Глава II. § 6. Степенная функция, её свойства и график — с. 47
125. В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений:
1) y = x³ и y = x^(1/3);
2) y = x^4 и y = x^(1/4);
3) y = x² и y = x^(−2);
4) y = x^5 и y = x^(−5).
1) y = x³ и y = x^(1/3);
2) y = x^4 и y = x^(1/4);
3) y = x² и y = x^(−2);
4) y = x^5 и y = x^(−5).
1) y = x³: D = R, E = R, возрастает, нечётная, график — кубическая парабола через (−1; −1), (0; 0), (1; 1). y = x^(1/3) (показатель положителен и нецелый): D = [0; +∞), E = [0; +∞), возрастает, график — «ветвь» выпуклая вверх, через (0; 0), (1; 1), (8; 2); он симметричен части графика y = x³ при x ≥ 0 относительно прямой y = x.
2) y = x^4: D = R, E = [0; +∞), чётная, убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞), через (−1; 1), (0; 0), (1; 1). y = x^(1/4): D = [0; +∞), E = [0; +∞), возрастает, через (0; 0), (1; 1), (16; 2), выпукла вверх.
3) y = x²: D = R, E = [0; +∞), парабола с вершиной в начале координат. y = x^(−2) = 1/x²: D: x ≠ 0, E: y > 0, чётная, возрастает на (−∞; 0), убывает на (0; +∞), оси координат — асимптоты, график проходит через (±1; 1), (±2; 1/4), (±1/2; 4).
4) y = x^5: D = R, E = R, возрастает, нечётная, через (−1; −1), (0; 0), (1; 1). y = x^(−5) = 1/x^5: D: x ≠ 0, E: y ≠ 0, нечётная, убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞), ветви в I и III четвертях, оси — асимптоты, через (1; 1), (−1; −1).
Графики пересекаются в точках (1; 1) и, где применимо, (−1; ±1).
2) y = x^4: D = R, E = [0; +∞), чётная, убывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞), через (−1; 1), (0; 0), (1; 1). y = x^(1/4): D = [0; +∞), E = [0; +∞), возрастает, через (0; 0), (1; 1), (16; 2), выпукла вверх.
3) y = x²: D = R, E = [0; +∞), парабола с вершиной в начале координат. y = x^(−2) = 1/x²: D: x ≠ 0, E: y > 0, чётная, возрастает на (−∞; 0), убывает на (0; +∞), оси координат — асимптоты, график проходит через (±1; 1), (±2; 1/4), (±1/2; 4).
4) y = x^5: D = R, E = R, возрастает, нечётная, через (−1; −1), (0; 0), (1; 1). y = x^(−5) = 1/x^5: D: x ≠ 0, E: y ≠ 0, нечётная, убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞), ветви в I и III четвертях, оси — асимптоты, через (1; 1), (−1; −1).
Графики пересекаются в точках (1; 1) и, где применимо, (−1; ±1).
126. Найти промежутки, на которых график функции:
1) y = x^8;
2) y = x^(1/3) — лежит выше (ниже) графика функции y = x.
1) y = x^8;
2) y = x^(1/3) — лежит выше (ниже) графика функции y = x.
1) Сравним x^8 и x: x^8 − x = x(x^7 − 1). Произведение положительно, когда оба множителя одного знака: x < 0 (тогда x^7 − 1 < 0) или x > 1. Отрицательно при 0 < x < 1. Нули — в точках x = 0 и x = 1 (графики пересекаются).
Ответ: график y = x^8 лежит выше графика y = x при x < 0 и при x > 1; ниже — при 0 < x < 1.
2) Область определения функции y = x^(1/3) — x ≥ 0. При x > 0 разделим неравенство x^(1/3) > x на x^(1/3) > 0: 1 > x^(2/3), что верно при 0 < x < 1 (степенная функция с положительным показателем возрастает, 1^(2/3) = 1). Аналогично x^(1/3) < x при x > 1. В точках x = 0 и x = 1 графики пересекаются.
Ответ: выше при 0 < x < 1, ниже при x > 1.
Ответ: график y = x^8 лежит выше графика y = x при x < 0 и при x > 1; ниже — при 0 < x < 1.
2) Область определения функции y = x^(1/3) — x ≥ 0. При x > 0 разделим неравенство x^(1/3) > x на x^(1/3) > 0: 1 > x^(2/3), что верно при 0 < x < 1 (степенная функция с положительным показателем возрастает, 1^(2/3) = 1). Аналогично x^(1/3) < x при x > 1. В точках x = 0 и x = 1 графики пересекаются.
Ответ: выше при 0 < x < 1, ниже при x > 1.
127. Изобразить схематически график функции и найти её область определения и множество значений; выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу):
1) y = (x − 2)^7;
2) y = (x + 1)^6;
3) y = (x + 2)^(−2);
4) y = (x − 1)^(−3).
