Глава I. § 5. Степень с рациональным и действительным показателями — с. 34
83. Упростить выражение:
1) (a^(1 + √2))^(1 − √2);
2) (m^((1 − √5)/(1 + √5)))^(−3) · m^(3√5/2);
3) (a^(∛2 + ∛3))^(∛4 − ∛6 + ∛9);
4) (a^(∛9 + ∛3 + 1))^(1 − ∛3).
1) (a^(1 + √2))^(1 − √2);
2) (m^((1 − √5)/(1 + √5)))^(−3) · m^(3√5/2);
3) (a^(∛2 + ∛3))^(∛4 − ∛6 + ∛9);
4) (a^(∛9 + ∛3 + 1))^(1 − ∛3).
1) a^((1 + √2)(1 − √2)) = a^(1 − 2) = a^(−1).
2) (1 − √5)/(1 + √5) = (1 − √5)²/(1 − 5) = (6 − 2√5)/(−4) = (√5 − 3)/2. Умножаем на −3: (9 − 3√5)/2. Прибавляем показатель 3√5/2: (9 − 3√5 + 3√5)/2 = 9/2. Получаем m^(9/2).
3) Пусть u = ∛2, v = ∛3. Тогда (u + v)(u² − uv + v²) = u³ + v³ = 2 + 3 = 5; получаем a^5.
4) (∛9 + ∛3 + 1)(1 − ∛3) = 1 − (∛3)³ = 1 − 3 = −2 (так как ∛9 = (∛3)²); получаем a^(−2).
Ответ: 1) a^(−1); 2) m^(9/2); 3) a^5; 4) a^(−2).
2) (1 − √5)/(1 + √5) = (1 − √5)²/(1 − 5) = (6 − 2√5)/(−4) = (√5 − 3)/2. Умножаем на −3: (9 − 3√5)/2. Прибавляем показатель 3√5/2: (9 − 3√5 + 3√5)/2 = 9/2. Получаем m^(9/2).
3) Пусть u = ∛2, v = ∛3. Тогда (u + v)(u² − uv + v²) = u³ + v³ = 2 + 3 = 5; получаем a^5.
4) (∛9 + ∛3 + 1)(1 − ∛3) = 1 − (∛3)³ = 1 − 3 = −2 (так как ∛9 = (∛3)²); получаем a^(−2).
Ответ: 1) a^(−1); 2) m^(9/2); 3) a^5; 4) a^(−2).
84. Решить уравнение (84—85):
1) 5^(2x) = 5^4;
2) (1/2)^(2x) = (1/2)^(−1);
3) 9^x = 3^(2√2);
4) 16^x = 2^(8π).
1) 5^(2x) = 5^4;
2) (1/2)^(2x) = (1/2)^(−1);
3) 9^x = 3^(2√2);
4) 16^x = 2^(8π).
Приводим к одинаковым основаниям и приравниваем показатели.
1) 2x = 4, x = 2.
2) 2x = −1, x = −1/2.
3) 9^x = 3^(2x), значит 2x = 2√2, x = √2.
4) 16^x = 2^(4x), значит 4x = 8π, x = 2π.
Ответ: 1) 2; 2) −1/2; 3) √2; 4) 2π.
1) 2x = 4, x = 2.
2) 2x = −1, x = −1/2.
3) 9^x = 3^(2x), значит 2x = 2√2, x = √2.
4) 16^x = 2^(4x), значит 4x = 8π, x = 2π.
Ответ: 1) 2; 2) −1/2; 3) √2; 4) 2π.
85. Решить уравнение:
1) 7^(x√3) = √7;
2) 25^(x√2) = 5√5;
3) (√2)^x = 2√2;
4) (√3)^(3x) = 3√3.
1) 7^(x√3) = √7;
2) 25^(x√2) = 5√5;
3) (√2)^x = 2√2;
4) (√3)^(3x) = 3√3.
1) √7 = 7^(1/2), значит x√3 = 1/2, x = 1/(2√3) = √3/6.
2) 25^(x√2) = 5^(2√2·x); 5√5 = 5^(3/2). Тогда 2√2·x = 3/2, x = 3/(4√2) = 3√2/8.
3) 2√2 = (√2)² · √2 = (√2)³, значит x = 3.
4) 3√3 = (√3)² · √3 = (√3)³, значит 3x = 3, x = 1.
Ответ: 1) √3/6; 2) 3√2/8; 3) 3; 4) 1.
2) 25^(x√2) = 5^(2√2·x); 5√5 = 5^(3/2). Тогда 2√2·x = 3/2, x = 3/(4√2) = 3√2/8.
3) 2√2 = (√2)² · √2 = (√2)³, значит x = 3.
4) 3√3 = (√3)² · √3 = (√3)³, значит 3x = 3, x = 1.
