Глава I. § 5. Степень с рациональным и действительным показателями — с. 35
90. Вкладчик вложил в банк 5000 р. под 2% годовых. Сколько денег получит вкладчик через 3 года?
Каждый год сумма умножается на 1,02 (сложные проценты). Через 3 года: 5000 · 1,02³ = 5000 · 1,061208 = 5306,04 р.
Ответ: 5306 р. 4 к.
Ответ: 5306 р. 4 к.
91. Банк начисляет ежегодно 3% от суммы вклада. Сколько денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, если первоначальная сумма вклада составляла 2000 р.?
За 2 полных года (сложные проценты): 2000 · 1,03² = 2000 · 1,0609 = 2121,80 р.
За оставшиеся 7 месяцев начисляется 7/12 годовой ставки: 3% · 7/12 = 1,75%. Сумма: 2121,80 · 1,0175 = 2121,80 + 37,13 = 2158,93 р.
Ответ: примерно 2158 р. 93 к.
Оговорка: в ответах учебника 2158 р. 90 к.; разница в несколько копеек возникает из-за округления доли года.
За оставшиеся 7 месяцев начисляется 7/12 годовой ставки: 3% · 7/12 = 1,75%. Сумма: 2121,80 · 1,0175 = 2121,80 + 37,13 = 2158,93 р.
Ответ: примерно 2158 р. 93 к.
Оговорка: в ответах учебника 2158 р. 90 к.; разница в несколько копеек возникает из-за округления доли года.
92. Вычислить:
1) (0,645 : 0,3 − 1 107/180) · (4 : 6,25 − 1 : 5 + (1/7) · 1,96);
2) (1/2 − 0,375) : 0,125 + (5/6 − 7/12) : (0,358 − 0,108).
1) (0,645 : 0,3 − 1 107/180) · (4 : 6,25 − 1 : 5 + (1/7) · 1,96);
2) (1/2 − 0,375) : 0,125 + (5/6 − 7/12) : (0,358 − 0,108).
1) Первая скобка: 0,645 : 0,3 = 2,15 = 387/180; 1 107/180 = 287/180; разность 100/180 = 5/9. Вторая скобка: 4 : 6,25 = 0,64; 1 : 5 = 0,2; (1/7) · 1,96 = 0,28; 0,64 − 0,2 + 0,28 = 0,72. Произведение: (5/9) · 0,72 = 0,4.
2) (1/2 − 0,375) : 0,125 = 0,125 : 0,125 = 1. 5/6 − 7/12 = 10/12 − 7/12 = 1/4 = 0,25; 0,358 − 0,108 = 0,25; частное 1. Сумма 1 + 1 = 2.
Ответ: 1) 0,4; 2) 2.
2) (1/2 − 0,375) : 0,125 = 0,125 : 0,125 = 1. 5/6 − 7/12 = 10/12 − 7/12 = 1/4 = 0,25; 0,358 − 0,108 = 0,25; частное 1. Сумма 1 + 1 = 2.
Ответ: 1) 0,4; 2) 2.
93. Представить в виде обыкновенной дроби:
1) 1,3(1);
2) 2,3(2);
3) 0,(248);
4) 0,(34).
1) 1,3(1);
2) 2,3(2);
3) 0,(248);
4) 0,(34).
Периодическую дробь записываем так: (число до конца второго периода − число до начала периода) / (9…90…0): столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом.
1) 1,3(1) = (131 − 13)/90 = 118/90 = 59/45 = 1 14/45.
2) 2,3(2) = (232 − 23)/90 = 209/90 = 2 29/90.
3) 0,(248) = 248/999.
4) 0,(34) = 34/99.
Ответ: 1) 59/45; 2) 209/90; 3) 248/999; 4) 34/99.
1) 1,3(1) = (131 − 13)/90 = 118/90 = 59/45 = 1 14/45.
2) 2,3(2) = (232 − 23)/90 = 209/90 = 2 29/90.
3) 0,(248) = 248/999.
4) 0,(34) = 34/99.
Ответ: 1) 59/45; 2) 209/90; 3) 248/999; 4) 34/99.
