Упражнения 97–105, стр. 36 — 10 класс, Алгебра Алимов 10-11… · ГДЗ
Алгебра · 10 КЛАСС

Упражнения 97–105 — Глава I. Упражнения к главе I

Страница 36 · Алгебра Алимов 10-11 класс

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин · Просвещение, 2023 · 11-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава I. Упражнения к главе I — с. 36

97. Вычислить:
1) ∛(3/2) · ∛(2 1/4);
2) корень 4-й степени из (3/4) · корень 4-й степени из (6 3/4);
3) корень 4-й степени из (15 5/8) : корень 4-й степени из (2/5);
4) ∛(11 1/4) : ∛(3 1/3);
5) (∛√27)²;
6) (√∛16)³.
1) ∛((3/2) · (9/4)) = ∛(27/8) = 3/2.
2) 6 3/4 = 27/4; (3/4) · (27/4) = 81/16; корень 4-й степени из (81/16) = 3/2.
3) 15 5/8 = 125/8; (125/8) : (2/5) = 625/16; корень 4-й степени из (625/16) = 5/2.
4) 11 1/4 = 45/4; 3 1/3 = 10/3; (45/4) : (10/3) = 27/8; ∛(27/8) = 3/2.
5) √27 = 3^(3/2); ∛ этого числа: 3^(1/2); в квадрате: 3.
6) √∛16 = 16^(1/6); в кубе: 16^(1/2) = 4.
Ответ: 1) 3/2; 2) 3/2; 3) 5/2; 4) 3/2; 5) 3; 6) 4.
98. Расположить числа в порядке возрастания:
1) 1^(3,75), 2^(−1), (1/2)^(−3);
2) 98⁰, (3/7)^(−1), 32^(1/5).
1) 1^(3,75) = 1; 2^(−1) = 0,5; (1/2)^(−3) = 8. Порядок: 2^(−1), 1^(3,75), (1/2)^(−3).
2) 98⁰ = 1; (3/7)^(−1) = 7/3 ≈ 2,33; 32^(1/5) = 2. Порядок: 98⁰, 32^(1/5), (3/7)^(−1).
Ответ: 1) 2^(−1) < 1^(3,75) < (1/2)^(−3); 2) 98⁰ < 32^(1/5) < (3/7)^(−1).
99. Сравнить числа:
1) 0,88^(1/6) и (6/11)^(1/6);
2) (5/12)^(−1/4) и 0,41^(−1/4);
3) 4,09^(∛2) и (4 3/25)^(∛2);
4) (11/12)^(−√5) и (12/13)^(−√5).
Степенная функция x^p при p > 0 возрастает на (0; +∞), при p < 0 убывает.
1) Показатель 1/6 > 0. 0,88 > 6/11 (6/11 ≈ 0,545), значит 0,88^(1/6) > (6/11)^(1/6).
2) Показатель −1/4 < 0. 5/12 ≈ 0,4167 > 0,41, функция убывает, значит (5/12)^(−1/4) < 0,41^(−1/4).
3) Показатель ∛2 > 0. 4 3/25 = 4,12 > 4,09, значит 4,09^(∛2) < (4 3/25)^(∛2).
4) Показатель −√5 < 0. 11/12 = 143/156 < 12/13 = 144/156, функция убывает, значит (11/12)^(−√5) > (12/13)^(−√5).
Ответ: 1) >; 2) <; 3) <; 4) >.
100. Упростить выражение, представив его в виде степени с основанием a:
1) a^(1 1/2) · a^(−0,5) / a^(2/3);
2) a^(−3) · a^(7/3) / a^(1/3);
3) (a^(2,5))² · корень 5-й степени из a;
4) корень 7-й степени из (a²) · (a^(3/14))².
1) a^(3/2 − 1/2 − 2/3) = a^(1 − 2/3) = a^(1/3).
2) a^(−3 + 7/3 − 1/3) = a^(−3 + 2) = a^(−1).
