Глава I. § 5. Степень с рациональным и действительным показателями — с. 33
74. Упростить выражение:
1) a^√2 · a^(1 − √2);
2) a^(√3 − 1) · a^(√3 + 1);
3) (b^√3)^√3 : b².
1) a^√2 · a^(1 − √2);
2) a^(√3 − 1) · a^(√3 + 1);
3) (b^√3)^√3 : b².
Свойства степени с действительным показателем: a^p · a^q = a^(p+q), (a^p)^q = a^(pq), a^p : a^q = a^(p−q) (a > 0, b > 0).
1) a^√2 · a^(1 − √2) = a^(√2 + 1 − √2) = a^1 = a.
2) a^(√3 − 1) · a^(√3 + 1) = a^(√3 − 1 + √3 + 1) = a^(2√3).
3) (b^√3)^√3 : b² = b^(√3·√3) : b² = b³ : b² = b.
Ответ: 1) a; 2) a^(2√3); 3) b.
1) a^√2 · a^(1 − √2) = a^(√2 + 1 − √2) = a^1 = a.
2) a^(√3 − 1) · a^(√3 + 1) = a^(√3 − 1 + √3 + 1) = a^(2√3).
3) (b^√3)^√3 : b² = b^(√3·√3) : b² = b³ : b² = b.
Ответ: 1) a; 2) a^(2√3); 3) b.
75. Сравнить числа:
1) ∛2 и ∛3;
2) корень 4-й степени из 5 и корень 4-й степени из 7.
1) ∛2 и ∛3;
2) корень 4-й степени из 5 и корень 4-й степени из 7.
Корень n-й степени из положительного числа возрастает вместе с подкоренным числом.
1) 2 < 3, поэтому ∛2 < ∛3.
2) 5 < 7, поэтому корень 4-й степени из 5 меньше корня 4-й степени из 7.
Ответ: 1) ∛2 < ∛3; 2) корень 4-й степени из 5 < корня 4-й степени из 7.
1) 2 < 3, поэтому ∛2 < ∛3.
2) 5 < 7, поэтому корень 4-й степени из 5 меньше корня 4-й степени из 7.
Ответ: 1) ∛2 < ∛3; 2) корень 4-й степени из 5 < корня 4-й степени из 7.
76. Вычислить:
1) (1/16)^(−0,75) + 810 000^(0,25) − (7 19/32)^(1/5);
2) 27^(2/3) − (−2)^(−2) + (3 3/8)^(−1/3);
3) (0,001)^(−1/3) − 2^(−2) · 64^(2/3) − 8^(−1 1/3);
4) (−0,5)^(−4) − 625^(0,25) − (2 1/4)^(−1 1/2).
1) (1/16)^(−0,75) + 810 000^(0,25) − (7 19/32)^(1/5);
2) 27^(2/3) − (−2)^(−2) + (3 3/8)^(−1/3);
3) (0,001)^(−1/3) − 2^(−2) · 64^(2/3) − 8^(−1 1/3);
4) (−0,5)^(−4) − 625^(0,25) − (2 1/4)^(−1 1/2).
1) (1/16)^(−0,75) = 16^(3/4) = (2^4)^(3/4) = 2³ = 8; 810 000^(0,25) = (30^4)^(1/4) = 30; 7 19/32 = 243/32 = (3/2)^5, поэтому (243/32)^(1/5) = 3/2. Получаем 8 + 30 − 3/2 = 36,5.
2) 27^(2/3) = (3³)^(2/3) = 9; (−2)^(−2) = 1/4; 3 3/8 = 27/8, (27/8)^(−1/3) = (8/27)^(1/3) = 2/3. Получаем 9 − 1/4 + 2/3 = (108 − 3 + 8)/12 = 113/12 = 9 5/12.
3) (0,001)^(−1/3) = (10^(−3))^(−1/3) = 10; 2^(−2) · 64^(2/3) = (1/4) · 16 = 4; 8^(−1 1/3) = 8^(−4/3) = 2^(−4) = 1/16. Получаем 10 − 4 − 1/16 = 5 15/16.