Ответ: 1) √3/6; 2) 3√2/8; 3) 3; 4) 1.
86. Сравнить числа:
1) ∛10 и корень 5-й степени из 20;
2) корень 4-й степени из 5 и ∛7;
3) √17 и ∛28;
4) корень 4-й степени из 13 и корень 5-й степени из 23.
1) ∛10 и корень 5-й степени из 20;
2) корень 4-й степени из 5 и ∛7;
3) √17 и ∛28;
4) корень 4-й степени из 13 и корень 5-й степени из 23.
Приводим корни к общему показателю.
1) ∛10 = корень 15-й степени из 10^5 = корень 15-й степени из 100 000; корень 5-й степени из 20 = корень 15-й степени из 20³ = корень 15-й степени из 8000. Так как 100 000 > 8000, ∛10 больше.
2) Общий показатель 12: корень 4-й степени из 5 = корень 12-й степени из 5³ = корень 12-й степени из 125; ∛7 = корень 12-й степени из 7^4 = корень 12-й степени из 2401. 125 < 2401, значит корень 4-й степени из 5 меньше.
3) Общий показатель 6: √17 = корень 6-й степени из 17³ = корень 6-й степени из 4913; ∛28 = корень 6-й степени из 28² = корень 6-й степени из 784. 4913 > 784, значит √17 больше.
4) Общий показатель 20: корень 4-й степени из 13 = корень 20-й степени из 13^5 = корень 20-й степени из 371 293; корень 5-й степени из 23 = корень 20-й степени из 23^4 = корень 20-й степени из 279 841. 371 293 > 279 841, значит корень 4-й степени из 13 больше.
Ответ: 1) ∛10 > корень 5-й степени из 20; 2) корень 4-й степени из 5 < ∛7; 3) √17 > ∛28; 4) корень 4-й степени из 13 > корень 5-й степени из 23.
1) ∛10 = корень 15-й степени из 10^5 = корень 15-й степени из 100 000; корень 5-й степени из 20 = корень 15-й степени из 20³ = корень 15-й степени из 8000. Так как 100 000 > 8000, ∛10 больше.
2) Общий показатель 12: корень 4-й степени из 5 = корень 12-й степени из 5³ = корень 12-й степени из 125; ∛7 = корень 12-й степени из 7^4 = корень 12-й степени из 2401. 125 < 2401, значит корень 4-й степени из 5 меньше.
3) Общий показатель 6: √17 = корень 6-й степени из 17³ = корень 6-й степени из 4913; ∛28 = корень 6-й степени из 28² = корень 6-й степени из 784. 4913 > 784, значит √17 больше.
4) Общий показатель 20: корень 4-й степени из 13 = корень 20-й степени из 13^5 = корень 20-й степени из 371 293; корень 5-й степени из 23 = корень 20-й степени из 23^4 = корень 20-й степени из 279 841. 371 293 > 279 841, значит корень 4-й степени из 13 больше.
Ответ: 1) ∛10 > корень 5-й степени из 20; 2) корень 4-й степени из 5 < ∛7; 3) √17 > ∛28; 4) корень 4-й степени из 13 > корень 5-й степени из 23.
87. Упростить выражение (87—89):
1) a^(3/2)/(√a + √b) − a·b^(1/2)/(√b − √a) − 2a²/(a − b);
2) (3xy − y²)/(x − y) − y√y/(√x − √y) − y√x/(√x + √y);
3) 1/(∛a + ∛b) − (∛a + ∛b)/(a^(2/3) − ∛(ab) + b^(2/3));
4) (∛(a²) − ∛(b²))/(∛a − ∛b) − (a − b)/(a^(2/3) + ∛(ab) + b^(2/3)).
1) a^(3/2)/(√a + √b) − a·b^(1/2)/(√b − √a) − 2a²/(a − b);
2) (3xy − y²)/(x − y) − y√y/(√x − √y) − y√x/(√x + √y);
3) 1/(∛a + ∛b) − (∛a + ∛b)/(a^(2/3) − ∛(ab) + b^(2/3));
4) (∛(a²) − ∛(b²))/(∛a − ∛b) − (a − b)/(a^(2/3) + ∛(ab) + b^(2/3)).
Переменные положительны, знаменатели не равны нулю.
1) Пусть s = √a, t = √b. Выражение: s³/(s + t) − s²t/(t − s) − 2s⁴/(s² − t²). Общий знаменатель s² − t²; числитель: s³(s − t) + s²t(s + t) − 2s⁴ = s⁴ − s³t + s³t + s²t² − 2s⁴ = −s⁴ + s²t² = −s²(s² − t²). Результат −s² = −a.