3) (a^(2,5))² = a^5; корень 5-й степени из a = a^(1/5); произведение a^(5 1/5) = a^(26/5).
4) корень 7-й степени из (a²) = a^(2/7); (a^(3/14))² = a^(3/7); произведение a^(5/7).
Ответ: 1) a^(1/3); 2) a^(−1); 3) a^(26/5); 4) a^(5/7).
101. Упростить выражение:
1) x^(−2√2) · (1/x^(−√2 − 1))^(√2 + 1);
2) (a^√3 / b^(√3 − 1))^(√3 + 1) · a^(−1 − √3) / b^(−2).
1) 1/x^(−√2 − 1) = x^(√2 + 1); возводим в степень √2 + 1: x^((√2 + 1)²) = x^(3 + 2√2). Умножаем на x^(−2√2): x^(3 + 2√2 − 2√2) = x³.
2) (a^√3)^(√3 + 1) = a^(3 + √3); (b^(√3 − 1))^(√3 + 1) = b^(3 − 1) = b². Выражение: a^(3 + √3) / b² · a^(−1 − √3) · b² = a^(3 + √3 − 1 − √3) = a².
Ответ: 1) x³; 2) a².
102. Сравнить числа:
1) корень 7-й степени из (1/2 − 1/3)² и корень 7-й степени из (1/3 − 1/4)²;
2) корень 5-й степени из (1 1/4 − 1 1/5)³ и корень 5-й степени из (1 1/6 − 1 1/7)³.
1) 1/2 − 1/3 = 1/6, 1/3 − 1/4 = 1/12. Сравниваем корни 7-й степени из (1/6)² и (1/12)²: 1/6 > 1/12, значит (1/6)² > (1/12)², и первый корень больше.
2) 1 1/4 − 1 1/5 = 1/20; 1 1/6 − 1 1/7 = 1/42. 1/20 > 1/42, значит (1/20)³ > (1/42)³, и первый корень больше.
Ответ: 1) первое число больше; 2) первое число больше.
103. Решить уравнение:
1) 6^(2x) = 6^(1/5);
2) 3^x = 27;
3) 7^(3x) = 7^10;
4) 2^(2x + 1) = 32;
5) 4^(2 + x) = 1.
1) 2x = 1/5, x = 1/10.
2) 27 = 3³, x = 3.
3) 3x = 10, x = 10/3 = 3 1/3.
4) 32 = 2^5; 2x + 1 = 5, x = 2.
5) 1 = 4⁰; 2 + x = 0, x = −2.
Ответ: 1) 1/10; 2) 3; 3) 10/3; 4) 2; 5) −2.
104. Сократить дробь:
1) (y − 16·y^(1/2)) / (5·y^(1/4) + 20);
2) (a^(4/5) − b^(4/5)) / (a^(2/5) − b^(2/5)).
1) Пусть t = y^(1/4) (y ≥ 0). Числитель: t⁴ − 16t² = t²(t − 4)(t + 4); знаменатель: 5t + 20 = 5(t + 4). После сокращения на (t + 4): t²(t − 4)/5 = √y · (корень 4-й степени из y − 4)/5.
2) Разность квадратов: a^(4/5) − b^(4/5) = (a^(2/5) − b^(2/5))(a^(2/5) + b^(2/5)). После сокращения: a^(2/5) + b^(2/5).
Ответ: 1) √y(y^(1/4) − 4)/5; 2) a^(2/5) + b^(2/5).
105. Упростить:
1) (a·b^(3/2) − b^(1/2)) / (a^(1/2)·b^(1/2) − 1);
2) b/(a − b) + b^(1/2)/(a^(1/2) + b^(1/2)).
1) Числитель: b^(1/2)(ab − 1) = √b(√(ab) − 1)(√(ab) + 1). Сокращаем на (√(ab) − 1): √b(√(ab) + 1) = b√a + √b.
2) Пусть s = √a, t = √b. t²/(s² − t²) + t/(s + t) = (t² + t(s − t))/(s² − t²) = st/(s² − t²) = √(ab)/(a − b).
Ответ: 1) b√a + √b; 2) √(ab)/(a − b).