4) (−0,5)^(−4) = (−2)^4 = 16; 625^(0,25) = 5; 2 1/4 = 9/4, (9/4)^(−3/2) = (4/9)^(3/2) = 8/27. Получаем 16 − 5 − 8/27 = 11 − 8/27 = 10 19/27.
Ответ: 1) 36,5; 2) 9 5/12; 3) 5 15/16; 4) 10 19/27.
2) 27^(2/3) = (3³)^(2/3) = 9; (−2)^(−2) = 1/4; 3 3/8 = 27/8, (27/8)^(−1/3) = (8/27)^(1/3) = 2/3. Получаем 9 − 1/4 + 2/3 = (108 − 3 + 8)/12 = 113/12 = 9 5/12.
3) (0,001)^(−1/3) = (10^(−3))^(−1/3) = 10; 2^(−2) · 64^(2/3) = (1/4) · 16 = 4; 8^(−1 1/3) = 8^(−4/3) = 2^(−4) = 1/16. Получаем 10 − 4 − 1/16 = 5 15/16.
4) (−0,5)^(−4) = (−2)^4 = 16; 625^(0,25) = 5; 2 1/4 = 9/4, (9/4)^(−3/2) = (4/9)^(3/2) = 8/27. Получаем 16 − 5 − 8/27 = 11 − 8/27 = 10 19/27.
Ответ: 1) 36,5; 2) 9 5/12; 3) 5 15/16; 4) 10 19/27.
77. Упростить выражение:
1) (a^4)^(−3/4) · (b^(−2/3))^(−6);
2) (((a^6 / b^(−3))^4))^(1/12).
1) (a^4)^(−3/4) · (b^(−2/3))^(−6);
2) (((a^6 / b^(−3))^4))^(1/12).
Считаем, что a > 0, b > 0.
1) (a^4)^(−3/4) = a^(−3); (b^(−2/3))^(−6) = b^4. Итого a^(−3) · b^4 = b^4 / a³.
2) a^6 / b^(−3) = a^6 · b³; возводим в 4-ю степень: a^24 · b^12; затем в степень 1/12: a^2 · b.
Ответ: 1) b^4/a³; 2) a²b.
1) (a^4)^(−3/4) = a^(−3); (b^(−2/3))^(−6) = b^4. Итого a^(−3) · b^4 = b^4 / a³.
2) a^6 / b^(−3) = a^6 · b³; возводим в 4-ю степень: a^24 · b^12; затем в степень 1/12: a^2 · b.
Ответ: 1) b^4/a³; 2) a²b.
78. Упростить выражение:
1) a^(4/3) · (a^(−1/3) + a^(2/3)) / (a^(1/4) · (a^(3/4) + a^(−1/4)));
2) b^(1/5) · (корень 5-й степени из b^4 − корень 5-й степени из b^(−1)) / (b^(2/3) · (∛b − ∛(b^(−2))));
3) (a^(5/3) · b^(−1) − a^(−1/3)) / ∛(a²);
4) (a^(1/3) · √b + b^(1/3) · √a) / (корень 6-й степени из a + корень 6-й степени из b).
1) a^(4/3) · (a^(−1/3) + a^(2/3)) / (a^(1/4) · (a^(3/4) + a^(−1/4)));
2) b^(1/5) · (корень 5-й степени из b^4 − корень 5-й степени из b^(−1)) / (b^(2/3) · (∛b − ∛(b^(−2))));
3) (a^(5/3) · b^(−1) − a^(−1/3)) / ∛(a²);
4) (a^(1/3) · √b + b^(1/3) · √a) / (корень 6-й степени из a + корень 6-й степени из b).
Везде a > 0, b > 0, знаменатели не равны нулю.
1) Числитель: a^(4/3) · a^(−1/3) · (1 + a) = a(1 + a). Знаменатель: a^(1/4) · a^(−1/4) · (a + 1) = a + 1. Дробь равна a.
2) Числитель: b^(1/5) · (b^(4/5) − b^(−1/5)) = b − 1. Знаменатель: b^(2/3) · (b^(1/3) − b^(−2/3)) = b − 1. Дробь равна 1 (при b ≠ 1).
