = 2. Значит, второе уравнение является следствием первого.
1) Первое: x = 3. Второе: x = 2 или x = 3. Корень первого является корнем второго, поэтому второе уравнение является следствием первого.
2) Первое: x² − 3x + 2 = 0 при x ≠ 1, т. е. x = 2. Второе: x = 1 или x = 2. Значит, второе уравнение является следствием первого.
142. Решить уравнение:
1) x/(x + 1) + 2x/(x − 1) = 4x/(x² − 1);
2) (x − 1)/(x − 2) − 2/x = 1/(x − 2);
3) (x − 3)(x − 5) = 3(x − 5);
4) (x − 2)(x² + 1) = 2(x² + 1).
1) x/(x + 1) + 2x/(x − 1) = 4x/(x² − 1);
2) (x − 1)/(x − 2) − 2/x = 1/(x − 2);
3) (x − 3)(x − 5) = 3(x − 5);
4) (x − 2)(x² + 1) = 2(x² + 1).
1) ОДЗ: x ≠ ±1. Умножаем на x² − 1: x(x − 1) + 2x(x + 1) = 4x, 3x² − 3x = 0, 3x(x − 1) = 0, x = 0 или x = 1. Значение x = 1 не входит в ОДЗ.
Ответ: x = 0.
2) ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 2. Умножаем на x(x − 2): x(x − 1) − 2(x − 2) = x, x² − 4x + 4 = 0, x = 2. Не входит в ОДЗ.
Ответ: корней нет.
3) Переносим: (x − 5)(x − 3 − 3) = 0, (x − 5)(x − 6) = 0.
Ответ: x = 5, x = 6.
4) (x² + 1)(x − 2 − 2) = 0. Так как x² + 1 > 0, то x − 4 = 0.
Ответ: x = 4.
Ответ: x = 0.
2) ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ 2. Умножаем на x(x − 2): x(x − 1) − 2(x − 2) = x, x² − 4x + 4 = 0, x = 2. Не входит в ОДЗ.
Ответ: корней нет.
3) Переносим: (x − 5)(x − 3 − 3) = 0, (x − 5)(x − 6) = 0.
Ответ: x = 5, x = 6.
4) (x² + 1)(x − 2 − 2) = 0. Так как x² + 1 > 0, то x − 4 = 0.
Ответ: x = 4.
143. Решить неравенство:
1) (x + 3)/(2 + x²) < 3;
2) (x − 2)/(5 − x) > 1.
1) (x + 3)/(2 + x²) < 3;
2) (x − 2)/(5 − x) > 1.
1) Так как 2 + x² > 0, умножаем на него: x + 3 < 6 + 3x², 3x² − x + 3 > 0. Дискриминант 1 − 36 < 0, старший коэффициент положителен, значит, неравенство верно при всех x.
Ответ: x ∈ R.
2) Переносим единицу: (x − 2)/(5 − x) − 1 > 0, (x − 2 − 5 + x)/(5 − x) > 0, (2x − 7)/(5 − x) > 0, т. е. (2x − 7)/(x − 5) < 0. Нули: x = 3,5 и x = 5; методом интервалов решение 3,5 < x < 5.
Ответ: 3,5 < x < 5.
Ответ: x ∈ R.
2) Переносим единицу: (x − 2)/(5 − x) − 1 > 0, (x − 2 − 5 + x)/(5 − x) > 0, (2x − 7)/(5 − x) > 0, т. е. (2x − 7)/(x − 5) < 0. Нули: x = 3,5 и x = 5; методом интервалов решение 3,5 < x < 5.
Ответ: 3,5 < x < 5.
Выяснить, равносильны ли уравнения (144—145).
144. 1) |2x − 1| = 3 и 2x − 1 = 3;
2) (3x − 2)/3 − (4 − x)/2 − (3x − 5)/6 = 2x − 2 и 2x + 3 = 10/3.
144. 1) |2x − 1| = 3 и 2x − 1 = 3;
2) (3x − 2)/3 − (4 − x)/2 − (3x − 5)/6 = 2x − 2 и 2x + 3 = 10/3.
1) Первое: 2x − 1 = 3 или 2x − 1 = −3, x = 2 или x = −1. Второе: x = 2. Корень x = −1 первого не является корнем второго, не равносильны.
2) Первое: умножаем на 6: 2(3x − 2) − 3(4 − x) − (3x − 5) = 6(2x − 2), 6x − 4 − 12 + 3x − 3x + 5 = 12x − 12, 6x − 11 = 12x − 12, x = 1/6. Второе: 2x = 10/3 − 3 = 1/3, x = 1/6. Корни совпадают, равносильны.
2) Первое: умножаем на 6: 2(3x − 2) − 3(4 − x) − (3x − 5) = 6(2x − 2), 6x − 4 − 12 + 3x − 3x + 5 = 12x − 12, 6x − 11 = 12x − 12, x = 1/6. Второе: 2x = 10/3 − 3 = 1/3, x = 1/6. Корни совпадают, равносильны.
