Глава I. Упражнения к главе I. Проверь себя! — с. 38
112. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
1) 2/(√2 − √3);
2) √5/(5 + √10);
3) 3/∛4;
4) 2/(корень 4-й степени из 27);
5) 3/(корень 4-й степени из 5 − корень 4-й степени из 2);
6) 11/(∛3 + ∛2);
7) 1/(1 + √2 + √3);
8) 1/(∛4 + ∛6 + ∛9).
1) 2/(√2 − √3);
2) √5/(5 + √10);
3) 3/∛4;
4) 2/(корень 4-й степени из 27);
5) 3/(корень 4-й степени из 5 − корень 4-й степени из 2);
6) 11/(∛3 + ∛2);
7) 1/(1 + √2 + √3);
8) 1/(∛4 + ∛6 + ∛9).
1) 2(√2 + √3)/((√2 − √3)(√2 + √3)) = 2(√2 + √3)/(2 − 3) = −2√2 − 2√3.
2) √5(5 − √10)/(25 − 10) = (5√5 − √50)/15 = (5√5 − 5√2)/15 = (√5 − √2)/3.
3) Домножаем на ∛2: 3∛2/(∛4 · ∛2) = 3∛2/2.
4) Корень 4-й степени из 27 = 3^(3/4). Домножаем на 3^(1/4): 2 · 3^(1/4)/3 = 2 · (корень 4-й степени из 3)/3.
5) Пусть p = корень 4-й степени из 5, q = корень 4-й степени из 2. Домножаем на (p + q)(p² + q²): (p − q)(p + q)(p² + q²) = p⁴ − q⁴ = 5 − 2 = 3. Результат: (p + q)(p² + q²) = (корень 4-й степени из 5 + корень 4-й степени из 2)(√5 + √2).
6) Пусть u = ∛3, v = ∛2: (u + v)(u² − uv + v²) = u³ + v³ = 5. Результат: 11(∛9 − ∛6 + ∛4)/5.
7) Домножаем на (1 + √2 − √3): (1 + √2)² − 3 = 2√2. Получаем (1 + √2 − √3)/(2√2) = (1 + √2 − √3)√2/4 = (√2 + 2 − √6)/4.
8) Пусть u = ∛2, v = ∛3; знаменатель u² + uv + v². Домножаем на (u − v): u³ − v³ = 2 − 3 = −1. Результат: (u − v)/(−1) = ∛3 − ∛2.
Ответ: 1) −2√2 − 2√3; 2. (√5 − √2)/3; 3) 3∛2/2; 4) 2·(корень 4-й степени из 3)/3; 5. (корень 4-й степени из 5 + корень 4-й степени из 2)(√5 + √2); 6) 11(∛9 − ∛6 + ∛4)/5; 7. (2 + √2 − √6)/4; 8) ∛3 − ∛2.
2) √5(5 − √10)/(25 − 10) = (5√5 − √50)/15 = (5√5 − 5√2)/15 = (√5 − √2)/3.
3) Домножаем на ∛2: 3∛2/(∛4 · ∛2) = 3∛2/2.
4) Корень 4-й степени из 27 = 3^(3/4). Домножаем на 3^(1/4): 2 · 3^(1/4)/3 = 2 · (корень 4-й степени из 3)/3.
5) Пусть p = корень 4-й степени из 5, q = корень 4-й степени из 2. Домножаем на (p + q)(p² + q²): (p − q)(p + q)(p² + q²) = p⁴ − q⁴ = 5 − 2 = 3. Результат: (p + q)(p² + q²) = (корень 4-й степени из 5 + корень 4-й степени из 2)(√5 + √2).
6) Пусть u = ∛3, v = ∛2: (u + v)(u² − uv + v²) = u³ + v³ = 5. Результат: 11(∛9 − ∛6 + ∛4)/5.
7) Домножаем на (1 + √2 − √3): (1 + √2)² − 3 = 2√2. Получаем (1 + √2 − √3)/(2√2) = (1 + √2 − √3)√2/4 = (√2 + 2 − √6)/4.