3) Выносим a^(−1/3): числитель равен a^(−1/3) · (a² / b − 1) = a^(−1/3) · (a² − b)/b. Делим на ∛(a²) = a^(2/3): a^(−1/3 − 2/3) · (a² − b)/b = (a² − b)/(ab).
4) Числитель: a^(1/3) · b^(1/2) + b^(1/3) · a^(1/2) = a^(1/3) b^(1/3) · (b^(1/6) + a^(1/6)). Сокращаем на (a^(1/6) + b^(1/6)); остаётся a^(1/3) · b^(1/3) = ∛(ab).
Ответ: 1) a; 2) 1; 3. (a² − b)/(ab); 4) ∛(ab).
1) Числитель: a^(4/3) · a^(−1/3) · (1 + a) = a(1 + a). Знаменатель: a^(1/4) · a^(−1/4) · (a + 1) = a + 1. Дробь равна a.
2) Числитель: b^(1/5) · (b^(4/5) − b^(−1/5)) = b − 1. Знаменатель: b^(2/3) · (b^(1/3) − b^(−2/3)) = b − 1. Дробь равна 1 (при b ≠ 1).
3) Выносим a^(−1/3): числитель равен a^(−1/3) · (a² / b − 1) = a^(−1/3) · (a² − b)/b. Делим на ∛(a²) = a^(2/3): a^(−1/3 − 2/3) · (a² − b)/b = (a² − b)/(ab).
4) Числитель: a^(1/3) · b^(1/2) + b^(1/3) · a^(1/2) = a^(1/3) b^(1/3) · (b^(1/6) + a^(1/6)). Сокращаем на (a^(1/6) + b^(1/6)); остаётся a^(1/3) · b^(1/3) = ∛(ab).
Ответ: 1) a; 2) 1; 3. (a² − b)/(ab); 4) ∛(ab).
79. Вычислить:
1) (2^(5/3) · 3^(−1/3) − 3^(5/3) · 2^(−1/3)) · ∛6;
2) (5^(1/4) : 2^(3/4) − 2^(1/4) : 5^(3/4)) · корень 4-й степени из 1000.
1) (2^(5/3) · 3^(−1/3) − 3^(5/3) · 2^(−1/3)) · ∛6;
2) (5^(1/4) : 2^(3/4) − 2^(1/4) : 5^(3/4)) · корень 4-й степени из 1000.
1) ∛6 = 2^(1/3) · 3^(1/3). Первое слагаемое: 2^(5/3 + 1/3) · 3^(−1/3 + 1/3) = 2² = 4. Второе: 3^(5/3 + 1/3) · 2^(−1/3 + 1/3) = 3² = 9. Результат 4 − 9 = −5.
2) Корень 4-й степени из 1000 = 10^(3/4) = 2^(3/4) · 5^(3/4). Первое слагаемое: 5^(1/4) · 2^(−3/4) · 2^(3/4) · 5^(3/4) = 5. Второе: 2^(1/4) · 5^(−3/4) · 2^(3/4) · 5^(3/4) = 2. Результат 5 − 2 = 3.
Ответ: 1) −5; 2) 3.
2) Корень 4-й степени из 1000 = 10^(3/4) = 2^(3/4) · 5^(3/4). Первое слагаемое: 5^(1/4) · 2^(−3/4) · 2^(3/4) · 5^(3/4) = 5. Второе: 2^(1/4) · 5^(−3/4) · 2^(3/4) · 5^(3/4) = 2. Результат 5 − 2 = 3.
Ответ: 1) −5; 2) 3.
80. Упростить выражение (80—83):
1) a^(1/9) · корень 6-й степени из (a · ∛a);
2) b^(1/12) · ∛(b · корень 4-й степени из b);
3) (∛(ab^(−2)) + (ab)^(−1/6)) · корень 6-й степени из (ab^4);
4) (∛a + ∛b)(a^(2/3) + b^(2/3) − ∛(ab)).
