Глава II. § 6. Степенная функция, её свойства и график — с. 46
119. Изобразить схематически график функции и указать её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):
1) y = x^6;
2) y = x^5;
3) y = x^7;
4) y = x^(−2);
5) y = x^(−3);
6) y = x^6.
1) y = x^6;
2) y = x^5;
3) y = x^7;
4) y = x^(−2);
5) y = x^(−3);
6) y = x^6.
1) y = x^6 — чётная степенная функция с чётным натуральным показателем. График — «парабола» с вершиной в начале координат, ветви вверх, проходит через (−1; 1), (0; 0), (1; 1), симметричен относительно оси y. Область определения: x ∈ R. Множество значений: y ≥ 0, то есть [0; +∞). Функция ограничена снизу (y ≥ 0, наименьшее значение 0 при x = 0), сверху не ограничена.
2) y = x^5 — нечётная функция с нечётным показателем, возрастает на R, график симметричен относительно начала координат, проходит через (−1; −1), (0; 0), (1; 1). Область определения: R. Множество значений: R. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
3) y = x^7 — аналогично пункту 2: график симметричен относительно начала координат, через (−1; −1), (0; 0), (1; 1), круче, чем у x^5, при |x| > 1. Область определения: R. Множество значений: R. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
4) y = x^(−2) = 1/x². Функция чётная, при x > 0 убывает, при x < 0 возрастает, оси координат — асимптоты. График состоит из двух ветвей в первой и второй четвертях, через (−1; 1) и (1; 1). Область определения: x ≠ 0. Множество значений: y > 0, то есть (0; +∞). Ограничена снизу (y > 0), наименьшего значения нет; сверху не ограничена (при x → 0 значения неограниченно растут).
5) y = x^(−3) = 1/x³. Функция нечётная, убывает на каждом из промежутков x < 0 и x > 0; ветви в первой и третьей четвертях, через (1; 1) и (−1; −1), оси — асимптоты. Область определения: x ≠ 0. Множество значений: y ≠ 0. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
6) y = x^6 — то же, что в пункте 1: D = R, E = [0; +∞), ограничена снизу, сверху не ограничена.
Оговорка: в учебнике пункт 6) повторяет пункт 1); ответ дан для y = x^6 как напечатано.
2) y = x^5 — нечётная функция с нечётным показателем, возрастает на R, график симметричен относительно начала координат, проходит через (−1; −1), (0; 0), (1; 1). Область определения: R. Множество значений: R. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
3) y = x^7 — аналогично пункту 2: график симметричен относительно начала координат, через (−1; −1), (0; 0), (1; 1), круче, чем у x^5, при |x| > 1. Область определения: R. Множество значений: R. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
4) y = x^(−2) = 1/x². Функция чётная, при x > 0 убывает, при x < 0 возрастает, оси координат — асимптоты. График состоит из двух ветвей в первой и второй четвертях, через (−1; 1) и (1; 1). Область определения: x ≠ 0. Множество значений: y > 0, то есть (0; +∞). Ограничена снизу (y > 0), наименьшего значения нет; сверху не ограничена (при x → 0 значения неограниченно растут).
5) y = x^(−3) = 1/x³. Функция нечётная, убывает на каждом из промежутков x < 0 и x > 0; ветви в первой и третьей четвертях, через (1; 1) и (−1; −1), оси — асимптоты. Область определения: x ≠ 0. Множество значений: y ≠ 0. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
6) y = x^6 — то же, что в пункте 1: D = R, E = [0; +∞), ограничена снизу, сверху не ограничена.
Оговорка: в учебнике пункт 6) повторяет пункт 1); ответ дан для y = x^6 как напечатано.
120. (Устно.) Выяснить, является ли функция y = x^p возрастающей (убывающей) при x > 0, если:
1) p = 7;
2) p = 16;
3) p = −3;
4) p = −7;
5) p = −4;
6) p = −10?
1) p = 7;
2) p = 16;
3) p = −3;
4) p = −7;
5) p = −4;
6) p = −10?
При x > 0 степенная функция y = x^p возрастает, если p > 0, и убывает, если p < 0.
1) p = 7 > 0 — возрастает.
2) p = 16 > 0 — возрастает.
3) p = −3 < 0 — убывает.
4) p = −7 < 0 — убывает.
5) p = −4 < 0 — убывает.
6) p = −10 < 0 — убывает.
1) p = 7 > 0 — возрастает.
2) p = 16 > 0 — возрастает.
3) p = −3 < 0 — убывает.
4) p = −7 < 0 — убывает.
5) p = −4 < 0 — убывает.
6) p = −10 < 0 — убывает.
121. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:
1) y = x^4, x ∈ [−1; 2];
2) y = x^7, x ∈ [−2; 3];
3) y = x^(−1), x ∈ [−3; −1];
4) y = x^(−2), x ∈ [1; 4].