8) Пусть u = ∛2, v = ∛3; знаменатель u² + uv + v². Домножаем на (u − v): u³ − v³ = 2 − 3 = −1. Результат: (u − v)/(−1) = ∛3 − ∛2.
Ответ: 1) −2√2 − 2√3; 2. (√5 − √2)/3; 3) 3∛2/2; 4) 2·(корень 4-й степени из 3)/3; 5. (корень 4-й степени из 5 + корень 4-й степени из 2)(√5 + √2); 6) 11(∛9 − ∛6 + ∛4)/5; 7. (2 + √2 − √6)/4; 8) ∛3 − ∛2.
113. Вычислить:
1) (∛7 − ∛4)(∛49 + ∛28 + ∛16);
2) (∛4 − ∛10 + ∛25)(∛2 + ∛5).
1) (∛7 − ∛4)(∛49 + ∛28 + ∛16);
2) (∛4 − ∛10 + ∛25)(∛2 + ∛5).
1) Пусть u = ∛7, v = ∛4. Тогда ∛49 = u², ∛28 = uv, ∛16 = v². (u − v)(u² + uv + v²) = u³ − v³ = 7 − 4 = 3.
2) Пусть u = ∛2, v = ∛5. Тогда ∛4 = u², ∛10 = uv, ∛25 = v². (u² − uv + v²)(u + v) = u³ + v³ = 2 + 5 = 7.
Ответ: 1) 3; 2) 7.
2) Пусть u = ∛2, v = ∛5. Тогда ∛4 = u², ∛10 = uv, ∛25 = v². (u² − uv + v²)(u + v) = u³ + v³ = 2 + 5 = 7.
Ответ: 1) 3; 2) 7.
114. Упростить выражение (114—117):
1) (√x − √y)/(корень 4-й степени из x − корень 4-й степени из y) − (√x + корень 4-й степени из (xy))/(корень 4-й степени из x + корень 4-й степени из y);
2) (x − y)/(∛x − ∛y) − (x + y)/(∛x + ∛y);
3) (√x − ∛(y²))/(корень 4-й степени из x + ∛y) + ∛y;
4) (x√x − y√y)/(x√y − y√x) − 1.
1) (√x − √y)/(корень 4-й степени из x − корень 4-й степени из y) − (√x + корень 4-й степени из (xy))/(корень 4-й степени из x + корень 4-й степени из y);
2) (x − y)/(∛x − ∛y) − (x + y)/(∛x + ∛y);
3) (√x − ∛(y²))/(корень 4-й степени из x + ∛y) + ∛y;
4) (x√x − y√y)/(x√y − y√x) − 1.
Переменные положительны, знаменатели не равны нулю.
1) Пусть p = корень 4-й степени из x, q = корень 4-й степени из y. Первая дробь: (p² − q²)/(p − q) = p + q. Вторая: (p² + pq)/(p + q) = p(p + q)/(p + q) = p. Разность: q = корень 4-й степени из y.
2) Пусть u = ∛x, v = ∛y. (u³ − v³)/(u − v) = u² + uv + v²; (u³ + v³)/(u + v) = u² − uv + v². Разность: 2uv = 2∛(xy).
3) Пусть p = корень 4-й степени из x, v = ∛y. (p² − v²)/(p + v) = p − v; прибавляем v: p = корень 4-й степени из x.
4) Пусть s = √x, t = √y. (s³ − t³)/(s²t − t²s) = (s − t)(s² + st + t²)/(st(s − t)) = (s² + st + t²)/(st). Вычитаем 1: (s² + t²)/(st) = (x + y)/√(xy).
Ответ: 1) корень 4-й степени из y; 2) 2∛(xy); 3) корень 4-й степени из x; 4. (x + y)/√(xy).
1) Пусть p = корень 4-й степени из x, q = корень 4-й степени из y. Первая дробь: (p² − q²)/(p − q) = p + q. Вторая: (p² + pq)/(p + q) = p(p + q)/(p + q) = p. Разность: q = корень 4-й степени из y.
2) Пусть u = ∛x, v = ∛y. (u³ − v³)/(u − v) = u² + uv + v²; (u³ + v³)/(u + v) = u² − uv + v². Разность: 2uv = 2∛(xy).
