Глава I. § 5. Степень с рациональным и действительным показателями — с. 32
64. Пользуясь тождеством a² − b² = (a + b)(a − b), разложить на множители:
1) a^(1/2) − b^(1/2);
2) y^(2/3) − 1;
3) a^(1/3) − b^(1/3);
4) x − y;
5) 4a^(1/2) − b^(1/2);
6) 0,01m^(1/6) − n^(1/6).
1) a^(1/2) − b^(1/2);
2) y^(2/3) − 1;
3) a^(1/3) − b^(1/3);
4) x − y;
5) 4a^(1/2) − b^(1/2);
6) 0,01m^(1/6) − n^(1/6).
Представляем каждое слагаемое как квадрат.
1) a^(1/2) = (a^(1/4))², b^(1/2) = (b^(1/4))²: a^(1/2) − b^(1/2) = (a^(1/4) − b^(1/4))(a^(1/4) + b^(1/4)).
2) y^(2/3) = (y^(1/3))², 1 = 1²: (y^(1/3) − 1)(y^(1/3) + 1).
3) a^(1/3) = (a^(1/6))²: (a^(1/6) − b^(1/6))(a^(1/6) + b^(1/6)).
4) x = (x^(1/2))², y = (y^(1/2))²: (x^(1/2) − y^(1/2))(x^(1/2) + y^(1/2)).
5) 4a^(1/2) = (2a^(1/4))², b^(1/2) = (b^(1/4))²: (2a^(1/4) − b^(1/4))(2a^(1/4) + b^(1/4)).
6) 0,01m^(1/6) = (0,1m^(1/12))², n^(1/6) = (n^(1/12))²: (0,1m^(1/12) − n^(1/12))(0,1m^(1/12) + n^(1/12)).
1) a^(1/2) = (a^(1/4))², b^(1/2) = (b^(1/4))²: a^(1/2) − b^(1/2) = (a^(1/4) − b^(1/4))(a^(1/4) + b^(1/4)).
2) y^(2/3) = (y^(1/3))², 1 = 1²: (y^(1/3) − 1)(y^(1/3) + 1).
3) a^(1/3) = (a^(1/6))²: (a^(1/6) − b^(1/6))(a^(1/6) + b^(1/6)).
4) x = (x^(1/2))², y = (y^(1/2))²: (x^(1/2) − y^(1/2))(x^(1/2) + y^(1/2)).
5) 4a^(1/2) = (2a^(1/4))², b^(1/2) = (b^(1/4))²: (2a^(1/4) − b^(1/4))(2a^(1/4) + b^(1/4)).
6) 0,01m^(1/6) = (0,1m^(1/12))², n^(1/6) = (n^(1/12))²: (0,1m^(1/12) − n^(1/12))(0,1m^(1/12) + n^(1/12)).
65. Разложить на множители, используя тождество a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) или a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²):
1) a − x; 2) x^(3/2) − y^(3/2); 3) a^(1/2) − b^(1/2); 4) 27a + c^(1/2).
1) a − x; 2) x^(3/2) − y^(3/2); 3) a^(1/2) − b^(1/2); 4) 27a + c^(1/2).
1) a = (a^(1/3))³, x = (x^(1/3))³: a − x = (a^(1/3) − x^(1/3))(a^(2/3) + a^(1/3)x^(1/3) + x^(2/3)).
2) x^(3/2) = (x^(1/2))³, y^(3/2) = (y^(1/2))³: (x^(1/2) − y^(1/2))(x + x^(1/2)y^(1/2) + y).
3) a^(1/2) = (a^(1/6))³, b^(1/2) = (b^(1/6))³: (a^(1/6) − b^(1/6))(a^(1/3) + a^(1/6)b^(1/6) + b^(1/3)).
4) 27a = (3a^(1/3))³, c^(1/2) = (c^(1/6))³: (3a^(1/3) + c^(1/6))(9a^(2/3) − 3a^(1/3)c^(1/6) + c^(1/3)).
