Упражнения 106–111, стр. 37 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 106–111 — Глава I. Упражнения к главе I. Проверь себя!

Страница 37 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава I. Упражнения к главе I. Проверь себя! — с. 37

Проверь себя! Задание 1. Вычислить:
1) 15^(2/3) · 3^(7/3) / 5^(−1/3);
2) (4/5)^(−2) − (1/27)^(1/3) + 4 · 379⁰;
3) (∛128 + ∛(1/4)) : ∛2.
1) 15^(2/3) = 3^(2/3) · 5^(2/3). Дробь: 3^(2/3 + 7/3) · 5^(2/3 + 1/3) = 3³ · 5 = 135.
2) (4/5)^(−2) = 25/16; (1/27)^(1/3) = 1/3; 379⁰ = 1. 25/16 − 1/3 + 4 = (75 − 16 + 192)/48 = 251/48 = 5 11/48.
3) ∛128 = 4∛2; ∛(1/4) = 1/∛4 = ∛2/2. Сумма: ∛2 · (4 + 1/2) = 4,5∛2. Делим на ∛2: 4,5.
Ответ: 1) 135; 2) 5 11/48; 3) 4,5.
Проверь себя! Задание 2. Упростить выражение:
1) ∛(ab²/c) · ∛(a^5·b/c²);
2) a^(−3) · a^(7/3) / a^(1/3).
1) ∛(ab²/c · a^5 b/c²) = ∛(a^6 b³/c³) = a²b/c.
2) a^(−3 + 7/3 − 1/3) = a^(−3 + 2) = a^(−1) = 1/a.
Ответ: 1) a²b/c; 2) 1/a.
Проверь себя! Задание 3. Сократить дробь (a − 9·a^(1/2)) / (7·a^(1/4) + 21).
Пусть t = a^(1/4). Числитель: t⁴ − 9t² = t²(t − 3)(t + 3); знаменатель: 7t + 21 = 7(t + 3). После сокращения на (t + 3): t²(t − 3)/7.
Ответ: √a · (a^(1/4) − 3)/7.
Проверь себя! Задание 4. Сравнить числа корень 5-й степени из (2/9)³ и корень 5-й степени из (1/4)³.
Корень 5-й степени и возведение в куб сохраняют порядок положительных чисел. 2/9 ≈ 0,222 < 0,25 = 1/4 (2/9 = 8/36, 1/4 = 9/36). Значит (2/9)³ < (1/4)³ и первое число меньше второго.
Ответ: корень 5-й степени из (2/9)³ < корня 5-й степени из (1/4)³.
Проверь себя! Задание 5. Упростить выражение (∛a + ∛b)² − (∛a − ∛b)².
Пусть u = ∛a, v = ∛b. (u + v)² − (u − v)² = 4uv (разность квадратов: ((u + v) − (u − v))((u + v) + (u − v)) = 2v · 2u). Итак, 4∛(ab).
Ответ: 4∛(ab).
106. Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если:
1) b₂ = −81, S₂ = 162;
2) b₂ = 33, S₂ = 67;
3) b₁ + b₂ = 130, b₁ − b₃ = 120;
4) b₂ + b₄ = 68, b₂ − b₄ = 60.
Прогрессия бесконечно убывающая, если |q| < 1.
1) S₂ = b₁ + b₂ = 162, b₂ = −81, значит b₁ = 243; q = b₂/b₁ = −81/243 = −1/3, |q| < 1.
2) b₁ = 67 − 33 = 34; q = 33/34 < 1, |q| < 1.
3) b₁(1 + q) = 130, b₁(1 − q²) = 120. Делим второе на первое: 1 − q = 12/13, q = 1/13, |q| < 1 (при этом b₁ = 130/(14/13) = 169).
4) Складываем и вычитаем: b₂ = (68 + 60)/2 = 64, b₄ = (68 − 60)/2 = 4. b₄ = b₂q², значит q² = 4/64 = 1/16, q = ±1/4, |q| < 1.
Во всех случаях |q| < 1, прогрессия бесконечно убывающая. Что и требовалось показать.
107. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: 1) 1,10(209); 2) 0,108(32).
Используем правило: (число до конца первого периода − число до периода) / (столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом).
