Глава I. § 4. Арифметический корень натуральной степени — с. 23
47. Вычислить:
1) ∛49 · ∛112 / ∛250;
2) (корень 4-й степени из 54) · (корень 4-й степени из 120) / (корень 4-й степени из 5);
3) (корень 4-й степени из 32)/(корень 4-й степени из 2) + корень 6-й степени из 27² − √(∛64);
4) ∛(3 3/8) + (корень 4-й степени из 18) · (корень 4-й степени из 4 1/2) − √(√256);
5) ∛(11 − √57) · ∛(11 + √57);
6) (корень 4-й степени из (17 − √33)) · (корень 4-й степени из (17 + √33)).
1) ∛49 · ∛112 / ∛250;
2) (корень 4-й степени из 54) · (корень 4-й степени из 120) / (корень 4-й степени из 5);
3) (корень 4-й степени из 32)/(корень 4-й степени из 2) + корень 6-й степени из 27² − √(∛64);
4) ∛(3 3/8) + (корень 4-й степени из 18) · (корень 4-й степени из 4 1/2) − √(√256);
5) ∛(11 − √57) · ∛(11 + √57);
6) (корень 4-й степени из (17 − √33)) · (корень 4-й степени из (17 + √33)).
Используем свойства корней: произведение и частное корней одной степени равны корню из произведения и частного подкоренных выражений.
1) ∛49 · ∛112 / ∛250 = ∛(49 · 112 / 250) = ∛(5488/250) = ∛21,952 = 2,8, так как 2,8³ = 21,952.
Ответ: 2,8.
2) Корень 4-й степени из (54 · 120 / 5) = корень 4-й степени из (54 · 24) = корень 4-й степени из 1296 = 6, так как 6^4 = 1296.
Ответ: 6.
3) (корень 4-й степени из 32)/(корень 4-й степени из 2) = корень 4-й степени из 16 = 2; корень 6-й степени из 27² = корень 6-й степени из 3^6 = 3; √(∛64) = √4 = 2. Итого 2 + 3 − 2 = 3.
Ответ: 3.
4) ∛(3 3/8) = ∛(27/8) = 3/2; (корень 4-й степени из 18) · (корень 4-й степени из 4 1/2) = корень 4-й степени из (18 · 9/2) = корень 4-й степени из 81 = 3; √(√256) = √16 = 4. Итого 3/2 + 3 − 4 = 1/2.
Ответ: 1/2.
5) ∛((11 − √57)(11 + √57)) = ∛(121 − 57) = ∛64 = 4.
Ответ: 4.
6) Корень 4-й степени из ((17 − √33)(17 + √33)) = корень 4-й степени из (289 − 33) = корень 4-й степени из 256 = 4.
Ответ: 4.
1) ∛49 · ∛112 / ∛250 = ∛(49 · 112 / 250) = ∛(5488/250) = ∛21,952 = 2,8, так как 2,8³ = 21,952.
Ответ: 2,8.
2) Корень 4-й степени из (54 · 120 / 5) = корень 4-й степени из (54 · 24) = корень 4-й степени из 1296 = 6, так как 6^4 = 1296.
Ответ: 6.
3) (корень 4-й степени из 32)/(корень 4-й степени из 2) = корень 4-й степени из 16 = 2; корень 6-й степени из 27² = корень 6-й степени из 3^6 = 3; √(∛64) = √4 = 2. Итого 2 + 3 − 2 = 3.
Ответ: 3.
4) ∛(3 3/8) = ∛(27/8) = 3/2; (корень 4-й степени из 18) · (корень 4-й степени из 4 1/2) = корень 4-й степени из (18 · 9/2) = корень 4-й степени из 81 = 3; √(√256) = √16 = 4. Итого 3/2 + 3 − 4 = 1/2.
Ответ: 1/2.
5) ∛((11 − √57)(11 + √57)) = ∛(121 − 57) = ∛64 = 4.
Ответ: 4.
6) Корень 4-й степени из ((17 − √33)(17 + √33)) = корень 4-й степени из (289 − 33) = корень 4-й степени из 256 = 4.
Ответ: 4.
48. Упростить выражение:
1) ∛(2ab) · ∛(4a²b) · ∛(27b);
2) (корень 4-й степени из (abc)) · (корень 4-й степени из (a³b²c)) · (корень 4-й степени из (b⁵c²)).
1) ∛(2ab) · ∛(4a²b) · ∛(27b);
2) (корень 4-й степени из (abc)) · (корень 4-й степени из (a³b²c)) · (корень 4-й степени из (b⁵c²)).
Считаем, что все буквы неотрицательны (иначе корни могут не иметь смысла).
1) ∛(2ab · 4a²b · 27b) = ∛(216a³b³) = 6ab.
Ответ: 6ab.
2) Корень 4-й степени из (abc · a³b²c · b⁵c²) = корень 4-й степени из (a⁴b⁸c⁴) = ab²c.