2) Пусть s = √x, t = √y. Выражение: (3s²t² − t⁴)/(s² − t²) − t³/(s − t) − t²s/(s + t). Числитель над знаменателем s² − t²: 3s²t² − t⁴ − t³(s + t) − st²(s − t) = 3s²t² − t⁴ − st³ − t⁴ − s²t² + st³ = 2s²t² − 2t⁴ = 2t²(s² − t²). Результат 2t² = 2y.
3) Пусть u = ∛a, v = ∛b. 1/(u + v) − (u + v)/(u² − uv + v²) = (u² − uv + v² − (u + v)²)/((u + v)(u² − uv + v²)) = −3uv/(u³ + v³) = −3∛(ab)/(a + b).
4) Пусть u = ∛a, v = ∛b. (u² − v²)/(u − v) = u + v; (u³ − v³)/(u² + uv + v²) = u − v. Разность: (u + v) − (u − v) = 2v = 2∛b.
Ответ: 1) −a; 2) 2y; 3) −3∛(ab)/(a + b); 4) 2∛b.
1) Пусть s = √a, t = √b. Выражение: s³/(s + t) − s²t/(t − s) − 2s⁴/(s² − t²). Общий знаменатель s² − t²; числитель: s³(s − t) + s²t(s + t) − 2s⁴ = s⁴ − s³t + s³t + s²t² − 2s⁴ = −s⁴ + s²t² = −s²(s² − t²). Результат −s² = −a.
2) Пусть s = √x, t = √y. Выражение: (3s²t² − t⁴)/(s² − t²) − t³/(s − t) − t²s/(s + t). Числитель над знаменателем s² − t²: 3s²t² − t⁴ − t³(s + t) − st²(s − t) = 3s²t² − t⁴ − st³ − t⁴ − s²t² + st³ = 2s²t² − 2t⁴ = 2t²(s² − t²). Результат 2t² = 2y.
3) Пусть u = ∛a, v = ∛b. 1/(u + v) − (u + v)/(u² − uv + v²) = (u² − uv + v² − (u + v)²)/((u + v)(u² − uv + v²)) = −3uv/(u³ + v³) = −3∛(ab)/(a + b).
4) Пусть u = ∛a, v = ∛b. (u² − v²)/(u − v) = u + v; (u³ − v³)/(u² + uv + v²) = u − v. Разность: (u + v) − (u − v) = 2v = 2∛b.
Ответ: 1) −a; 2) 2y; 3) −3∛(ab)/(a + b); 4) 2∛b.
88. Упростить выражение:
1) (a − b)/(∛a − ∛b) − (a + b)/(a^(1/3) + b^(1/3));
2) (a + b)/(a^(2/3) − a^(1/3)·b^(1/3) + b^(2/3)) − (a − b)/(a^(2/3) + a^(1/3)·b^(1/3) + b^(2/3));
3) (a^(2/3) + b^(2/3))/(a − b) − 1/(a^(1/3) − b^(1/3));
4) (a^(1/3) − b^(1/3))/(a + b) − 1/(a^(2/3) − a^(1/3)·b^(1/3) + b^(2/3)).
1) (a − b)/(∛a − ∛b) − (a + b)/(a^(1/3) + b^(1/3));
2) (a + b)/(a^(2/3) − a^(1/3)·b^(1/3) + b^(2/3)) − (a − b)/(a^(2/3) + a^(1/3)·b^(1/3) + b^(2/3));
3) (a^(2/3) + b^(2/3))/(a − b) − 1/(a^(1/3) − b^(1/3));
4) (a^(1/3) − b^(1/3))/(a + b) − 1/(a^(2/3) − a^(1/3)·b^(1/3) + b^(2/3)).
Пусть u = a^(1/3), v = b^(1/3); тогда a = u³, b = v³.
1) (u³ − v³)/(u − v) = u² + uv + v²; (u³ + v³)/(u + v) = u² − uv + v². Разность: 2uv = 2∛(ab).
2) (u³ + v³)/(u² − uv + v²) = u + v; (u³ − v³)/(u² + uv + v²) = u − v. Разность: (u + v) − (u − v) = 2v = 2∛b.
3) (u² + v²)/(u³ − v³) − 1/(u − v) = (u² + v² − (u² + uv + v²))/(u³ − v³) = −uv/(a − b) = −∛(ab)/(a − b).
4) (u − v)/(u³ + v³) − 1/(u² − uv + v²) = (u − v − (u + v))/(u³ + v³) = −2v/(a + b) = −2∛b/(a + b).
Ответ: 1) 2∛(ab); 2) 2∛b; 3) −∛(ab)/(a − b); 4) −2∛b/(a + b).
1) (u³ − v³)/(u − v) = u² + uv + v²; (u³ + v³)/(u + v) = u² − uv + v². Разность: 2uv = 2∛(ab).