1) 1,10(209): период из 3 цифр, перед ним 2 цифры. (110209 − 110)/99 900 = 110 099/99 900 = 1 10 199/99 900 (дробь несократима).
2) 0,108(32): период из 2 цифр, перед ним 3 цифры. (10832 − 108)/99 000 = 10 724/99 000 = 2681/24 750.
Ответ: 1) 110 099/99 900; 2) 2681/24 750.
108. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма их обратных величин равна 13/27.
Пусть b₁ и q — первый член и знаменатель (b₁ > 0, 0 < q < 1). Тогда b₁(1 + q + q²) = 39, а сумма обратных величин 1/b₁ + 1/(b₁q) + 1/(b₁q²) = (q² + q + 1)/(b₁q²) = 13/27.
Разделим первое равенство на второе: b₁(1 + q + q²) · b₁q²/(q² + q + 1) = b₁²q² = 39 · 27/13 = 81, откуда b₁q = 9, то есть b₂ = 9.
Тогда b₁ = 9/q и 9(1 + q + q²)/q = 39, то есть 3q² − 10q + 3 = 0, q = 3 или q = 1/3. Условию |q| < 1 удовлетворяет q = 1/3, b₁ = 27.
Проверка: 27 + 9 + 3 = 39; 1/27 + 1/9 + 1/3 = 13/27.
Сумма S = b₁/(1 − q) = 27/(2/3) = 40,5.
Ответ: 40,5.
109. Упростить выражение √(43 + 30√2) + √(43 − 30√2).
Представим подкоренные выражения как полные квадраты: 43 + 30√2 = (5 + 3√2)², так как 25 + 18 + 30√2 = 43 + 30√2; аналогично 43 − 30√2 = (5 − 3√2)². Так как 5 − 3√2 > 0 (3√2 = √18 < 5), то √(43 − 30√2) = 5 − 3√2. Сумма: (5 + 3√2) + (5 − 3√2) = 10.
Ответ: 10.
110. Упростить выражение a = (4 − 3√2)² + 8·√(34 − 24√2) − √5. Сравнить полученное число с нулём.
34 − 24√2 = (3√2 − 4)², так как 18 + 16 − 24√2 = 34 − 24√2. Так как 3√2 > 4 (√18 > √16), то √(34 − 24√2) = 3√2 − 4. Далее (4 − 3√2)² = 34 − 24√2.
a = 34 − 24√2 + 8(3√2 − 4) − √5 = 34 − 24√2 + 24√2 − 32 − √5 = 2 − √5.
Так как √5 > 2, то a < 0.
Ответ: a = 2 − √5, a < 0.
111. Сравнить числа a и b, если:
1) a = 2/(√5 − √3) + 5/(3 + 2√2), b = 2/(√8 − √5);
2) a = √2 + √3, b = √10;
3) a = 5 − √15, b = √17 − 3;
4) a = √13 − √12, b = √12 − √11.
1) 2/(√5 − √3) = 2(√5 + √3)/(5 − 3) = √5 + √3; 5/(3 + 2√2) = 5(3 − 2√2)/(9 − 8) = 15 − 10√2. Значит a = √5 + √3 + 15 − 10√2 ≈ 2,236 + 1,732 + 0,858 = 4,826. b = 2(√8 + √5)/(8 − 5) = 2(√8 + √5)/3 ≈ 2 · 5,064/3 ≈ 3,376. Оценка без калькулятора: √5 > 2,23, √3 > 1,73, 10√2 < 14,15, поэтому a > 2,23 + 1,73 + 0,85 = 4,81; b < 2(2,83 + 2,24)/3 < 3,4. Итак a > b.
2) a² = 2 + 3 + 2√6 = 5 + √24 < 5 + 5 = 10 = b², так как √24 < 5. Оба числа положительны, значит a < b.
3) a − b = 8 − √15 − √17. (√15 + √17)² = 32 + 2√255 < 32 + 2 · 16 = 64, так как √255 < 16. Значит √15 + √17 < 8, a − b > 0, a > b.
4) a = √13 − √12 = 1/(√13 + √12); b = √12 − √11 = 1/(√12 + √11). Так как √13 + √12 > √12 + √11, то a < b.
Ответ: 1) a > b; 2) a < b; 3) a > b; 4) a < b.