2) x^(3/2) = (x^(1/2))³, y^(3/2) = (y^(1/2))³: (x^(1/2) − y^(1/2))(x + x^(1/2)y^(1/2) + y).
3) a^(1/2) = (a^(1/6))³, b^(1/2) = (b^(1/6))³: (a^(1/6) − b^(1/6))(a^(1/3) + a^(1/6)b^(1/6) + b^(1/3)).
4) 27a = (3a^(1/3))³, c^(1/2) = (c^(1/6))³: (3a^(1/3) + c^(1/6))(9a^(2/3) − 3a^(1/3)c^(1/6) + c^(1/3)).
66. Сократить дробь:
1) (√a − √b)/(a^(1/4) − b^(1/4));
2) (m^(1/2) + n^(1/2))/(m + 2√(mn) + n);
3) (c − 2c^(1/2) + 1)/(√c − 1).
1) (√a − √b)/(a^(1/4) − b^(1/4));
2) (m^(1/2) + n^(1/2))/(m + 2√(mn) + n);
3) (c − 2c^(1/2) + 1)/(√c − 1).
1) √a − √b = (a^(1/4))² − (b^(1/4))² = (a^(1/4) − b^(1/4))(a^(1/4) + b^(1/4)); после сокращения получаем a^(1/4) + b^(1/4) (при a ≠ b).
2) m + 2√(mn) + n = (m^(1/2) + n^(1/2))². Дробь равна 1/(m^(1/2) + n^(1/2)) = 1/(√m + √n).
3) c − 2c^(1/2) + 1 = (c^(1/2) − 1)². Дробь равна √c − 1 (при c ≠ 1).
2) m + 2√(mn) + n = (m^(1/2) + n^(1/2))². Дробь равна 1/(m^(1/2) + n^(1/2)) = 1/(√m + √n).
3) c − 2c^(1/2) + 1 = (c^(1/2) − 1)². Дробь равна √c − 1 (при c ≠ 1).
67. Упростить выражение
c^(3/2)/(c^(1/2) + b^(1/2)) − cb^(1/2)/(b^(1/2) − c^(1/2)) + (2c² − 4cb)/(c − b).
c^(3/2)/(c^(1/2) + b^(1/2)) − cb^(1/2)/(b^(1/2) − c^(1/2)) + (2c² − 4cb)/(c − b).
Пусть s = c^(1/2), t = b^(1/2), тогда c = s², b = t², s ≠ ±t. Выражение: s³/(s + t) − s²t/(t − s) + (2s⁴ − 4s²t²)/(s² − t²).
Общий знаменатель s² − t² = (s − t)(s + t); заметим, что −s²t/(t − s) = s²t/(s − t).
Числитель: s³(s − t) + s²t(s + t) + 2s⁴ − 4s²t² = s⁴ − s³t + s³t + s²t² + 2s⁴ − 4s²t² = 3s⁴ − 3s²t² = 3s²(s² − t²).
Дробь сокращается: 3s² = 3c.
Ответ: 3c.
Общий знаменатель s² − t² = (s − t)(s + t); заметим, что −s²t/(t − s) = s²t/(s − t).
Числитель: s³(s − t) + s²t(s + t) + 2s⁴ − 4s²t² = s⁴ − s³t + s³t + s²t² + 2s⁴ − 4s²t² = 3s⁴ − 3s²t² = 3s²(s² − t²).
Дробь сокращается: 3s² = 3c.
Ответ: 3c.
68. Вычислить:
1) 2^(√5) · 2^(−√5); 2) 3^(2√2) : 9^(√2); 3. (5^(√3))^(√3); 4. ((0,5)^(√2))^(√8).
1) 2^(√5) · 2^(−√5); 2) 3^(2√2) : 9^(√2); 3. (5^(√3))^(√3); 4. ((0,5)^(√2))^(√8).
