Глава II. § 7. Взаимно обратные функции — с. 53
136. Найти функцию, обратную к данной:
1) y = −x^(1/2);
2) y = −x^(3/5);
3) y = x^(3/2);
4) y = −x^(1/3).
1) y = −x^(1/2);
2) y = −x^(3/5);
3) y = x^(3/2);
4) y = −x^(1/3).
Область определения всех этих функций x ≥ 0 (степень с положительным рациональным показателем). Чтобы найти обратную функцию, выражаем x через y и меняем обозначения.
1) y = −√x. Область значений y ≤ 0. Тогда √x = −y, x = y². Обратная функция: y = x², где x ≤ 0.
2) y = −x^(3/5), y ≤ 0. Тогда x^(3/5) = −y, откуда x = (−y)^(5/3). Обратная функция: y = (−x)^(5/3), где x ≤ 0.
3) y = x^(3/2), y ≥ 0. Тогда x = y^(2/3). Обратная функция: y = x^(2/3), где x ≥ 0.
4) y = −x^(1/3), y ≤ 0. Тогда x^(1/3) = −y, x = −y³. Обратная функция: y = −x³, где x ≤ 0.
Ответ: 1) y = x², x ≤ 0; 2) y = (−x)^(5/3), x ≤ 0; 3) y = x^(2/3), x ≥ 0; 4) y = −x³, x ≤ 0.
1) y = −√x. Область значений y ≤ 0. Тогда √x = −y, x = y². Обратная функция: y = x², где x ≤ 0.
2) y = −x^(3/5), y ≤ 0. Тогда x^(3/5) = −y, откуда x = (−y)^(5/3). Обратная функция: y = (−x)^(5/3), где x ≤ 0.
3) y = x^(3/2), y ≥ 0. Тогда x = y^(2/3). Обратная функция: y = x^(2/3), где x ≥ 0.
4) y = −x^(1/3), y ≤ 0. Тогда x^(1/3) = −y, x = −y³. Обратная функция: y = −x³, где x ≤ 0.
Ответ: 1) y = x², x ≤ 0; 2) y = (−x)^(5/3), x ≤ 0; 3) y = x^(2/3), x ≥ 0; 4) y = −x³, x ≤ 0.
137. На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них:
1) y = 3x − 1;
2) y = (2x − 1)/3;
3) y = x² − 1 при x ≥ 0;
4) y = (x − 1)² при x ≥ 1;
5) y = x³ − 2;
6) y = (x − 1)³;
7) y = √(x − 1);
8) y = √x + 1.
1) y = 3x − 1;
2) y = (2x − 1)/3;
3) y = x² − 1 при x ≥ 0;
4) y = (x − 1)² при x ≥ 1;
5) y = x³ − 2;
6) y = (x − 1)³;
7) y = √(x − 1);
8) y = √x + 1.
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. На рисунке данная функция показана чёрным, обратная красным, пунктир — прямая y = x.
1) y = 3x − 1: D = R, E = R. Из x = (y + 1)/3 обратная функция y = (x + 1)/3; D = R, E = R.
2) y = (2x − 1)/3: D = R, E = R. Из x = (3y + 1)/2 обратная функция y = (3x + 1)/2; D = R, E = R.
3) y = x² − 1, x ≥ 0: D = [0; +∞), E = [−1; +∞). Из x = √(y + 1) обратная функция y = √(x + 1); D = [−1; +∞), E = [0; +∞).
4) y = (x − 1)², x ≥ 1: D = [1; +∞), E = [0; +∞). Так как x − 1 = √y ≥ 0, обратная функция y = 1 + √x; D = [0; +∞), E = [1; +∞).
5) y = x³ − 2: D = R, E = R. Из x = ∛(y + 2) обратная функция y = ∛(x + 2); D = R, E = R.
6) y = (x − 1)³: D = R, E = R. Из x = 1 + ∛y обратная функция y = 1 + ∛x; D = R, E = R.
7) y = √(x − 1): D = [1; +∞), E = [0; +∞). Из x = y² + 1 обратная функция y = x² + 1, x ≥ 0; D = [0; +∞), E = [1; +∞).
8) y = √x + 1: D = [0; +∞), E = [1; +∞). Из √x = y − 1 обратная функция y = (x − 1)², x ≥ 1; D = [1; +∞), E = [0; +∞).
1) y = 3x − 1: D = R, E = R. Из x = (y + 1)/3 обратная функция y = (x + 1)/3; D = R, E = R.
2) y = (2x − 1)/3: D = R, E = R. Из x = (3y + 1)/2 обратная функция y = (3x + 1)/2; D = R, E = R.
3) y = x² − 1, x ≥ 0: D = [0; +∞), E = [−1; +∞). Из x = √(y + 1) обратная функция y = √(x + 1); D = [−1; +∞), E = [0; +∞).
4) y = (x − 1)², x ≥ 1: D = [1; +∞), E = [0; +∞). Так как x − 1 = √y ≥ 0, обратная функция y = 1 + √x; D = [0; +∞), E = [1; +∞).
5) y = x³ − 2: D = R, E = R. Из x = ∛(y + 2) обратная функция y = ∛(x + 2); D = R, E = R.
6) y = (x − 1)³: D = R, E = R. Из x = 1 + ∛y обратная функция y = 1 + ∛x; D = R, E = R.
7) y = √(x − 1): D = [1; +∞), E = [0; +∞). Из x = y² + 1 обратная функция y = x² + 1, x ≥ 0; D = [0; +∞), E = [1; +∞).
8) y = √x + 1: D = [0; +∞), E = [1; +∞). Из √x = y − 1 обратная функция y = (x − 1)², x ≥ 1; D = [1; +∞), E = [0; +∞).