3) Пусть p = корень 4-й степени из x, v = ∛y. (p² − v²)/(p + v) = p − v; прибавляем v: p = корень 4-й степени из x.
4) Пусть s = √x, t = √y. (s³ − t³)/(s²t − t²s) = (s − t)(s² + st + t²)/(st(s − t)) = (s² + st + t²)/(st). Вычитаем 1: (s² + t²)/(st) = (x + y)/√(xy).
Ответ: 1) корень 4-й степени из y; 2) 2∛(xy); 3) корень 4-й степени из x; 4. (x + y)/√(xy).
115. Упростить выражение:
1) ((a^(4/3)·b + a·b^(4/3))/(a^(1/3) + b^(1/3)) · 1/(a^(1/3)·b^(1/3)))³;
2) (a^(1/3) − b^(1/3))/∛(ab) · (a·b^(1/3) − a^(1/3)·b)/(∛a + ∛b);
3) (a^(2/3) − b^(2/3))/(a^(1/3) + b^(1/3)) · (a^(2/3) + ∛(ab) + b^(2/3))/(a − b);
4) (a^(4/3) − b^(4/3))/(∛a − ∛b) · (a^(4/3) − ∛(a²b²) + b^(4/3))/(∛a + ∛b).
1) ((a^(4/3)·b + a·b^(4/3))/(a^(1/3) + b^(1/3)) · 1/(a^(1/3)·b^(1/3)))³;
2) (a^(1/3) − b^(1/3))/∛(ab) · (a·b^(1/3) − a^(1/3)·b)/(∛a + ∛b);
3) (a^(2/3) − b^(2/3))/(a^(1/3) + b^(1/3)) · (a^(2/3) + ∛(ab) + b^(2/3))/(a − b);
4) (a^(4/3) − b^(4/3))/(∛a − ∛b) · (a^(4/3) − ∛(a²b²) + b^(4/3))/(∛a + ∛b).
Пусть u = a^(1/3), v = b^(1/3); a = u³, b = v³.
1) a^(4/3)b + ab^(4/3) = u⁴v³ + u³v⁴ = u³v³(u + v). Дробь: u³v³(u + v)/(u + v) = u³v³; умножаем на 1/(uv): u²v². В кубе: u⁶v⁶ = a²b².
2) (u − v)/(uv) · (u³v − uv³)/(u + v) = (u − v)/(uv) · uv(u − v)(u + v)/(u + v) = (u − v)² = (∛a − ∛b)².
3) (u² − v²)/(u + v) = u − v; (u² + uv + v²)/(u³ − v³) = 1/(u − v). Произведение 1.
4) (u⁴ − v⁴)/(u − v) = (u + v)(u² + v²); второй множитель (u⁴ − u²v² + v⁴)/(u + v). Произведение: (u² + v²)(u⁴ − u²v² + v⁴) = u⁶ + v⁶ = a² + b².
Ответ: 1) a²b²; 2. (∛a − ∛b)²; 3) 1; 4) a² + b².
1) a^(4/3)b + ab^(4/3) = u⁴v³ + u³v⁴ = u³v³(u + v). Дробь: u³v³(u + v)/(u + v) = u³v³; умножаем на 1/(uv): u²v². В кубе: u⁶v⁶ = a²b².
2) (u − v)/(uv) · (u³v − uv³)/(u + v) = (u − v)/(uv) · uv(u − v)(u + v)/(u + v) = (u − v)² = (∛a − ∛b)².
3) (u² − v²)/(u + v) = u − v; (u² + uv + v²)/(u³ − v³) = 1/(u − v). Произведение 1.
4) (u⁴ − v⁴)/(u − v) = (u + v)(u² + v²); второй множитель (u⁴ − u²v² + v⁴)/(u + v). Произведение: (u² + v²)(u⁴ − u²v² + v⁴) = u⁶ + v⁶ = a² + b².
Ответ: 1) a²b²; 2. (∛a − ∛b)²; 3) 1; 4) a² + b².