1) y = x^4, x ∈ [−1; 2];
2) y = x^7, x ∈ [−2; 3];
3) y = x^(−1), x ∈ [−3; −1];
4) y = x^(−2), x ∈ [1; 4].
1) y = x^4 — чётная, убывает на [−1; 0] и возрастает на [0; 2]. Наименьшее значение — в точке 0: y(0) = 0. Наибольшее — большее из y(−1) = 1 и y(2) = 16, то есть 16.
Ответ: наименьшее 0 при x = 0, наибольшее 16 при x = 2.
2) y = x^7 возрастает на R, поэтому наименьшее значение — на левом конце, наибольшее — на правом: y(−2) = −128, y(3) = 2187.
Ответ: наименьшее −128 при x = −2, наибольшее 2187 при x = 3.
3) y = 1/x убывает на промежутке x < 0, значит на [−3; −1] наибольшее значение на левом конце: y(−3) = −1/3, наименьшее на правом: y(−1) = −1.
Ответ: наибольшее −1/3 при x = −3, наименьшее −1 при x = −1.
4) y = x^(−2) = 1/x² убывает при x > 0, поэтому на [1; 4]: наибольшее y(1) = 1, наименьшее y(4) = 1/16.
Ответ: наибольшее 1 при x = 1, наименьшее 1/16 при x = 4.
Ответ: наименьшее 0 при x = 0, наибольшее 16 при x = 2.
2) y = x^7 возрастает на R, поэтому наименьшее значение — на левом конце, наибольшее — на правом: y(−2) = −128, y(3) = 2187.
Ответ: наименьшее −128 при x = −2, наибольшее 2187 при x = 3.
3) y = 1/x убывает на промежутке x < 0, значит на [−3; −1] наибольшее значение на левом конце: y(−3) = −1/3, наименьшее на правом: y(−1) = −1.
Ответ: наибольшее −1/3 при x = −3, наименьшее −1 при x = −1.
4) y = x^(−2) = 1/x² убывает при x > 0, поэтому на [1; 4]: наибольшее y(1) = 1, наименьшее y(4) = 1/16.
Ответ: наибольшее 1 при x = 1, наименьшее 1/16 при x = 4.
122. Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с единицей:
1) 4,1^12;
2) 0,2^3;
3) 0,7^9;
4) (√3)^22;
5) 1,3^(−2);
6) 0,8^(−1).
1) 4,1^12;
2) 0,2^3;
3) 0,7^9;
4) (√3)^22;
5) 1,3^(−2);
6) 0,8^(−1).
Идея: 1 = 1^p для любого p. При p > 0 функция y = x^p возрастает на x > 0: если основание больше 1, то степень больше 1, если меньше 1 — степень меньше 1. При p < 0 функция убывает, и всё наоборот.
1) 4,1 > 1, p = 12 > 0: 4,1^12 > 1^12 = 1.
2) 0,2 < 1, p = 3 > 0: 0,2^3 < 1.
3) 0,7 < 1, p = 9 > 0: 0,7^9 < 1.
4) √3 > 1, p = 22 > 0: (√3)^22 > 1. (Можно и так: (√3)^22 = 3^11 > 1.)
5) 1,3 > 1, p = −2 < 0 (функция убывает): 1,3^(−2) < 1^(−2) = 1. (Или: 1,3^(−2) = 1/1,69 < 1.)
6) 0,8 < 1, p = −1 < 0: 0,8^(−1) > 1. (Или: 0,8^(−1) = 1,25 > 1.)
1) 4,1 > 1, p = 12 > 0: 4,1^12 > 1^12 = 1.
2) 0,2 < 1, p = 3 > 0: 0,2^3 < 1.
3) 0,7 < 1, p = 9 > 0: 0,7^9 < 1.
4) √3 > 1, p = 22 > 0: (√3)^22 > 1. (Можно и так: (√3)^22 = 3^11 > 1.)
5) 1,3 > 1, p = −2 < 0 (функция убывает): 1,3^(−2) < 1^(−2) = 1. (Или: 1,3^(−2) = 1/1,69 < 1.)
6) 0,8 < 1, p = −1 < 0: 0,8^(−1) > 1. (Или: 0,8^(−1) = 1,25 > 1.)
123. Построить график функции, указать её область определения и множество значений. Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), является ли функция ограниченной, принимает ли она наибольшее (наименьшее) значение:
1) y = −(x − 2)³ − 1;
2) y = (x + 3)^4 + 2.
1) y = −(x − 2)³ − 1;
2) y = (x + 3)^4 + 2.
1) y = −(x − 2)³ − 1. Строим график y = x³, отражаем его относительно оси x (получаем y = −x³), сдвигаем на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Центр симметрии графика — точка (2; −1); график пересекает ось y в точке (0; 7) и ось x в точке (1; 0).
Область определения: R. Множество значений: R. Функция убывает на всей области определения (y = −x³ убывает, сдвиги монотонность не меняют). Не ограничена ни сверху, ни снизу; наибольшего и наименьшего значений не принимает.
