Глава II. § 8. Равносильные уравнения и неравенства — с. 58
138. Решить уравнение:
1) (x + 7) · 3 = 2x + 14;
2) x² + 1/(x² − 4) = 4 + 1/(x² − 4);
3) (x − 2)/(x² − 1) = (1 − 2x)/(x² − 1);
4) (5x − 15)/((x − 3)(x + 2)) = 2/(x + 2).
1) (x + 7) · 3 = 2x + 14;
2) x² + 1/(x² − 4) = 4 + 1/(x² − 4);
3) (x − 2)/(x² − 1) = (1 − 2x)/(x² − 1);
4) (5x − 15)/((x − 3)(x + 2)) = 2/(x + 2).
1) 3x + 21 = 2x + 14, x = −7.
Ответ: x = −7.
2) ОДЗ: x² − 4 ≠ 0, т. е. x ≠ ±2. Вычитая из обеих частей 1/(x² − 4), получаем x² = 4, x = ±2. Оба значения не входят в ОДЗ.
Ответ: корней нет.
3) ОДЗ: x ≠ ±1. Умножив на x² − 1, получаем x − 2 = 1 − 2x, 3x = 3, x = 1. Это значение не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в нуль).
Ответ: корней нет.
4) ОДЗ: x ≠ 3, x ≠ −2. Умножаем обе части на (x − 3)(x + 2): 5x − 15 = 2(x − 3), 3x = 9, x = 3. Это значение не входит в ОДЗ.
Ответ: корней нет.
Ответ: x = −7.
2) ОДЗ: x² − 4 ≠ 0, т. е. x ≠ ±2. Вычитая из обеих частей 1/(x² − 4), получаем x² = 4, x = ±2. Оба значения не входят в ОДЗ.
Ответ: корней нет.
3) ОДЗ: x ≠ ±1. Умножив на x² − 1, получаем x − 2 = 1 − 2x, 3x = 3, x = 1. Это значение не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в нуль).
Ответ: корней нет.
4) ОДЗ: x ≠ 3, x ≠ −2. Умножаем обе части на (x − 3)(x + 2): 5x − 15 = 2(x − 3), 3x = 9, x = 3. Это значение не входит в ОДЗ.
Ответ: корней нет.
139. Равносильны ли следующие уравнения:
1) 3x − 7 = 5x + 5 и 2x + 12 = 0;
2) (1/5)(2x − 1) = 1 и (3x − 1)/8 = 1;
3) x² − 3x + 2 = 0 и x² + 3x + 2 = 0;
4) (x − 5)² = 3(x − 5) и x − 5 = 3;
5) x² − 1 = 0 и 2^(x − 1) = 0;
6) |x − 2| = −3 и 3^x = (−1)³?
1) 3x − 7 = 5x + 5 и 2x + 12 = 0;
2) (1/5)(2x − 1) = 1 и (3x − 1)/8 = 1;
3) x² − 3x + 2 = 0 и x² + 3x + 2 = 0;
4) (x − 5)² = 3(x − 5) и x − 5 = 3;
5) x² − 1 = 0 и 2^(x − 1) = 0;
6) |x − 2| = −3 и 3^x = (−1)³?
Уравнения равносильны, если множества их корней совпадают.
1) Первое: −2x = 12, x = −6. Второе: 2x = −12, x = −6. Корни совпадают, уравнения равносильны.
2) Первое: 2x − 1 = 5, x = 3. Второе: 3x − 1 = 8, x = 3. Равносильны.
3) Первое: x = 1, x = 2. Второе: x = −1, x = −2. Не равносильны.
4) Первое: (x − 5)(x − 5 − 3) = 0, x = 5 или x = 8. Второе: x = 8. Корень x = 5 первого не является корнем второго, не равносильны.
5) Первое имеет корни x = ±1. Второе: 2^(x − 1) > 0 при любом x, корней нет. Не равносильны.
6) Первое: модуль не может быть отрицательным, корней нет. Второе: 3^x = −1, но 3^x > 0, корней нет. Оба уравнения не имеют корней, поэтому равносильны.
1) Первое: −2x = 12, x = −6. Второе: 2x = −12, x = −6. Корни совпадают, уравнения равносильны.
2) Первое: 2x − 1 = 5, x = 3. Второе: 3x − 1 = 8, x = 3. Равносильны.
3) Первое: x = 1, x = 2. Второе: x = −1, x = −2. Не равносильны.
4) Первое: (x − 5)(x − 5 − 3) = 0, x = 5 или x = 8. Второе: x = 8. Корень x = 5 первого не является корнем второго, не равносильны.
5) Первое имеет корни x = ±1. Второе: 2^(x − 1) > 0 при любом x, корней нет. Не равносильны.
6) Первое: модуль не может быть отрицательным, корней нет. Второе: 3^x = −1, но 3^x > 0, корней нет. Оба уравнения не имеют корней, поэтому равносильны.
140. Равносильны ли следующие неравенства:
1) 2x − 1 ≥ 2 и 2(x − 1) ≥ 1;
2) (x − 1)(x + 2) < 0 и x² + x < 2;
3) (x − 2)(x + 1) < 3x + 3 и x − 2 < 3;
4) x(x + 3) ≥ 2x и x²(x + 3) ≥ 2x²?
1) 2x − 1 ≥ 2 и 2(x − 1) ≥ 1;
2) (x − 1)(x + 2) < 0 и x² + x < 2;
3) (x − 2)(x + 1) < 3x + 3 и x − 2 < 3;
4) x(x + 3) ≥ 2x и x²(x + 3) ≥ 2x²?
1) Первое: 2x ≥ 3, x ≥ 1,5. Второе: 2x − 2 ≥ 1, 2x ≥ 3, x ≥ 1,5. Множества решений совпадают, равносильны.
2) Первое: −2 < x < 1. Второе: x² + x − 2 < 0, (x + 2)(x − 1) < 0, −2 < x < 1. Равносильны.
3) Первое: (x + 1)(x − 2) − 3(x + 1) < 0, (x + 1)(x − 5) < 0, −1 < x < 5. Второе: x < 5. Не равносильны (например, x = −3 удовлетворяет второму, но не первому).
4) Первое: x² + x ≥ 0, x(x + 1) ≥ 0, x ≤ −1 или x ≥ 0. Второе: x²(x + 1) ≥ 0, x ≥ −1 (x = 0 входит). Не равносильны (например, x = −2 удовлетворяет первому, но не второму).
2) Первое: −2 < x < 1. Второе: x² + x − 2 < 0, (x + 2)(x − 1) < 0, −2 < x < 1. Равносильны.
3) Первое: (x + 1)(x − 2) − 3(x + 1) < 0, (x + 1)(x − 5) < 0, −1 < x < 5. Второе: x < 5. Не равносильны (например, x = −3 удовлетворяет второму, но не первому).
4) Первое: x² + x ≥ 0, x(x + 1) ≥ 0, x ≤ −1 или x ≥ 0. Второе: x²(x + 1) ≥ 0, x ≥ −1 (x = 0 входит). Не равносильны (например, x = −2 удовлетворяет первому, но не второму).