Свойства степени сохраняются для действительных показателей.
1) 2^(√5 − √5) = 2^0 = 1.
2) 9^(√2) = 3^(2√2), поэтому 3^(2√2 − 2√2) = 3^0 = 1.
3) 5^(√3 · √3) = 5³ = 125.
4) (0,5)^(√2 · √8) = (0,5)^(√16) = (0,5)^4 = 1/16.
1) 2^(√5 − √5) = 2^0 = 1.
2) 9^(√2) = 3^(2√2), поэтому 3^(2√2 − 2√2) = 3^0 = 1.
3) 5^(√3 · √3) = 5³ = 125.
4) (0,5)^(√2 · √8) = (0,5)^(√16) = (0,5)^4 = 1/16.
69. Вычислить:
1) 2^(2 − 3√5) · 8^(√5);
2) 3^(1 + 2∛2) : 9^(∛2);
3) (5^(1 + √2))^(1 − √2);
4) (5^(1 − √5))^(1 + √5) − (√5)^0.
1) 2^(2 − 3√5) · 8^(√5);
2) 3^(1 + 2∛2) : 9^(∛2);
3) (5^(1 + √2))^(1 − √2);
4) (5^(1 − √5))^(1 + √5) − (√5)^0.
1) 8^(√5) = 2^(3√5), поэтому 2^(2 − 3√5 + 3√5) = 2² = 4.
Ответ: 4.
2) 9^(∛2) = 3^(2∛2), поэтому 3^(1 + 2∛2 − 2∛2) = 3.
Ответ: 3.
3) 5^((1 + √2)(1 − √2)) = 5^(1 − 2) = 5^(−1) = 1/5.
Ответ: 1/5.
4) 5^((1 − √5)(1 + √5)) = 5^(1 − 5) = 5^(−4) = 1/625; (√5)^0 = 1. Разность: 1/625 − 1 = −624/625.
Ответ: −624/625.
Ответ: 4.
2) 9^(∛2) = 3^(2∛2), поэтому 3^(1 + 2∛2 − 2∛2) = 3.
Ответ: 3.
3) 5^((1 + √2)(1 − √2)) = 5^(1 − 2) = 5^(−1) = 1/5.
Ответ: 1/5.
4) 5^((1 − √5)(1 + √5)) = 5^(1 − 5) = 5^(−4) = 1/625; (√5)^0 = 1. Разность: 1/625 − 1 = −624/625.
Ответ: −624/625.
70. Вычислить:
1) 2^(1 − 2√2) · 4^(√2);
2) 3^(2 − 3√3) · 27^(√3);
3) 9^(1 + √3) · 3^(1 − √3) · 3^(−2 − √3);
4) 4^(3 + √2) · 2^(1 − √2) · 2^(−4 − √2).
1) 2^(1 − 2√2) · 4^(√2);
2) 3^(2 − 3√3) · 27^(√3);
3) 9^(1 + √3) · 3^(1 − √3) · 3^(−2 − √3);
4) 4^(3 + √2) · 2^(1 − √2) · 2^(−4 − √2).
Приводим к одному основанию.
1) 4^(√2) = 2^(2√2): 2^(1 − 2√2 + 2√2) = 2.
2) 27^(√3) = 3^(3√3): 3^(2 − 3√3 + 3√3) = 3² = 9.
3) 9^(1 + √3) = 3^(2 + 2√3): показатель 2 + 2√3 + 1 − √3 − 2 − √3 = 1, результат 3.
4) 4^(3 + √2) = 2^(6 + 2√2): показатель 6 + 2√2 + 1 − √2 − 4 − √2 = 3, результат 2³ = 8.
1) 4^(√2) = 2^(2√2): 2^(1 − 2√2 + 2√2) = 2.
2) 27^(√3) = 3^(3√3): 3^(2 − 3√3 + 3√3) = 3² = 9.