Ответ: ab²c.
Оговорка: ответы даны для a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.
1) ∛(2ab · 4a²b · 27b) = ∛(216a³b³) = 6ab.
Ответ: 6ab.
2) Корень 4-й степени из (abc · a³b²c · b⁵c²) = корень 4-й степени из (a⁴b⁸c⁴) = ab²c.
Ответ: ab²c.
Оговорка: ответы даны для a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.
49. Упростить выражение:
1) ∛(∛(a^18)) + (√(∛(a⁴)))³;
2) (√(∛(x²)))³ + 2 · (корень 4-й степени из √x)^8;
3) ∛(√(x⁶y^12)) − (корень 5-й степени из (xy²))^5;
4) ((корень 5-й степени из (a · корень 5-й степени из a))^5 − корень 5-й степени из a) : (корень 10-й степени из a²).
1) ∛(∛(a^18)) + (√(∛(a⁴)))³;
2) (√(∛(x²)))³ + 2 · (корень 4-й степени из √x)^8;
3) ∛(√(x⁶y^12)) − (корень 5-й степени из (xy²))^5;
4) ((корень 5-й степени из (a · корень 5-й степени из a))^5 − корень 5-й степени из a) : (корень 10-й степени из a²).
Считаем, что x, y, a неотрицательны. Вложенные корни заменяем степенями: корень k-й степени из (корень m-й степени из t) = корень km-й степени из t.
1) ∛(∛(a^18)) = корень 9-й степени из a^18 = a²; √(∛(a⁴)) = корень 6-й степени из a⁴ = a^(2/3), поэтому (a^(2/3))³ = a². Сумма: a² + a² = 2a².
Ответ: 2a².
2) √(∛(x²)) = корень 6-й степени из x² = x^(1/3), тогда (x^(1/3))³ = x. Корень 4-й степени из √x = корень 8-й степени из x, его 8-я степень равна x. Итого x + 2x = 3x.
Ответ: 3x.
3) ∛(√(x⁶y^12)) = корень 6-й степени из (x⁶y^12) = xy²; (корень 5-й степени из (xy²))^5 = xy². Разность равна 0.
Ответ: 0.
4) (корень 5-й степени из (a · корень 5-й степени из a))^5 = a · корень 5-й степени из a. Тогда числитель: a · корень 5-й степени из a − корень 5-й степени из a = (a − 1) · корень 5-й степени из a. Делитель: корень 10-й степени из a² = корень 5-й степени из a. Частное: a − 1.
Ответ: a − 1 (при a > 0).
Оговорка: все буквы считаются неотрицательными; в п. 4 дополнительно a ≠ 0.
1) ∛(∛(a^18)) = корень 9-й степени из a^18 = a²; √(∛(a⁴)) = корень 6-й степени из a⁴ = a^(2/3), поэтому (a^(2/3))³ = a². Сумма: a² + a² = 2a².
Ответ: 2a².
2) √(∛(x²)) = корень 6-й степени из x² = x^(1/3), тогда (x^(1/3))³ = x. Корень 4-й степени из √x = корень 8-й степени из x, его 8-я степень равна x. Итого x + 2x = 3x.
Ответ: 3x.
3) ∛(√(x⁶y^12)) = корень 6-й степени из (x⁶y^12) = xy²; (корень 5-й степени из (xy²))^5 = xy². Разность равна 0.
Ответ: 0.
4) (корень 5-й степени из (a · корень 5-й степени из a))^5 = a · корень 5-й степени из a. Тогда числитель: a · корень 5-й степени из a − корень 5-й степени из a = (a − 1) · корень 5-й степени из a. Делитель: корень 10-й степени из a² = корень 5-й степени из a. Частное: a − 1.
Ответ: a − 1 (при a > 0).
Оговорка: все буквы считаются неотрицательными; в п. 4 дополнительно a ≠ 0.
50. Вычислить:
1) √3 · ∛9 / (корень 6-й степени из 3);
2) ∛7 · (корень 4-й степени из 343) / (корень 12-й степени из 7);
3) (∛9 + ∛6 + ∛4)(∛3 − ∛2).
1) √3 · ∛9 / (корень 6-й степени из 3);
2) ∛7 · (корень 4-й степени из 343) / (корень 12-й степени из 7);
3) (∛9 + ∛6 + ∛4)(∛3 − ∛2).
Переходим к степеням с рациональными показателями.
1) 3^(1/2) · 3^(2/3) / 3^(1/6) = 3^(1/2 + 2/3 − 1/6) = 3^((3 + 4 − 1)/6) = 3^1 = 3.
Ответ: 3.
2) 343 = 7³, поэтому 7^(1/3) · 7^(3/4) / 7^(1/12) = 7^((4 + 9 − 1)/12) = 7^1 = 7.
Ответ: 7.