2) (u³ + v³)/(u² − uv + v²) = u + v; (u³ − v³)/(u² + uv + v²) = u − v. Разность: (u + v) − (u − v) = 2v = 2∛b.
3) (u² + v²)/(u³ − v³) − 1/(u − v) = (u² + v² − (u² + uv + v²))/(u³ − v³) = −uv/(a − b) = −∛(ab)/(a − b).
4) (u − v)/(u³ + v³) − 1/(u² − uv + v²) = (u − v − (u + v))/(u³ + v³) = −2v/(a + b) = −2∛b/(a + b).
Ответ: 1) 2∛(ab); 2) 2∛b; 3) −∛(ab)/(a − b); 4) −2∛b/(a + b).
89. Упростить выражение:
1) (x + y)/(x^(2/3) − x^(1/3)·y^(1/3) + y^(2/3)) + (x − y)/(x^(2/3) + x^(1/3)·y^(1/3) + y^(2/3)) − (x^(2/3) − y^(2/3))/(x^(1/3) − y^(1/3));
2) (a − b)²/(a^(3/2) − b^(3/2)) + (a² − b²)/((a^(1/2) + b^(1/2))(a + a^(1/2)·b^(1/2) + b));
3) ((3x^(2/3) + 5x^(1/3))/(x + 1) + 1/(x^(1/3) + 1)) : (4x^(1/3) + 4 + 1/x^(1/3)).
1) (x + y)/(x^(2/3) − x^(1/3)·y^(1/3) + y^(2/3)) + (x − y)/(x^(2/3) + x^(1/3)·y^(1/3) + y^(2/3)) − (x^(2/3) − y^(2/3))/(x^(1/3) − y^(1/3));
2) (a − b)²/(a^(3/2) − b^(3/2)) + (a² − b²)/((a^(1/2) + b^(1/2))(a + a^(1/2)·b^(1/2) + b));
3) ((3x^(2/3) + 5x^(1/3))/(x + 1) + 1/(x^(1/3) + 1)) : (4x^(1/3) + 4 + 1/x^(1/3)).
1) Пусть u = x^(1/3), v = y^(1/3). Первая дробь: (u³ + v³)/(u² − uv + v²) = u + v. Вторая: (u³ − v³)/(u² + uv + v²) = u − v. Третья: (u² − v²)/(u − v) = u + v. Итого (u + v) + (u − v) − (u + v) = u − v = ∛x − ∛y.
2) Пусть s = √a, t = √b. Первое слагаемое: (s² − t²)²/(s³ − t³) = (s − t)²(s + t)²/((s − t)(s² + st + t²)) = (s − t)(s + t)²/(s² + st + t²). Второе: (s² − t²)(s² + t²)/((s + t)(s² + st + t²)) = (s − t)(s² + t²)/(s² + st + t²). Сумма: (s − t)((s + t)² + s² + t²)/(s² + st + t²) = (s − t) · 2(s² + st + t²)/(s² + st + t²) = 2(s − t) = 2(√a − √b).
3) Пусть t = x^(1/3) (t ≠ 0, t ≠ −1). Скобка: (3t² + 5t)/(t³ + 1) + 1/(t + 1) = (3t² + 5t + t² − t + 1)/(t³ + 1) = (4t² + 4t + 1)/(t³ + 1) = (2t + 1)²/(t³ + 1). Делитель: 4t + 4 + 1/t = (4t² + 4t + 1)/t = (2t + 1)²/t. Частное: t/(t³ + 1) = ∛x/(x + 1).
Ответ: 1) ∛x − ∛y; 2) 2(√a − √b); 3) ∛x/(x + 1).
2) Пусть s = √a, t = √b. Первое слагаемое: (s² − t²)²/(s³ − t³) = (s − t)²(s + t)²/((s − t)(s² + st + t²)) = (s − t)(s + t)²/(s² + st + t²). Второе: (s² − t²)(s² + t²)/((s + t)(s² + st + t²)) = (s − t)(s² + t²)/(s² + st + t²). Сумма: (s − t)((s + t)² + s² + t²)/(s² + st + t²) = (s − t) · 2(s² + st + t²)/(s² + st + t²) = 2(s − t) = 2(√a − √b).
3) Пусть t = x^(1/3) (t ≠ 0, t ≠ −1). Скобка: (3t² + 5t)/(t³ + 1) + 1/(t + 1) = (3t² + 5t + t² − t + 1)/(t³ + 1) = (4t² + 4t + 1)/(t³ + 1) = (2t + 1)²/(t³ + 1). Делитель: 4t + 4 + 1/t = (4t² + 4t + 1)/t = (2t + 1)²/t. Частное: t/(t³ + 1) = ∛x/(x + 1).
Ответ: 1) ∛x − ∛y; 2) 2(√a − √b); 3) ∛x/(x + 1).