116. Упростить выражение:
1) ((4a² − 9a^(−2))/(2a − 3a^(−1)) + (a² − 4 + 3a^(−2))/(a − a^(−1)))²;
2) (1/(a + b)^(−2) − ((a − b)/(a³ + b³))^(−1)) · (ab)^(−1).
1) ((4a² − 9a^(−2))/(2a − 3a^(−1)) + (a² − 4 + 3a^(−2))/(a − a^(−1)))²;
2) (1/(a + b)^(−2) − ((a − b)/(a³ + b³))^(−1)) · (ab)^(−1).
1) 4a² − 9a^(−2) = (2a − 3a^(−1))(2a + 3a^(−1)), первая дробь равна 2a + 3/a. Вторая: a² − 4 + 3a^(−2) = (a⁴ − 4a² + 3)/a² = (a² − 1)(a² − 3)/a²; a − a^(−1) = (a² − 1)/a; дробь равна (a² − 3)/a = a − 3/a. Сумма: 2a + 3/a + a − 3/a = 3a. В квадрате: 9a².
2) 1/(a + b)^(−2) = (a + b)²; ((a − b)/(a³ + b³))^(−1) = (a³ + b³)/(a − b) = (a + b)(a² − ab + b²)/(a − b). Разность: (a + b)((a + b)(a − b) − (a² − ab + b²))/(a − b) = (a + b)(ab − 2b²)/(a − b) = (a + b)b(a − 2b)/(a − b). Умножаем на 1/(ab): (a + b)(a − 2b)/(a(a − b)) = (a² − ab − 2b²)/(a(a − b)) = 1 − 2b²/(a(a − b)).
Ответ: 1) 9a²; 2) 1 − 2b²/(a(a − b)).
2) 1/(a + b)^(−2) = (a + b)²; ((a − b)/(a³ + b³))^(−1) = (a³ + b³)/(a − b) = (a + b)(a² − ab + b²)/(a − b). Разность: (a + b)((a + b)(a − b) − (a² − ab + b²))/(a − b) = (a + b)(ab − 2b²)/(a − b) = (a + b)b(a − 2b)/(a − b). Умножаем на 1/(ab): (a + b)(a − 2b)/(a(a − b)) = (a² − ab − 2b²)/(a(a − b)) = 1 − 2b²/(a(a − b)).
Ответ: 1) 9a²; 2) 1 − 2b²/(a(a − b)).
117. Упростить выражение:
1) (((корень 4-й степени из a + корень 4-й степени из b)² + (корень 4-й степени из a − корень 4-й степени из b)²)/(a + √(ab)))^5 · ∛(a^10 · √a);
2) ((a − a^(−1))/((∛(a^(−1)) + ∛a + 1)(∛(a^(−1)) − ∛a + 1)) + ∛(a^(−1)))^(−3);
3) ((a^(3/2) − b^(3/2))/(√a − √b) − √((a·b·∛a + a·b^(4/3))/(a^(1/3) + b^(1/3)))) · 1/(a + b).
1) (((корень 4-й степени из a + корень 4-й степени из b)² + (корень 4-й степени из a − корень 4-й степени из b)²)/(a + √(ab)))^5 · ∛(a^10 · √a);
2) ((a − a^(−1))/((∛(a^(−1)) + ∛a + 1)(∛(a^(−1)) − ∛a + 1)) + ∛(a^(−1)))^(−3);
3) ((a^(3/2) − b^(3/2))/(√a − √b) − √((a·b·∛a + a·b^(4/3))/(a^(1/3) + b^(1/3)))) · 1/(a + b).
1) Пусть p = корень 4-й степени из a, q = корень 4-й степени из b. Числитель: (p + q)² + (p − q)² = 2(p² + q²) = 2(√a + √b). Знаменатель: a + √(ab) = √a(√a + √b). Дробь равна 2/√a; в пятой степени 32/a^(5/2). ∛(a^10 · a^(1/2)) = a^(21/6) = a^(7/2). Произведение: 32a^(7/2 − 5/2) = 32a.
