Глава I. § 5. Степень с рациональным и действительным показателями — с. 31
55. (Устно.) Представить в виде степени с рациональным показателем:
1) √(x³); 2) ∛(a⁴); 3) корень 4-й степени из (b³); 4) корень 5-й степени из (x^(−1)); 5) корень 6-й степени из a; 6) корень 7-й степени из (b^(−3)).
1) √(x³); 2) ∛(a⁴); 3) корень 4-й степени из (b³); 4) корень 5-й степени из (x^(−1)); 5) корень 6-й степени из a; 6) корень 7-й степени из (b^(−3)).
По формуле корень n-й степени из (a^m) = a^(m/n) (a > 0):
1) x^(3/2).
2) a^(4/3).
3) b^(3/4).
4) x^(−1/5).
5) a^(1/6).
6) b^(−3/7).
1) x^(3/2).
2) a^(4/3).
3) b^(3/4).
4) x^(−1/5).
5) a^(1/6).
6) b^(−3/7).
56. (Устно.) Представить в виде корня из степени с целым показателем:
1) x^(1/4); 2) y^(2/5); 3) a^(−5/6); 4) b^(−1/3); 5. (2x)^(1/2); 6. (3b)^(−2/3).
1) x^(1/4); 2) y^(2/5); 3) a^(−5/6); 4) b^(−1/3); 5. (2x)^(1/2); 6. (3b)^(−2/3).
По формуле a^(m/n) = корень n-й степени из (a^m):
1) корень 4-й степени из x.
2) корень 5-й степени из (y²).
3) корень 6-й степени из (a^(−5)).
4) ∛(b^(−1)).
5) √(2x).
6) ∛((3b)^(−2)).
1) корень 4-й степени из x.
2) корень 5-й степени из (y²).
3) корень 6-й степени из (a^(−5)).
4) ∛(b^(−1)).
5) √(2x).
6) ∛((3b)^(−2)).
57. Вычислить:
1) 64^(1/2); 2) 27^(1/3); 3) 8^(2/3); 4) 81^(3/4); 5) 16^(−0,75); 6) 9^(−1,5).
1) 64^(1/2); 2) 27^(1/3); 3) 8^(2/3); 4) 81^(3/4); 5) 16^(−0,75); 6) 9^(−1,5).
1) 64^(1/2) = √64 = 8.
2) 27^(1/3) = ∛27 = 3.
3) 8^(2/3) = (2³)^(2/3) = 2² = 4.
4) 81^(3/4) = (3^4)^(3/4) = 3³ = 27.
5) 16^(−0,75) = (2^4)^(−3/4) = 2^(−3) = 1/8.
6) 9^(−1,5) = (3²)^(−3/2) = 3^(−3) = 1/27.
2) 27^(1/3) = ∛27 = 3.
3) 8^(2/3) = (2³)^(2/3) = 2² = 4.
4) 81^(3/4) = (3^4)^(3/4) = 3³ = 27.
5) 16^(−0,75) = (2^4)^(−3/4) = 2^(−3) = 1/8.
6) 9^(−1,5) = (3²)^(−3/2) = 3^(−3) = 1/27.
58. Вычислить:
1) 2^(4/5) · 2^(11/5); 2) 5^(2/7) · 5^(5/7); 3) 9^(2/3) : 9^(1/6); 4) 4^(1/3) : 4^(5/6); 5. (8^(1/12))^(−4).
1) 2^(4/5) · 2^(11/5); 2) 5^(2/7) · 5^(5/7); 3) 9^(2/3) : 9^(1/6); 4) 4^(1/3) : 4^(5/6); 5. (8^(1/12))^(−4).
Применяем свойства степени с рациональным показателем.
1) 2^(4/5 + 11/5) = 2^3 = 8.
2) 5^(2/7 + 5/7) = 5^1 = 5.
3) 9^(2/3 − 1/6) = 9^(1/2) = 3.
4) 4^(1/3 − 5/6) = 4^(−1/2) = 1/2.
5) 8^(−4/12) = 8^(−1/3) = (2³)^(−1/3) = 2^(−1) = 1/2.
1) 2^(4/5 + 11/5) = 2^3 = 8.
2) 5^(2/7 + 5/7) = 5^1 = 5.
3) 9^(2/3 − 1/6) = 9^(1/2) = 3.
4) 4^(1/3 − 5/6) = 4^(−1/2) = 1/2.
5) 8^(−4/12) = 8^(−1/3) = (2³)^(−1/3) = 2^(−1) = 1/2.
59. Вычислить:
1) 9^(2/5) · 27^(2/5); 2) 7^(2/3) · 49^(2/3); 3) 144^(3/4) : 9^(3/4); 4) 150^(3/2) : 6^(3/2).