94. Вычислить:
1) 48⁰, 10^(−2), (2/3)^(−1), (0,3)^(−3), (−1,2)^(−2), (2 1/4)^(−2);
2) ∛27, корень 4-й степени из 81, корень 5-й степени из 32, корень 6-й степени из 8², корень 8-й степени из 16², ∛(27²);
3) 8^(1/3), 27^(2/3), 10 000^(1/4), 32^(2/5), 32^(−3/5), (27/64)^(2/3).
1) 48⁰, 10^(−2), (2/3)^(−1), (0,3)^(−3), (−1,2)^(−2), (2 1/4)^(−2);
2) ∛27, корень 4-й степени из 81, корень 5-й степени из 32, корень 6-й степени из 8², корень 8-й степени из 16², ∛(27²);
3) 8^(1/3), 27^(2/3), 10 000^(1/4), 32^(2/5), 32^(−3/5), (27/64)^(2/3).
1) 48⁰ = 1; 10^(−2) = 0,01; (2/3)^(−1) = 3/2 = 1,5; (0,3)^(−3) = (10/3)³ = 1000/27 = 37 1/27; (−1,2)^(−2) = (5/6)² = 25/36; (2 1/4)^(−2) = (9/4)^(−2) = (4/9)² = 16/81.
2) ∛27 = 3; корень 4-й степени из 81 = 3; корень 5-й степени из 32 = 2; корень 6-й степени из 8² = 8^(1/3) = 2; корень 8-й степени из 16² = 16^(1/4) = 2; ∛(27²) = 9.
3) 8^(1/3) = 2; 27^(2/3) = 9; 10 000^(1/4) = 10; 32^(2/5) = 2² = 4; 32^(−3/5) = 2^(−3) = 1/8; (27/64)^(2/3) = (3/4)² = 9/16.
Ответ: 1) 1; 0,01; 1,5; 37 1/27; 25/36; 16/81. 2) 3; 3; 2; 2; 2; 9. 3) 2; 9; 10; 4; 1/8; 9/16.
2) ∛27 = 3; корень 4-й степени из 81 = 3; корень 5-й степени из 32 = 2; корень 6-й степени из 8² = 8^(1/3) = 2; корень 8-й степени из 16² = 16^(1/4) = 2; ∛(27²) = 9.
3) 8^(1/3) = 2; 27^(2/3) = 9; 10 000^(1/4) = 10; 32^(2/5) = 2² = 4; 32^(−3/5) = 2^(−3) = 1/8; (27/64)^(2/3) = (3/4)² = 9/16.
Ответ: 1) 1; 0,01; 1,5; 37 1/27; 25/36; 16/81. 2) 3; 3; 2; 2; 2; 9. 3) 2; 9; 10; 4; 1/8; 9/16.
95. Вычислить:
1) ∛(5³ · 7³), корень 4-й степени из 324 · корень 4-й степени из 4, корень 4-й степени из (15 5/8) : корень 4-й степени из (2/5);
2) 56⁰ : 8^(−2), 16^(1/4) · 25^(1/2), (1/15)^(−1) : 9^(1/2), 8^(1/3) · (1/2)^4 : 16^(−1);
3) 5^(1/4) · 5^(−1/4) / 5², 7^(7/3) · 7^(−4/3) / 7², 0,3^(0,3) · 0,3^(−1) / 0,3^(1,3).
1) ∛(5³ · 7³), корень 4-й степени из 324 · корень 4-й степени из 4, корень 4-й степени из (15 5/8) : корень 4-й степени из (2/5);
2) 56⁰ : 8^(−2), 16^(1/4) · 25^(1/2), (1/15)^(−1) : 9^(1/2), 8^(1/3) · (1/2)^4 : 16^(−1);
3) 5^(1/4) · 5^(−1/4) / 5², 7^(7/3) · 7^(−4/3) / 7², 0,3^(0,3) · 0,3^(−1) / 0,3^(1,3).
1) ∛(5³ · 7³) = 5 · 7 = 35. Корень 4-й степени из 324 · корень 4-й степени из 4 = корень 4-й степени из 1296 = 6 (6^4 = 1296). 15 5/8 = 125/8; (125/8) : (2/5) = 625/16; корень 4-й степени из (625/16) = 5/2.