145. 1) 2x − 1 = 4 − 1,5x и 3,5x − 5 = 0;
2) x(x − 1) = 2x + 5 и x² − 3x − 5 = 0;
3) 2^(3x + 1) = 2^(−3) и 3x + 1 = −3;
4) √(x + 2) = 3 и x + 2 = 9.
2) x(x − 1) = 2x + 5 и x² − 3x − 5 = 0;
3) 2^(3x + 1) = 2^(−3) и 3x + 1 = −3;
4) √(x + 2) = 3 и x + 2 = 9.
1) Первое: 3,5x = 5, т. е. 3,5x − 5 = 0 — это то же уравнение. Корень x = 10/7. Равносильны.
2) Первое: x² − x = 2x + 5, x² − 3x − 5 = 0 — то же уравнение, равносильны.
3) Показательная функция принимает каждое значение один раз, поэтому 2^(3x + 1) = 2^(−3) ⇔ 3x + 1 = −3. Корень x = −4/3 у обоих. Равносильны.
4) Первое: x + 2 = 9 (правая часть положительна), x = 7. Второе: x = 7. Равносильны.
2) Первое: x² − x = 2x + 5, x² − 3x − 5 = 0 — то же уравнение, равносильны.
3) Показательная функция принимает каждое значение один раз, поэтому 2^(3x + 1) = 2^(−3) ⇔ 3x + 1 = −3. Корень x = −4/3 у обоих. Равносильны.
4) Первое: x + 2 = 9 (правая часть положительна), x = 7. Второе: x = 7. Равносильны.
146. Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения:
1) |x| = √5 и √(x²) = 5;
2) (x − 2)/(x + 3) = (x − 3)/(x + 2) и (x − 2)(x + 2) = (x − 3)(x + 3).
1) |x| = √5 и √(x²) = 5;
2) (x − 2)/(x + 3) = (x − 3)/(x + 2) и (x − 2)(x + 2) = (x − 3)(x + 3).
1) Первое: x = ±√5. Второе: √(x²) = |x| = 5, x = ±5. Корни первого не являются корнями второго и наоборот, поэтому ни одно из уравнений не является следствием другого.
2) Первое: ОДЗ x ≠ −3, x ≠ −2; умножая на (x + 3)(x + 2), получаем x² − 4 = x² − 9, −4 = −9 — неверно, корней нет. Второе: x² − 4 = x² − 9, корней нет. Оба уравнения не имеют корней, поэтому каждое является следствием другого (они равносильны).
2) Первое: ОДЗ x ≠ −3, x ≠ −2; умножая на (x + 3)(x + 2), получаем x² − 4 = x² − 9, −4 = −9 — неверно, корней нет. Второе: x² − 4 = x² − 9, корней нет. Оба уравнения не имеют корней, поэтому каждое является следствием другого (они равносильны).
147. Решить уравнение 1/(3x + 1) − 2/(3x − 1) − 5x/(9x² − 1) = 3x²/(1 − 9x²).
ОДЗ: 9x² − 1 ≠ 0, т. е. x ≠ ±1/3. Так как 1 − 9x² = −(9x² − 1), умножим обе части на 9x² − 1 = (3x − 1)(3x + 1):
(3x − 1) − 2(3x + 1) − 5x = −3x², 3x − 1 − 6x − 2 − 5x = −3x², 3x² − 8x − 3 = 0.
D = 64 + 36 = 100, x = (8 ± 10)/6, x = 3 или x = −1/3. Значение x = −1/3 не входит в ОДЗ.
Проверка: x = 3 — знаменатели не равны нулю, подстановка даёт верное равенство.
Ответ: x = 3.
(3x − 1) − 2(3x + 1) − 5x = −3x², 3x − 1 − 6x − 2 − 5x = −3x², 3x² − 8x − 3 = 0.
D = 64 + 36 = 100, x = (8 ± 10)/6, x = 3 или x = −1/3. Значение x = −1/3 не входит в ОДЗ.
Проверка: x = 3 — знаменатели не равны нулю, подстановка даёт верное равенство.
Ответ: x = 3.
148. Найти корни уравнения:
1) 3/(x − 1) − (4x − 1)/(x + 1) = (x² + 5)/(x² − 1) − 5;
2) (x + 2)/(x − 2) − x(x − 4)/(x² − 4) = (x − 2)/(x + 2) − 4(3 + x)/(4 − x²).
1) 3/(x − 1) − (4x − 1)/(x + 1) = (x² + 5)/(x² − 1) − 5;
2) (x + 2)/(x − 2) − x(x − 4)/(x² − 4) = (x − 2)/(x + 2) − 4(3 + x)/(4 − x²).