1) 9^(2/5) · 27^(2/5); 2) 7^(2/3) · 49^(2/3); 3) 144^(3/4) : 9^(3/4); 4) 150^(3/2) : 6^(3/2).
Используем (ab)^p = a^p b^p и (a/b)^p = a^p/b^p.
1) (9 · 27)^(2/5) = 243^(2/5) = (3^5)^(2/5) = 3² = 9.
2) (7 · 49)^(2/3) = 343^(2/3) = (7³)^(2/3) = 7² = 49.
3) (144 : 9)^(3/4) = 16^(3/4) = (2^4)^(3/4) = 2³ = 8.
4) (150 : 6)^(3/2) = 25^(3/2) = (5²)^(3/2) = 5³ = 125.
1) (9 · 27)^(2/5) = 243^(2/5) = (3^5)^(2/5) = 3² = 9.
2) (7 · 49)^(2/3) = 343^(2/3) = (7³)^(2/3) = 7² = 49.
3) (144 : 9)^(3/4) = 16^(3/4) = (2^4)^(3/4) = 2³ = 8.
4) (150 : 6)^(3/2) = 25^(3/2) = (5²)^(3/2) = 5³ = 125.
60. Вычислить:
1) (1/16)^(−0,75) + (1/8)^(−4/3);
2) (0,04)^(−1,5) − (0,125)^(−2/3);
3) 8^(9/7) : 8^(2/7) − 3^(6/5) · 3^(4/5);
4) (5^(−2/5))^(−5) + ((0,2)^(3/4))^(−4).
1) (1/16)^(−0,75) + (1/8)^(−4/3);
2) (0,04)^(−1,5) − (0,125)^(−2/3);
3) 8^(9/7) : 8^(2/7) − 3^(6/5) · 3^(4/5);
4) (5^(−2/5))^(−5) + ((0,2)^(3/4))^(−4).
1) (1/16)^(−3/4) = 16^(3/4) = 2³ = 8; (1/8)^(−4/3) = 8^(4/3) = 2^4 = 16. Сумма: 8 + 16 = 24.
Ответ: 24.
2) (0,04)^(−3/2) = (0,2²)^(−3/2) = 0,2^(−3) = 5³ = 125; (0,125)^(−2/3) = (1/8)^(−2/3) = 8^(2/3) = 4. Разность: 125 − 4 = 121.
Ответ: 121.
3) 8^(9/7 − 2/7) = 8^1 = 8; 3^(6/5 + 4/5) = 3² = 9. Разность: 8 − 9 = −1.
Ответ: −1.
4) (5^(−2/5))^(−5) = 5² = 25; ((0,2)^(3/4))^(−4) = (0,2)^(−3) = 5³ = 125. Сумма: 25 + 125 = 150.
Ответ: 150.
Ответ: 24.
2) (0,04)^(−3/2) = (0,2²)^(−3/2) = 0,2^(−3) = 5³ = 125; (0,125)^(−2/3) = (1/8)^(−2/3) = 8^(2/3) = 4. Разность: 125 − 4 = 121.
Ответ: 121.
3) 8^(9/7 − 2/7) = 8^1 = 8; 3^(6/5 + 4/5) = 3² = 9. Разность: 8 − 9 = −1.
Ответ: −1.
4) (5^(−2/5))^(−5) = 5² = 25; ((0,2)^(3/4))^(−4) = (0,2)^(−3) = 5³ = 125. Сумма: 25 + 125 = 150.
Ответ: 150.
61. Найти значение выражения:
1) ∛a · (корень 6-й степени из a) при a = 0,09;
2) √b : (корень 6-й степени из b) при b = 27;
3) √b · ∛(b²) / (корень 6-й степени из b) при b = 1,3;
4) ∛a · (корень 4-й степени из a) · (корень 12-й степени из (a⁵)) при a = 2,7.
1) ∛a · (корень 6-й степени из a) при a = 0,09;
2) √b : (корень 6-й степени из b) при b = 27;
3) √b · ∛(b²) / (корень 6-й степени из b) при b = 1,3;
4) ∛a · (корень 4-й степени из a) · (корень 12-й степени из (a⁵)) при a = 2,7.
Упрощаем выражение, затем подставляем.
1) a^(1/3) · a^(1/6) = a^(1/2) = √a = √0,09 = 0,3.
Ответ: 0,3.
2) b^(1/2 − 1/6) = b^(1/3) = ∛27 = 3.
Ответ: 3.
3) b^(1/2) · b^(2/3) / b^(1/6) = b^(1/2 + 2/3 − 1/6) = b^1 = 1,3.