2) y = (x + 3)^4 + 2. График y = x^4 сдвигаем на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх; вершина — (−3; 2), ось симметрии x = −3.
Область определения: R. Множество значений: y ≥ 2, то есть [2; +∞). Убывает на (−∞; −3], возрастает на [−3; +∞). Ограничена снизу (y ≥ 2), сверху не ограничена. Наименьшее значение 2 при x = −3, наибольшего нет.
Область определения: R. Множество значений: R. Функция убывает на всей области определения (y = −x³ убывает, сдвиги монотонность не меняют). Не ограничена ни сверху, ни снизу; наибольшего и наименьшего значений не принимает.
2) y = (x + 3)^4 + 2. График y = x^4 сдвигаем на 3 единицы влево и на 2 единицы вверх; вершина — (−3; 2), ось симметрии x = −3.
Область определения: R. Множество значений: y ≥ 2, то есть [2; +∞). Убывает на (−∞; −3], возрастает на [−3; +∞). Ограничена снизу (y ≥ 2), сверху не ограничена. Наименьшее значение 2 при x = −3, наибольшего нет.
124. Сравнить значения выражений:
1) 3,1^7 и 4,3^7;
2) (10/11)³ и (12/11)³;
3) 0,3^8 и 0,2^8;
4) 2,5² и 2,6²;
5) (7/9)^(−2) и (8/10)^(−2);
6) (14/15)^(−6) и (15/16)^(−6);
7) (4√3)^(−3) и (3·корень 3-й степени из 4)^(−3);
8) (2·корень 3-й степени из 6)^(−5) и (6·корень 3-й степени из 2)^(−5).
1) 3,1^7 и 4,3^7;
2) (10/11)³ и (12/11)³;
3) 0,3^8 и 0,2^8;
4) 2,5² и 2,6²;
5) (7/9)^(−2) и (8/10)^(−2);
6) (14/15)^(−6) и (15/16)^(−6);
7) (4√3)^(−3) и (3·корень 3-й степени из 4)^(−3);
8) (2·корень 3-й степени из 6)^(−5) и (6·корень 3-й степени из 2)^(−5).
При x > 0 функция y = x^p возрастает, если p > 0, и убывает, если p < 0.
1) p = 7 > 0, 3,1 < 4,3, значит 3,1^7 < 4,3^7.
2) p = 3 > 0, 10/11 < 12/11, значит (10/11)³ < (12/11)³.
3) p = 8 > 0, 0,3 > 0,2, значит 0,3^8 > 0,2^8.
4) p = 2 > 0, 2,5 < 2,6, значит 2,5² < 2,6².
5) p = −2 < 0. Сравним основания: 7/9 = 70/90 < 72/90 = 8/10. Функция убывает, поэтому (7/9)^(−2) > (8/10)^(−2).
6) p = −6 < 0. 14/15 = 224/240 < 225/240 = 15/16. Функция убывает, поэтому (14/15)^(−6) > (15/16)^(−6).
7) p = −3 < 0. Сравним основания: 4√3 = √48, а 3·∛4 = ∛108. Приведём к показателю 6: (4√3)^6 = 48³ = 110592, (3∛4)^6 = 108² = 11664. Так как 110592 > 11664, то 4√3 > 3∛4. Функция убывает, значит (4√3)^(−3) < (3∛4)^(−3).
8) p = −5 < 0. 2∛6 = ∛48, 6∛2 = ∛432; 48 < 432, значит 2∛6 < 6∛2. Функция убывает, поэтому (2∛6)^(−5) > (6∛2)^(−5).
1) p = 7 > 0, 3,1 < 4,3, значит 3,1^7 < 4,3^7.
2) p = 3 > 0, 10/11 < 12/11, значит (10/11)³ < (12/11)³.
3) p = 8 > 0, 0,3 > 0,2, значит 0,3^8 > 0,2^8.
4) p = 2 > 0, 2,5 < 2,6, значит 2,5² < 2,6².
5) p = −2 < 0. Сравним основания: 7/9 = 70/90 < 72/90 = 8/10. Функция убывает, поэтому (7/9)^(−2) > (8/10)^(−2).
6) p = −6 < 0. 14/15 = 224/240 < 225/240 = 15/16. Функция убывает, поэтому (14/15)^(−6) > (15/16)^(−6).
7) p = −3 < 0. Сравним основания: 4√3 = √48, а 3·∛4 = ∛108. Приведём к показателю 6: (4√3)^6 = 48³ = 110592, (3∛4)^6 = 108² = 11664. Так как 110592 > 11664, то 4√3 > 3∛4. Функция убывает, значит (4√3)^(−3) < (3∛4)^(−3).
8) p = −5 < 0. 2∛6 = ∛48, 6∛2 = ∛432; 48 < 432, значит 2∛6 < 6∛2. Функция убывает, поэтому (2∛6)^(−5) > (6∛2)^(−5).