1) ОДЗ: x ≠ ±1. Умножаем на x² − 1: 3(x + 1) − (4x − 1)(x − 1) = x² + 5 − 5(x² − 1). Слева: 3x + 3 − 4x² + 5x − 1 = −4x² + 8x + 2. Справа: −4x² + 10. Получаем 8x + 2 = 10, x = 1. Не входит в ОДЗ.
Ответ: корней нет.
2) ОДЗ: x ≠ ±2. Так как 4 − x² = −(x² − 4), правая часть равна (x − 2)/(x + 2) + 4(3 + x)/(x² − 4). Умножаем на x² − 4: (x + 2)² − x(x − 4) = (x − 2)² + 4(3 + x). Слева: x² + 4x + 4 − x² + 4x = 8x + 4. Справа: x² − 4x + 4 + 12 + 4x = x² + 16. Получаем x² − 8x + 12 = 0, x = 2 или x = 6. Значение x = 2 не входит в ОДЗ.
Ответ: x = 6.
Ответ: корней нет.
2) ОДЗ: x ≠ ±2. Так как 4 − x² = −(x² − 4), правая часть равна (x − 2)/(x + 2) + 4(3 + x)/(x² − 4). Умножаем на x² − 4: (x + 2)² − x(x − 4) = (x − 2)² + 4(3 + x). Слева: x² + 4x + 4 − x² + 4x = 8x + 4. Справа: x² − 4x + 4 + 12 + 4x = x² + 16. Получаем x² − 8x + 12 = 0, x = 2 или x = 6. Значение x = 2 не входит в ОДЗ.
Ответ: x = 6.
149. Решить неравенство:
1) x³ − 3x² + 2x − 6 > 2x³ − x² + 4x − 2;
2) x³ − 3x² − 4x + 12 > −3x³ + x² + 12x − 4.
1) x³ − 3x² + 2x − 6 > 2x³ − x² + 4x − 2;
2) x³ − 3x² − 4x + 12 > −3x³ + x² + 12x − 4.
1) Переносим всё вправо: 0 > x³ + 2x² + 2x + 4, т. е. x²(x + 2) + 2(x + 2) < 0, (x + 2)(x² + 2) < 0. Так как x² + 2 > 0, то x + 2 < 0.
Ответ: x < −2.
2) Переносим всё влево: 4x³ − 4x² − 16x + 16 > 0, x³ − x² − 4x + 4 > 0, x²(x − 1) − 4(x − 1) > 0, (x − 1)(x − 2)(x + 2) > 0. Метод интервалов с точками −2, 1, 2: знак «+» при x > 2, «−» на (1; 2), «+» на (−2; 1), «−» при x < −2.
Ответ: −2 < x < 1, x > 2.
Ответ: x < −2.
2) Переносим всё влево: 4x³ − 4x² − 16x + 16 > 0, x³ − x² − 4x + 4 > 0, x²(x − 1) − 4(x − 1) > 0, (x − 1)(x − 2)(x + 2) > 0. Метод интервалов с точками −2, 1, 2: знак «+» при x > 2, «−» на (1; 2), «+» на (−2; 1), «−» при x < −2.
Ответ: −2 < x < 1, x > 2.
150. Доказать, что если каждая из функций f(x), g(x) и φ(x) определена на множестве X и φ(x) ≠ 0 для всех x ∈ X, то уравнения f(x) = g(x) и f(x) · φ(x) = g(x) · φ(x) равносильны.
Нужно показать, что на X каждый корень одного уравнения является корнем другого.
Пусть x₀ ∈ X — корень уравнения f(x) = g(x), т. е. f(x₀) = g(x₀) — верное числовое равенство. Умножив его на число φ(x₀), получим f(x₀)·φ(x₀) = g(x₀)·φ(x₀), т. е. x₀ — корень второго уравнения.
Пусть теперь x₀ ∈ X — корень уравнения f(x)·φ(x) = g(x)·φ(x): f(x₀)·φ(x₀) = g(x₀)·φ(x₀). По условию φ(x₀) ≠ 0, поэтому обе части равенства можно разделить на φ(x₀): f(x₀) = g(x₀), т. е. x₀ — корень первого уравнения.
Итак, множества корней совпадают, уравнения равносильны. Что и требовалось доказать.
Пусть x₀ ∈ X — корень уравнения f(x) = g(x), т. е. f(x₀) = g(x₀) — верное числовое равенство. Умножив его на число φ(x₀), получим f(x₀)·φ(x₀) = g(x₀)·φ(x₀), т. е. x₀ — корень второго уравнения.
Пусть теперь x₀ ∈ X — корень уравнения f(x)·φ(x) = g(x)·φ(x): f(x₀)·φ(x₀) = g(x₀)·φ(x₀). По условию φ(x₀) ≠ 0, поэтому обе части равенства можно разделить на φ(x₀): f(x₀) = g(x₀), т. е. x₀ — корень первого уравнения.
Итак, множества корней совпадают, уравнения равносильны. Что и требовалось доказать.