1) a^(1/9) · корень 6-й степени из (a · ∛a);
2) b^(1/12) · ∛(b · корень 4-й степени из b);
3) (∛(ab^(−2)) + (ab)^(−1/6)) · корень 6-й степени из (ab^4);
4) (∛a + ∛b)(a^(2/3) + b^(2/3) − ∛(ab)).
Считаем a > 0, b > 0.
1) a · ∛a = a^(4/3); корень 6-й степени: a^(4/18) = a^(2/9). Тогда a^(1/9) · a^(2/9) = a^(3/9) = a^(1/3) = ∛a.
2) b · b^(1/4) = b^(5/4); кубический корень: b^(5/12). Тогда b^(1/12 + 5/12) = b^(1/2) = √b.
3) ∛(ab^(−2)) = a^(1/3) b^(−2/3); корень 6-й степени из (ab^4) = a^(1/6) b^(2/3). Умножаем: a^(1/3) b^(−2/3) · a^(1/6) b^(2/3) = a^(1/2); (ab)^(−1/6) · a^(1/6) b^(2/3) = b^(−1/6 + 2/3) = b^(1/2). Сумма √a + √b.
4) Пусть u = ∛a, v = ∛b; тогда выражение (u + v)(u² − uv + v²) = u³ + v³ = a + b.
Ответ: 1) ∛a; 2) √b; 3) √a + √b; 4) a + b.
1) a · ∛a = a^(4/3); корень 6-й степени: a^(4/18) = a^(2/9). Тогда a^(1/9) · a^(2/9) = a^(3/9) = a^(1/3) = ∛a.
2) b · b^(1/4) = b^(5/4); кубический корень: b^(5/12). Тогда b^(1/12 + 5/12) = b^(1/2) = √b.
3) ∛(ab^(−2)) = a^(1/3) b^(−2/3); корень 6-й степени из (ab^4) = a^(1/6) b^(2/3). Умножаем: a^(1/3) b^(−2/3) · a^(1/6) b^(2/3) = a^(1/2); (ab)^(−1/6) · a^(1/6) b^(2/3) = b^(−1/6 + 2/3) = b^(1/2). Сумма √a + √b.
4) Пусть u = ∛a, v = ∛b; тогда выражение (u + v)(u² − uv + v²) = u³ + v³ = a + b.
Ответ: 1) ∛a; 2) √b; 3) √a + √b; 4) a + b.
81. Упростить выражение:
1) (1 − 2·√(b/a) + b/a) : (a^(1/2) − b^(1/2))²;
2) (a^(1/3) + b^(1/3)) : (2 + ∛(a/b) + ∛(b/a));
3) (a^(1/4) − a^(9/4))/(a^(1/4) − a^(5/4)) − (b^(−1/2) − b^(3/2))/(b^(1/2) + b^(−1/2));
4) (√a − a^(−1/2)·b)/(1 − √(a^(−1)·b)) − (∛(a²) − a^(−1/3)·b)/(корень 6-й степени из a + a^(−1/3)·√b).
1) (1 − 2·√(b/a) + b/a) : (a^(1/2) − b^(1/2))²;
2) (a^(1/3) + b^(1/3)) : (2 + ∛(a/b) + ∛(b/a));
3) (a^(1/4) − a^(9/4))/(a^(1/4) − a^(5/4)) − (b^(−1/2) − b^(3/2))/(b^(1/2) + b^(−1/2));
4) (√a − a^(−1/2)·b)/(1 − √(a^(−1)·b)) − (∛(a²) − a^(−1/3)·b)/(корень 6-й степени из a + a^(−1/3)·√b).
Считаем a > 0, b > 0, знаменатели не равны нулю.
1) 1 − 2√(b/a) + b/a = (1 − √(b/a))² = ((√a − √b)/√a)² = (√a − √b)²/a. Делим на (√a − √b)²: результат 1/a.
2) Пусть u = ∛a, v = ∛b. Тогда 2 + u/v + v/u = (u + v)²/(uv). Выражение: (u + v) · uv/(u + v)² = uv/(u + v) = ∛(ab)/(∛a + ∛b).