2) Пусть t = ∛a (a > 0). Числитель: a − a^(−1) = t³ − t^(−3) = (t⁶ − 1)/t³ = (t² − 1)(t⁴ + t² + 1)/t³ = (t − 1)(t + 1)(t² + t + 1)(t² − t + 1)/t³. Знаменатель: (1/t + t + 1)(1/t − t + 1) = (t² + t + 1)(1 + t − t²)/t². Дробь: (t − 1)(t + 1)(t² − t + 1)/(t(1 + t − t²)). Прибавляем 1/t: ((t² − 1)(t² − t + 1) + 1 + t − t²)/(t(1 + t − t²)) = (t⁴ − t³ + t − 1 + 1 + t − t²)/(t(1 + t − t²)) = (t³ − t² − t + 2)/(1 + t − t²). Возводим в степень −3: ((1 + t − t²)/(t³ − t² − t + 2))³, где t = ∛a.
3) Пусть s = √a, t = √b. (s³ − t³)/(s − t) = s² + st + t² = a + √(ab) + b. Под корнем: ab(a^(1/3) + b^(1/3))/(a^(1/3) + b^(1/3)) = ab, корень равен √(ab). Скобка: a + √(ab) + b − √(ab) = a + b. Умножаем на 1/(a + b): 1.
Ответ: 1) 32a; 2. ((1 + ∛a − ∛(a²))/(a − ∛(a²) − ∛a + 2))³; 3) 1.
Оговорка: в пункте 2 в знаменателе напечатано (∛(a^(−1)) − ∛a + 1); при втором множителе (∛(a^(−1)) + ∛a − 1) получилось бы красивое значение: дробь равна ∛a − ∛(a^(−1)), сумма с ∛(a^(−1)) равна ∛a, ответ 1/a. Решение выше дано строго по напечатанному условию.
2) Пусть t = ∛a (a > 0). Числитель: a − a^(−1) = t³ − t^(−3) = (t⁶ − 1)/t³ = (t² − 1)(t⁴ + t² + 1)/t³ = (t − 1)(t + 1)(t² + t + 1)(t² − t + 1)/t³. Знаменатель: (1/t + t + 1)(1/t − t + 1) = (t² + t + 1)(1 + t − t²)/t². Дробь: (t − 1)(t + 1)(t² − t + 1)/(t(1 + t − t²)). Прибавляем 1/t: ((t² − 1)(t² − t + 1) + 1 + t − t²)/(t(1 + t − t²)) = (t⁴ − t³ + t − 1 + 1 + t − t²)/(t(1 + t − t²)) = (t³ − t² − t + 2)/(1 + t − t²). Возводим в степень −3: ((1 + t − t²)/(t³ − t² − t + 2))³, где t = ∛a.
3) Пусть s = √a, t = √b. (s³ − t³)/(s − t) = s² + st + t² = a + √(ab) + b. Под корнем: ab(a^(1/3) + b^(1/3))/(a^(1/3) + b^(1/3)) = ab, корень равен √(ab). Скобка: a + √(ab) + b − √(ab) = a + b. Умножаем на 1/(a + b): 1.
Ответ: 1) 32a; 2. ((1 + ∛a − ∛(a²))/(a − ∛(a²) − ∛a + 2))³; 3) 1.
Оговорка: в пункте 2 в знаменателе напечатано (∛(a^(−1)) − ∛a + 1); при втором множителе (∛(a^(−1)) + ∛a − 1) получилось бы красивое значение: дробь равна ∛a − ∛(a^(−1)), сумма с ∛(a^(−1)) равна ∛a, ответ 1/a. Решение выше дано строго по напечатанному условию.
118. Доказать, что ∛(7 + 5√2) + ∛(7 − 5√2) = 2.
Заметим, что (1 + √2)³ = 1 + 3√2 + 3 · 2 + 2√2 = 7 + 5√2 и (1 − √2)³ = 1 − 3√2 + 6 − 2√2 = 7 − 5√2. Тогда ∛(7 + 5√2) = 1 + √2 и ∛(7 − 5√2) = 1 − √2 (кубический корень определён и для отрицательного числа, 7 − 5√2 < 0). Сумма: (1 + √2) + (1 − √2) = 2. Что и требовалось доказать.