1) y = (x − 2)^7;
2) y = (x + 1)^6;
3) y = (x + 2)^(−2);
4) y = (x − 1)^(−3).
Во всех случаях график получается сдвигом графика y = x^p.
1) График y = x^7 сдвигаем на 2 единицы вправо; центр симметрии — (2; 0), через (1; −1), (3; 1), (0; −128). D = R, E = R. Возрастает на R. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
2) График y = x^6 сдвигаем на 1 единицу влево; вершина (−1; 0), ось симметрии x = −1, через (0; 1), (−2; 1). D = R, E = [0; +∞). Убывает на (−∞; −1], возрастает на [−1; +∞). Ограничена снизу, сверху не ограничена.
3) График y = x^(−2) сдвигаем на 2 единицы влево; вертикальная асимптота x = −2, горизонтальная y = 0; через (−1; 1), (−3; 1), (0; 1/4). D: x ≠ −2, E: y > 0. Возрастает на (−∞; −2), убывает на (−2; +∞). Ограничена снизу (y > 0), сверху не ограничена.
4) График y = x^(−3) сдвигаем на 1 единицу вправо; вертикальная асимптота x = 1, горизонтальная y = 0; через (2; 1), (0; −1). D: x ≠ 1, E: y ≠ 0. Убывает на (−∞; 1) и на (1; +∞). Не ограничена ни сверху, ни снизу.
1) График y = x^7 сдвигаем на 2 единицы вправо; центр симметрии — (2; 0), через (1; −1), (3; 1), (0; −128). D = R, E = R. Возрастает на R. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
2) График y = x^6 сдвигаем на 1 единицу влево; вершина (−1; 0), ось симметрии x = −1, через (0; 1), (−2; 1). D = R, E = [0; +∞). Убывает на (−∞; −1], возрастает на [−1; +∞). Ограничена снизу, сверху не ограничена.
3) График y = x^(−2) сдвигаем на 2 единицы влево; вертикальная асимптота x = −2, горизонтальная y = 0; через (−1; 1), (−3; 1), (0; 1/4). D: x ≠ −2, E: y > 0. Возрастает на (−∞; −2), убывает на (−2; +∞). Ограничена снизу (y > 0), сверху не ограничена.
4) График y = x^(−3) сдвигаем на 1 единицу вправо; вертикальная асимптота x = 1, горизонтальная y = 0; через (2; 1), (0; −1). D: x ≠ 1, E: y ≠ 0. Убывает на (−∞; 1) и на (1; +∞). Не ограничена ни сверху, ни снизу.
128. Пользуясь рисунком 13 (с. 45), найти промежутки, на которых график функции: 1) y = x^(1/5); 2) y = x^(5/3) — лежит выше (ниже) графика функции y = x.
Обе функции с положительным нецелым показателем определены при x ≥ 0, поэтому рассматриваем x > 0 (в точках x = 0 и x = 1 графики пересекаются: значения равны 0 и 1).
1) x^(1/5) > x при x > 0 равносильно (делим на x^(1/5) > 0) 1 > x^(4/5), то есть 0 < x < 1.
Ответ: выше при 0 < x < 1, ниже при x > 1.
2) x^(5/3) > x при x > 0 равносильно (делим на x > 0) x^(2/3) > 1, то есть x > 1.
Ответ: выше при x > 1, ниже при 0 < x < 1.
Оговорка: рис. 13 в учебнике изображает графики степеней x^5 и сдвигов; вывод сделан по свойствам степенной функции с положительным показателем (при p > 1 график лежит выше y = x при x > 1, при 0 < p < 1 — при 0 < x < 1).
1) x^(1/5) > x при x > 0 равносильно (делим на x^(1/5) > 0) 1 > x^(4/5), то есть 0 < x < 1.
Ответ: выше при 0 < x < 1, ниже при x > 1.
2) x^(5/3) > x при x > 0 равносильно (делим на x > 0) x^(2/3) > 1, то есть x > 1.
Ответ: выше при x > 1, ниже при 0 < x < 1.
Оговорка: рис. 13 в учебнике изображает графики степеней x^5 и сдвигов; вывод сделан по свойствам степенной функции с положительным показателем (при p > 1 график лежит выше y = x при x > 1, при 0 < p < 1 — при 0 < x < 1).
129. Построить график функции и указать её область определения, множество значений и промежутки возрастания и убывания; выяснить, является ли функция ограниченной сверху (снизу):
1) y = |x|^(1/3);
2) y = |x|^5;
3) y = |x|³ + 1;
4) y = |x|^(1/5) − 2;
5) y = |x + 2|^(1/3);
6) y = |2x|^(−3).
1) y = |x|^(1/3);
2) y = |x|^5;
3) y = |x|³ + 1;
4) y = |x|^(1/5) − 2;
5) y = |x + 2|^(1/3);
6) y = |2x|^(−3).