3) Пусть u = ∛3, v = ∛2. Тогда ∛9 = u², ∛6 = uv, ∛4 = v². По формуле разности кубов (u² + uv + v²)(u − v) = u³ − v³ = 3 − 2 = 1.
Ответ: 1.
1) 3^(1/2) · 3^(2/3) / 3^(1/6) = 3^(1/2 + 2/3 − 1/6) = 3^((3 + 4 − 1)/6) = 3^1 = 3.
Ответ: 3.
2) 343 = 7³, поэтому 7^(1/3) · 7^(3/4) / 7^(1/12) = 7^((4 + 9 − 1)/12) = 7^1 = 7.
Ответ: 7.
3) Пусть u = ∛3, v = ∛2. Тогда ∛9 = u², ∛6 = uv, ∛4 = v². По формуле разности кубов (u² + uv + v²)(u − v) = u³ − v³ = 3 − 2 = 1.
Ответ: 1.
51. Упростить:
1) ∛((x − 2)³) при: а) x ≥ 2; б) x < 2;
2) √((3 − x)⁶) при: а) x ≤ 3; б) x > 3;
3) корень 4-й степени из ((x + 6)⁴) + √((x − 3)²), если −1 < x < 2;
4) корень 6-й степени из ((2x + 1)⁶) − корень 4-й степени из ((4 + x)⁴), если −3 < x < −1.
1) ∛((x − 2)³) при: а) x ≥ 2; б) x < 2;
2) √((3 − x)⁶) при: а) x ≤ 3; б) x > 3;
3) корень 4-й степени из ((x + 6)⁴) + √((x − 3)²), если −1 < x < 2;
4) корень 6-й степени из ((2x + 1)⁶) − корень 4-й степени из ((4 + x)⁴), если −3 < x < −1.
1) Корень нечётной степени: ∛((x − 2)³) = x − 2 при любом x, поэтому и при а) x ≥ 2, и при б) x < 2 получаем x − 2.
Ответ: x − 2 в обоих случаях.
2) √((3 − x)⁶) = √(((3 − x)³)²) = |3 − x|³.
а) x ≤ 3: 3 − x ≥ 0, ответ (3 − x)³.
б) x > 3: 3 − x < 0, |3 − x| = x − 3, ответ (x − 3)³.
3) Корень чётной степени из четвёртой и второй степени даёт модуль: |x + 6| + |x − 3|. При −1 < x < 2 имеем x + 6 > 0 и x − 3 < 0, значит |x + 6| = x + 6, |x − 3| = 3 − x. Сумма: x + 6 + 3 − x = 9.
Ответ: 9.
4) |2x + 1| − |4 + x|. При −3 < x < −1: 2x + 1 < −1 < 0, поэтому |2x + 1| = −2x − 1; 4 + x > 1 > 0, поэтому |4 + x| = 4 + x. Разность: −2x − 1 − 4 − x = −3x − 5.
Ответ: −3x − 5.
Ответ: x − 2 в обоих случаях.
2) √((3 − x)⁶) = √(((3 − x)³)²) = |3 − x|³.
а) x ≤ 3: 3 − x ≥ 0, ответ (3 − x)³.
б) x > 3: 3 − x < 0, |3 − x| = x − 3, ответ (x − 3)³.
3) Корень чётной степени из четвёртой и второй степени даёт модуль: |x + 6| + |x − 3|. При −1 < x < 2 имеем x + 6 > 0 и x − 3 < 0, значит |x + 6| = x + 6, |x − 3| = 3 − x. Сумма: x + 6 + 3 − x = 9.
Ответ: 9.
4) |2x + 1| − |4 + x|. При −3 < x < −1: 2x + 1 < −1 < 0, поэтому |2x + 1| = −2x − 1; 4 + x > 1 > 0, поэтому |4 + x| = 4 + x. Разность: −2x − 1 − 4 − x = −3x − 5.
Ответ: −3x − 5.
52. Сравнить значения выражений:
1) √3 + ∛30 и ∛63;
2) ∛7 + √15 и √10 + ∛28.
1) √3 + ∛30 и ∛63;
2) ∛7 + √15 и √10 + ∛28.
1) √3 > 1 и ∛30 > ∛27 = 3, поэтому √3 + ∛30 > 1 + 3 = 4. С другой стороны, ∛63 < ∛64 = 4. Значит, √3 + ∛30 > ∛63.
Ответ: √3 + ∛30 > ∛63.
2) ∛7 < ∛8 = 2 и √15 < √16 = 4, поэтому ∛7 + √15 < 6. Далее √10 > √9 = 3 и ∛28 > ∛27 = 3, поэтому √10 + ∛28 > 6. Следовательно, ∛7 + √15 < 6 < √10 + ∛28.
Ответ: ∛7 + √15 < √10 + ∛28.
Ответ: √3 + ∛30 > ∛63.
2) ∛7 < ∛8 = 2 и √15 < √16 = 4, поэтому ