Упражнения 131–135, стр. 52 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 131–135 — Глава II. § 7. Взаимно обратные функции

Страница 52 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава II. § 7. Взаимно обратные функции — с. 52

131. (Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция:
1) y = 3x − 1;
2) y = x² + 7;
3) y = 1/x;
4) y = √x;
5) y = x^4;
6) y = x^4, x < 0.
Функция обратима, если каждое своё значение она принимает при единственном значении x (например, если она монотонна).
1) y = 3x − 1 возрастает на R — обратима (x = (y + 1)/3).
2) y = x² + 7 не обратима: значение 8 принимается при x = 1 и x = −1.
3) y = 1/x обратима: каждое значение y ≠ 0 принимается только при x = 1/y (убывает на каждом из промежутков x < 0 и x > 0, значения на них разных знаков).
4) y = √x возрастает на [0; +∞) — обратима (x = y²).
5) y = x^4 не обратима: значение 1 принимается при x = 1 и x = −1.
6) y = x^4 при x < 0 убывает, значит обратима (x = −корень 4-й степени из y).
132. Найти функцию, обратную к данной:
1) y = 2x − 1;
2) y = −5x + 4;
3) y = x/3 − 2/3;
4) y = (3x − 1)/2;
5) y = x³ + 1;
6) y = x³ − 3.
Решаем уравнение относительно x, затем меняем местами x и y.
1) y = 2x − 1 ⇒ x = (y + 1)/2. Обратная функция: y = (x + 1)/2.
2) y = −5x + 4 ⇒ 5x = 4 − y ⇒ x = (4 − y)/5. Обратная функция: y = (4 − x)/5.
3) y = x/3 − 2/3 ⇒ x = 3y + 2. Обратная функция: y = 3x + 2.
4) y = (3x − 1)/2 ⇒ 3x = 2y + 1 ⇒ x = (2y + 1)/3. Обратная функция: y = (2x + 1)/3.
5) y = x³ + 1 ⇒ x³ = y − 1 ⇒ x = ∛(y − 1). Обратная функция: y = ∛(x − 1).
6) y = x³ − 3 ⇒ x³ = y + 3 ⇒ x = ∛(y + 3). Обратная функция: y = ∛(x + 3).
133. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:
1) y = −2x + 1;
2) y = x/4 − 7;
3) y = x³ − 1;
4) y = (x − 1)³;
5) y = 2/x;
6) y = 3/(x − 4).
Область определения обратной функции совпадает со множеством значений данной, а множество значений обратной — с областью определения данной.
1) Данная: D = R, E = R (линейная функция с k ≠ 0). Обратная y = (1 − x)/2: D = R, E = R.
2) Данная: D = R, E = R. Обратная y = 4x + 28: D = R, E = R.
3) Данная: D = R, E = R. Обратная y = ∛(x + 1): D = R, E = R.
4) Данная: D = R, E = R. Обратная y = ∛x + 1: D = R, E = R.
5) Данная: D: x ≠ 0, E: y ≠ 0. Обратная y = 2/x: D: x ≠ 0, E: y ≠ 0.
6) Данная: D: x ≠ 4, E: y ≠ 0. Из y = 3/(x − 4) находим x = 4 + 3/y, обратная функция y = 4 + 3/x: D: x ≠ 0, E: y ≠ 4.
134. Функция y = f(x) задана графиком (рис. 21). Построить график функции, обратной к данной.
[рисунок 21: четыре графика а)–г); а) убывающая кривая на отрезке [−1; 1], проходит через точки (−1; 5), (0; 2), (1; 1); б) возрастающая кривая на отрезке [−2; 1] через точки (−2; 1/4), (0; 1), (1; 2); в) убывающая кривая на отрезке [−2; 2] через точки (−2; 4), (0; 1), (2; 1/4); г) возрастающая кривая на отрезке [−2; −1/2] через точки (−2; 1/4), (−1; 1), (−1/2; 4)]
Если точка (x₀; y₀) лежит на графике f, то точка (y₀; x₀) лежит на графике обратной функции, а эти точки симметричны относительно прямой y = x. Поэтому: проводим прямую y = x, отмечаем ключевые точки данного графика, меняем в них координаты местами и соединяем полученные точки плавной кривой (зеркальное отражение графика относительно y = x). Область определения обратной функции — множество значений данной.
а) Точки (−1; 5), (0; 2), (1; 1) переходят в (5; −1), (2; 0), (1; 1). Обратная функция определена на [1; 5], убывает, значения из [−1; 1].
б) Точки (−2; 1/4), (0; 1), (1; 2) переходят в (1/4; −2), (1; 0), (2; 1). Обратная функция определена на [1/4; 2], возрастает, значения из [−2; 1].
в) Точки (−2; 4), (0; 1), (2; 1/4) переходят в (4; −2), (1; 0), (1/4; 2). Обратная функция определена на [1/4; 4], убывает, значения из [−2; 2].
г) Точки (−2; 1/4), (−1; 1), (−1/2; 4) переходят в (1/4; −2), (1; −1), (4; −1/2). Обратная функция определена на [1/4; 4], возрастает, значения из [−2; −1/2].
На рисунке чёрным показаны данные графики, красным — искомые, штрихом — прямая y = x.
Оговорка: аналитические формулы в условии не заданы; координаты точек считаны с рис. 21 приближённо (для иллюстрации графики изображены как y = (x − 1)² + 1, y = 2^x, y = (1/2)^x, y = x^(−2) на указанных отрезках), построение зависит только от формы кривой.
Графики обратных функций к рис. 21xy−2124−21240а)xy−2124−21240б)xy−2124−21240в)xy−2124−21240г)
135. Являются ли взаимно обратными функции:
1) y = −x³ и y = −∛x;
2) y = −x^5 и y = корень 5-й степени из x;
3) y = x^(−3) и y = 1/∛x;
4) y = корень 5-й степени из (x³) и y = x·∛(x²)?
Функции f и g взаимно обратны, если из y = f(x) следует x = g(y), то есть f(g(x)) = x и g(f(x)) = x на соответствующих областях.
1) Из y = −x³ получаем x³ = −y, x = −∛y; меняя x и y, находим обратную функцию y = −∛x. Это и есть вторая функция. Да, взаимно обратные.
2) Из y = −x^5 получаем x = −корень 5-й степени из y, обратная функция y = −корень 5-й степени из x, а не y = корень 5-й степени из x. Проверка: при x = 1 первая функция даёт −1, а вторая от −1 даёт −1, а не 1. Нет.
3) Из y = x^(−3) = 1/x³ получаем x³ = 1/y, x = 1/∛y; обратная функция y = 1/∛x. Да, взаимно обратные (область определения и множество значений обеих функций — x ≠ 0).
4) Из y = корень 5-й степени из (x³) = x^(3/5) получаем x = y^(5/3) = y·∛(y²); обратная функция y = x·∛(x²) = x^(5/3). Да, взаимно обратные (например, при x = 1: 1 → 1; при x = 32: корень 5-й степени из 32³ = 8, и 8·∛64 = 32).