2) 56⁰ : 8^(−2) = 1 · 64 = 64. 16^(1/4) · 25^(1/2) = 2 · 5 = 10. (1/15)^(−1) : 9^(1/2) = 15 : 3 = 5. 8^(1/3) · (1/2)^4 : 16^(−1) = 2 · (1/16) · 16 = 2.
3) 5^(1/4 − 1/4)/5² = 1/25. 7^(7/3 − 4/3)/7² = 7/49 = 1/7. 0,3^(0,3 − 1 − 1,3) = 0,3^(−2) = 100/9 = 11 1/9.
Ответ: 1) 35; 6; 5/2. 2) 64; 10; 5; 2. 3) 1/25; 1/7; 11 1/9.
2) 56⁰ : 8^(−2) = 1 · 64 = 64. 16^(1/4) · 25^(1/2) = 2 · 5 = 10. (1/15)^(−1) : 9^(1/2) = 15 : 3 = 5. 8^(1/3) · (1/2)^4 : 16^(−1) = 2 · (1/16) · 16 = 2.
3) 5^(1/4 − 1/4)/5² = 1/25. 7^(7/3 − 4/3)/7² = 7/49 = 1/7. 0,3^(0,3 − 1 − 1,3) = 0,3^(−2) = 100/9 = 11 1/9.
Ответ: 1) 35; 6; 5/2. 2) 64; 10; 5; 2. 3) 1/25; 1/7; 11 1/9.
96. Вычислить (96—97):
1) 3/4 − (2/3)^(−1);
2) ((1/27) · 125^(−1))^(−1/3);
3) 27^(2/3) + 9^(−1);
4) (0,01)^(−2) : 100^(−1/2);
5) (64/81)^(−1/2) · (8/5)^(−1);
6) (2 10/27)^(−2/3) · (3/4)².
1) 3/4 − (2/3)^(−1);
2) ((1/27) · 125^(−1))^(−1/3);
3) 27^(2/3) + 9^(−1);
4) (0,01)^(−2) : 100^(−1/2);
5) (64/81)^(−1/2) · (8/5)^(−1);
6) (2 10/27)^(−2/3) · (3/4)².
1) (2/3)^(−1) = 3/2; 3/4 − 3/2 = −3/4.
2) (1/27) · 125^(−1) = 1/3375, значит выражение равно 3375^(1/3) = 15.
3) 27^(2/3) = 9; 9^(−1) = 1/9; сумма 9 1/9.
4) (0,01)^(−2) = 10 000; 100^(−1/2) = 1/10; 10 000 : (1/10) = 100 000.
5) (64/81)^(−1/2) = 9/8; (8/5)^(−1) = 5/8; произведение 45/64.
6) 2 10/27 = 64/27; (64/27)^(−2/3) = (27/64)^(2/3) = 9/16; 9/16 · 9/16 = 81/256.
Ответ: 1) −3/4; 2) 15; 3) 9 1/9; 4) 100 000; 5) 45/64; 6) 81/256.
Оговорка: в ответах учебника для пункта 4 напечатано 1000; по условию (0,01)^(−2) : 100^(−1/2) = 10^4 · 10 = 100 000.
2) (1/27) · 125^(−1) = 1/3375, значит выражение равно 3375^(1/3) = 15.
3) 27^(2/3) = 9; 9^(−1) = 1/9; сумма 9 1/9.
4) (0,01)^(−2) = 10 000; 100^(−1/2) = 1/10; 10 000 : (1/10) = 100 000.
5) (64/81)^(−1/2) = 9/8; (8/5)^(−1) = 5/8; произведение 45/64.
6) 2 10/27 = 64/27; (64/27)^(−2/3) = (27/64)^(2/3) = 9/16; 9/16 · 9/16 = 81/256.
Ответ: 1) −3/4; 2) 15; 3) 9 1/9; 4) 100 000; 5) 45/64; 6) 81/256.
Оговорка: в ответах учебника для пункта 4 напечатано 1000; по условию (0,01)^(−2) : 100^(−1/2) = 10^4 · 10 = 100 000.