3) 9^(1 + √3) = 3^(2 + 2√3): показатель 2 + 2√3 + 1 − √3 − 2 − √3 = 1, результат 3.
4) 4^(3 + √2) = 2^(6 + 2√2): показатель 6 + 2√2 + 1 − √2 − 4 − √2 = 3, результат 2³ = 8.
71. Вычислить:
1) 10^(2 + √7) / (2^(2 + √7) · 5^(1 + √7));
2) 6^(3 + √5) / (2^(2 + √5) · 3^(1 + √5));
3) (25^(1 + √2) − 5^(2√2)) · 5^(−1 − 2√2);
4) (2^(2√3) − 4^(√3 − 1)) · 2^(−2√3).
1) 10^(2 + √7) / (2^(2 + √7) · 5^(1 + √7));
2) 6^(3 + √5) / (2^(2 + √5) · 3^(1 + √5));
3) (25^(1 + √2) − 5^(2√2)) · 5^(−1 − 2√2);
4) (2^(2√3) − 4^(√3 − 1)) · 2^(−2√3).
1) 10^(2 + √7) = 2^(2 + √7) · 5^(2 + √7). После сокращения остаётся 5^(2 + √7 − 1 − √7) = 5.
Ответ: 5.
2) 6^(3 + √5) = 2^(3 + √5) · 3^(3 + √5). Получаем 2^(3 + √5 − 2 − √5) · 3^(3 + √5 − 1 − √5) = 2 · 9 = 18.
Ответ: 18.
3) 25^(1 + √2) = 5^(2 + 2√2) = 25 · 5^(2√2). Скобка: 25 · 5^(2√2) − 5^(2√2) = 24 · 5^(2√2). Умножаем на 5^(−1 − 2√2): 24 · 5^(−1) = 24/5 = 4,8.
Ответ: 4,8.
4) 4^(√3 − 1) = 2^(2√3 − 2) = 2^(2√3)/4. Скобка: 2^(2√3) · (1 − 1/4) = (3/4) · 2^(2√3). Умножаем на 2^(−2√3): 3/4.
Ответ: 0,75.
Ответ: 5.
2) 6^(3 + √5) = 2^(3 + √5) · 3^(3 + √5). Получаем 2^(3 + √5 − 2 − √5) · 3^(3 + √5 − 1 − √5) = 2 · 9 = 18.
Ответ: 18.
3) 25^(1 + √2) = 5^(2 + 2√2) = 25 · 5^(2√2). Скобка: 25 · 5^(2√2) − 5^(2√2) = 24 · 5^(2√2). Умножаем на 5^(−1 − 2√2): 24 · 5^(−1) = 24/5 = 4,8.
Ответ: 4,8.
4) 4^(√3 − 1) = 2^(2√3 − 2) = 2^(2√3)/4. Скобка: 2^(2√3) · (1 − 1/4) = (3/4) · 2^(2√3). Умножаем на 2^(−2√3): 3/4.
Ответ: 0,75.
72. Выяснить, какое из чисел больше:
1) 3^(√71) или 3^(√69);
2) (1/3)^(√3) или (1/3)^(√2);
3) 4^(−√3) или 4^(−√2);
4) 2^(√3) или 2^(1,7);
5) (1/2)^(1,4) или (1/2)^(√2);
6) (1/9)^π или (1/9)^(3,14).
1) 3^(√71) или 3^(√69);
2) (1/3)^(√3) или (1/3)^(√2);
3) 4^(−√3) или 4^(−√2);
4) 2^(√3) или 2^(1,7);
5) (1/2)^(1,4) или (1/2)^(√2);
6) (1/9)^π или (1/9)^(3,14).
Если основание больше 1, степень возрастает с ростом показателя; если основание между 0 и 1, степень убывает.
1) Основание 3 > 1, √71 > √69, значит 3^(√71) > 3^(√69).