Во всех случаях функция чётная относительно соответствующей вертикальной прямой: график при x ≥ 0 строим по известной степенной функции и отражаем относительно оси y (для пункта 5 — относительно прямой x = −2).
1) y = |x|^(1/3): при x ≥ 0 это x^(1/3). D = R, E = [0; +∞). Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0. Ограничена снизу (наименьшее 0 при x = 0), сверху не ограничена.
2) y = |x|^5: D = R, E = [0; +∞). Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0. Ограничена снизу (наименьшее 0 при x = 0), сверху не ограничена.
3) y = |x|³ + 1: график |x|³ поднят на 1 вверх. D = R, E = [1; +∞). Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0. Ограничена снизу (наименьшее 1 при x = 0), сверху не ограничена.
4) y = |x|^(1/5) − 2: график |x|^(1/5) опущен на 2 вниз; вершина (0; −2). D = R, E = [−2; +∞). Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0. Ограничена снизу (наименьшее −2), сверху не ограничена.
5) y = |x + 2|^(1/3): график |x|^(1/3) сдвинут на 2 влево; вершина (−2; 0). D = R, E = [0; +∞). Убывает при x ≤ −2, возрастает при x ≥ −2. Ограничена снизу (наименьшее 0 при x = −2), сверху не ограничена.
6) y = |2x|^(−3) = 1/(8|x|³): D: x ≠ 0, E: y > 0. При x > 0 это функция 1/(8x³), убывающая; при x < 0 она возрастает (график симметричен относительно оси y). Оси — асимптоты. Ограничена снизу (y > 0, наименьшего значения нет), сверху не ограничена.
1) y = |x|^(1/3): при x ≥ 0 это x^(1/3). D = R, E = [0; +∞). Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0. Ограничена снизу (наименьшее 0 при x = 0), сверху не ограничена.
2) y = |x|^5: D = R, E = [0; +∞). Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0. Ограничена снизу (наименьшее 0 при x = 0), сверху не ограничена.
3) y = |x|³ + 1: график |x|³ поднят на 1 вверх. D = R, E = [1; +∞). Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0. Ограничена снизу (наименьшее 1 при x = 0), сверху не ограничена.
4) y = |x|^(1/5) − 2: график |x|^(1/5) опущен на 2 вниз; вершина (0; −2). D = R, E = [−2; +∞). Убывает при x ≤ 0, возрастает при x ≥ 0. Ограничена снизу (наименьшее −2), сверху не ограничена.
5) y = |x + 2|^(1/3): график |x|^(1/3) сдвинут на 2 влево; вершина (−2; 0). D = R, E = [0; +∞). Убывает при x ≤ −2, возрастает при x ≥ −2. Ограничена снизу (наименьшее 0 при x = −2), сверху не ограничена.
6) y = |2x|^(−3) = 1/(8|x|³): D: x ≠ 0, E: y > 0. При x > 0 это функция 1/(8x³), убывающая; при x < 0 она возрастает (график симметричен относительно оси y). Оси — асимптоты. Ограничена снизу (y > 0, наименьшего значения нет), сверху не ограничена.
130. Найти координаты точки пересечения графиков функций:
1) y = корень 5-й степени из x и y = x^(3/5);
2) y = корень 7-й степени из x и y = x^(5/7).
1) y = корень 5-й степени из x и y = x^(3/5);
2) y = корень 7-й степени из x и y = x^(5/7).
Обе функции с положительным нецелым показателем определены при x ≥ 0.
1) Решаем x^(1/5) = x^(3/5), x ≥ 0. Возведём обе части в пятую степень: x = x³, откуда x(x² − 1) = 0, x = 0 или x = 1 (x = −1 не входит в область определения). Значения: y(0) = 0, y(1) = 1.
Ответ: (0; 0), (1; 1).
2) Решаем x^(1/7) = x^(5/7), x ≥ 0. Возведём в седьмую степень: x = x^5, откуда x(x^4 − 1) = 0, x = 0 или x = 1 (x = −1 не подходит, так как x ≥ 0). y(0) = 0, y(1) = 1.
Ответ: (0; 0), (1; 1).
1) Решаем x^(1/5) = x^(3/5), x ≥ 0. Возведём обе части в пятую степень: x = x³, откуда x(x² − 1) = 0, x = 0 или x = 1 (x = −1 не входит в область определения). Значения: y(0) = 0, y(1) = 1.
Ответ: (0; 0), (1; 1).
2) Решаем x^(1/7) = x^(5/7), x ≥ 0. Возведём в седьмую степень: x = x^5, откуда x(x^4 − 1) = 0, x = 0 или x = 1 (x = −1 не подходит, так как x ≥ 0). y(0) = 0, y(1) = 1.
Ответ: (0; 0), (1; 1).