Ответ: 1,3.
4) a^(1/3 + 1/4 + 5/12) = a^((4 + 3 + 5)/12) = a^1 = 2,7.
Ответ: 2,7.
1) a^(1/3) · a^(1/6) = a^(1/2) = √a = √0,09 = 0,3.
Ответ: 0,3.
2) b^(1/2 − 1/6) = b^(1/3) = ∛27 = 3.
Ответ: 3.
3) b^(1/2) · b^(2/3) / b^(1/6) = b^(1/2 + 2/3 − 1/6) = b^1 = 1,3.
Ответ: 1,3.
4) a^(1/3 + 1/4 + 5/12) = a^((4 + 3 + 5)/12) = a^1 = 2,7.
Ответ: 2,7.
62. Представить в виде степени с рациональным показателем:
1) a^(1/3) · √a;
2) b^(1/2) · b^(1/3) · (корень 6-й степени из b);
3) ∛b : b^(1/6);
4) a^(4/3) : ∛a;
5) x^(1,7) · x^(2,8) : √(x⁵);
6) y^(−3,8) : y^(−2,3) · ∛y.
1) a^(1/3) · √a;
2) b^(1/2) · b^(1/3) · (корень 6-й степени из b);
3) ∛b : b^(1/6);
4) a^(4/3) : ∛a;
5) x^(1,7) · x^(2,8) : √(x⁵);
6) y^(−3,8) : y^(−2,3) · ∛y.
Основания положительны. Складываем и вычитаем показатели.
1) a^(1/3 + 1/2) = a^(5/6).
2) b^(1/2 + 1/3 + 1/6) = b^1 = b.
3) b^(1/3 − 1/6) = b^(1/6).
4) a^(4/3 − 1/3) = a^1 = a.
5) x^(1,7 + 2,8) : x^(5/2) = x^(4,5 − 2,5) = x².
6) y^(−3,8 + 2,3) · y^(1/3) = y^(−1,5 + 1/3) = y^(−3/2 + 1/3) = y^(−7/6) = y^(−1 1/6).
1) a^(1/3 + 1/2) = a^(5/6).
2) b^(1/2 + 1/3 + 1/6) = b^1 = b.
3) b^(1/3 − 1/6) = b^(1/6).
4) a^(4/3 − 1/3) = a^1 = a.
5) x^(1,7 + 2,8) : x^(5/2) = x^(4,5 − 2,5) = x².
6) y^(−3,8 + 2,3) · y^(1/3) = y^(−1,5 + 1/3) = y^(−3/2 + 1/3) = y^(−7/6) = y^(−1 1/6).
63. Вынести общий множитель за скобки:
1) x^(1/2) + x; 2. (ab)^(1/3) + (ac)^(1/3); 3) y^(3/4) − y^(1/3); 4) 12xy^(1/2) − 3x^(1/2)y.
1) x^(1/2) + x; 2. (ab)^(1/3) + (ac)^(1/3); 3) y^(3/4) − y^(1/3); 4) 12xy^(1/2) − 3x^(1/2)y.
Считаем, что все буквы неотрицательны. Выносим множитель с наименьшим показателем.
1) x^(1/2) + x = x^(1/2) · (1 + x^(1/2)).
2) (ab)^(1/3) + (ac)^(1/3) = a^(1/3)b^(1/3) + a^(1/3)c^(1/3) = a^(1/3)(b^(1/3) + c^(1/3)).
3) Наименьший показатель 1/3 (так как 3/4 = 9/12 > 4/12): y^(3/4) − y^(1/3) = y^(1/3)(y^(3/4 − 1/3) − 1) = y^(1/3)(y^(5/12) − 1).
4) Общий множитель 3x^(1/2)y^(1/2): 12xy^(1/2) − 3x^(1/2)y = 3x^(1/2)y^(1/2)(4x^(1/2) − y^(1/2)).
1) x^(1/2) + x = x^(1/2) · (1 + x^(1/2)).
2) (ab)^(1/3) + (ac)^(1/3) = a^(1/3)b^(1/3) + a^(1/3)c^(1/3) = a^(1/3)(b^(1/3) + c^(1/3)).
3) Наименьший показатель 1/3 (так как 3/4 = 9/12 > 4/12): y^(3/4) − y^(1/3) = y^(1/3)(y^(3/4 − 1/3) − 1) = y^(1/3)(y^(5/12) − 1).
4) Общий множитель 3x^(1/2)y^(1/2): 12xy^(1/2) − 3x^(1/2)y = 3x^(1/2)y^(1/2)(4x^(1/2) − y^(1/2)).