2) Основание 1/3 < 1, √3 > √2, значит (1/3)^(√3) < (1/3)^(√2); больше (1/3)^(√2).
3) Основание 4 > 1, −√3 < −√2, значит 4^(−√3) < 4^(−√2); больше 4^(−√2).
4) Основание 2 > 1; √3 > 1,7, так как 1,7² = 2,89 < 3. Значит 2^(√3) > 2^(1,7).
5) Основание 1/2 < 1; 1,4 < √2, так как 1,4² = 1,96 < 2. Значит (1/2)^(1,4) > (1/2)^(√2).
6) Основание 1/9 < 1; π > 3,14, значит (1/9)^π < (1/9)^(3,14); больше (1/9)^(3,14).
1) Основание 3 > 1, √71 > √69, значит 3^(√71) > 3^(√69).
2) Основание 1/3 < 1, √3 > √2, значит (1/3)^(√3) < (1/3)^(√2); больше (1/3)^(√2).
3) Основание 4 > 1, −√3 < −√2, значит 4^(−√3) < 4^(−√2); больше 4^(−√2).
4) Основание 2 > 1; √3 > 1,7, так как 1,7² = 2,89 < 3. Значит 2^(√3) > 2^(1,7).
5) Основание 1/2 < 1; 1,4 < √2, так как 1,4² = 1,96 < 2. Значит (1/2)^(1,4) > (1/2)^(√2).
6) Основание 1/9 < 1; π > 3,14, значит (1/9)^π < (1/9)^(3,14); больше (1/9)^(3,14).
73. Сравнить число с единицей:
1) 2^(−2); 2. (0,013)^(−1); 3. (2/7)^5; 4) 27^(1,5);
5) 2^(−√5); 6. (1/2)^(√3); 7. (π/4)^(√5 − 2); 8. (1/3)^(√8 − 3).
1) 2^(−2); 2. (0,013)^(−1); 3. (2/7)^5; 4) 27^(1,5);
5) 2^(−√5); 6. (1/2)^(√3); 7. (π/4)^(√5 − 2); 8. (1/3)^(√8 − 3).
Сравниваем с 1 = a^0. При a > 1 степень больше 1 при положительном показателе и меньше 1 при отрицательном; при 0 < a < 1 — наоборот.
1) 2^(−2) = 1/4 < 1.
2) (0,013)^(−1) = 1/0,013 > 1 (основание меньше 1, показатель отрицательный).
3) 2/7 < 1, показатель 5 > 0, значит (2/7)^5 < 1.
4) 27 > 1, показатель 1,5 > 0, значит 27^(1,5) > 1.
5) 2 > 1, показатель −√5 < 0, значит 2^(−√5) < 1.
6) 1/2 < 1, показатель √3 > 0, значит (1/2)^(√3) < 1.
7) π/4 < 1 (так как π < 4), показатель √5 − 2 > 0 (так как √5 > 2), значит (π/4)^(√5 − 2) < 1.
8) 1/3 < 1, показатель √8 − 3 < 0 (так как √8 < 3), значит (1/3)^(√8 − 3) > 1.
1) 2^(−2) = 1/4 < 1.
2) (0,013)^(−1) = 1/0,013 > 1 (основание меньше 1, показатель отрицательный).
3) 2/7 < 1, показатель 5 > 0, значит (2/7)^5 < 1.
4) 27 > 1, показатель 1,5 > 0, значит 27^(1,5) > 1.
5) 2 > 1, показатель −√5 < 0, значит 2^(−√5) < 1.
6) 1/2 < 1, показатель √3 > 0, значит (1/2)^(√3) < 1.
7) π/4 < 1 (так как π < 4), показатель √5 − 2 > 0 (так как √5 > 2), значит (π/4)^(√5 − 2) < 1.
8) 1/3 < 1, показатель √8 − 3 < 0 (так как √8 < 3), значит (1/3)^(√8 − 3) > 1.