3) Первая дробь: a^(1/4)(1 − a²) / (a^(1/4)(1 − a)) = 1 + a. Вторая: b^(−1/2)(1 − b²) / (b^(−1/2)(b + 1)) = 1 − b. Разность: 1 + a − 1 + b = a + b.
4) Первая дробь: числитель a^(−1/2)(a − b), знаменатель a^(−1/2)(√a − √b); дробь равна (a − b)/(√a − √b) = √a + √b. Вторая: числитель a^(−1/3)(a − b), знаменатель a^(−1/3)(√a + √b) (так как a^(1/6) = a^(−1/3) · a^(1/2)); дробь равна √a − √b. Разность: (√a + √b) − (√a − √b) = 2√b.
Ответ: 1) 1/a; 2) ∛(ab)/(∛a + ∛b); 3) a + b; 4) 2√b.
1) 1 − 2√(b/a) + b/a = (1 − √(b/a))² = ((√a − √b)/√a)² = (√a − √b)²/a. Делим на (√a − √b)²: результат 1/a.
2) Пусть u = ∛a, v = ∛b. Тогда 2 + u/v + v/u = (u + v)²/(uv). Выражение: (u + v) · uv/(u + v)² = uv/(u + v) = ∛(ab)/(∛a + ∛b).
3) Первая дробь: a^(1/4)(1 − a²) / (a^(1/4)(1 − a)) = 1 + a. Вторая: b^(−1/2)(1 − b²) / (b^(−1/2)(b + 1)) = 1 − b. Разность: 1 + a − 1 + b = a + b.
4) Первая дробь: числитель a^(−1/2)(a − b), знаменатель a^(−1/2)(√a − √b); дробь равна (a − b)/(√a − √b) = √a + √b. Вторая: числитель a^(−1/3)(a − b), знаменатель a^(−1/3)(√a + √b) (так как a^(1/6) = a^(−1/3) · a^(1/2)); дробь равна √a − √b. Разность: (√a + √b) − (√a − √b) = 2√b.
Ответ: 1) 1/a; 2) ∛(ab)/(∛a + ∛b); 3) a + b; 4) 2√b.
82. Упростить выражение:
1) m^√3 · n^√3 / (mn)^(2 + √3);
2) x^√7 · y^(√7 + 1) / (xy)^√7;
3) (a^√2 − b^√3)(a^√2 + b^√3);
4) (2a^(−0,5) − (1/3)·b^(−√3))((1/3)·b^(−√3) + 2a^(−0,5)).
1) m^√3 · n^√3 / (mn)^(2 + √3);
2) x^√7 · y^(√7 + 1) / (xy)^√7;
3) (a^√2 − b^√3)(a^√2 + b^√3);
4) (2a^(−0,5) − (1/3)·b^(−√3))((1/3)·b^(−√3) + 2a^(−0,5)).
Считаем все переменные положительными.
1) m^√3 n^√3 = (mn)^√3, поэтому дробь равна (mn)^(√3 − 2 − √3) = (mn)^(−2) = 1/(m²n²).
2) x^√7 · y^√7 · y / (x^√7 · y^√7) = y.
3) Разность квадратов: (a^√2)² − (b^√3)² = a^(2√2) − b^(2√3).
4) Разность квадратов: (2a^(−0,5))² − ((1/3)·b^(−√3))² = 4a^(−1) − (1/9)·b^(−2√3).
Ответ: 1) 1/(m²n²); 2) y; 3) a^(2√2) − b^(2√3); 4) 4a^(−1) − (1/9)·b^(−2√3).
1) m^√3 n^√3 = (mn)^√3, поэтому дробь равна (mn)^(√3 − 2 − √3) = (mn)^(−2) = 1/(m²n²).
2) x^√7 · y^√7 · y / (x^√7 · y^√7) = y.
3) Разность квадратов: (a^√2)² − (b^√3)² = a^(2√2) − b^(2√3).
4) Разность квадратов: (2a^(−0,5))² − ((1/3)·b^(−√3))² = 4a^(−1) − (1/9)·b^(−2√3).
Ответ: 1) 1/(m²n²); 2) y; 3) a^(2√2) − b^(2√3); 4) 4a^(−1) − (1/9)·b^(−2√3).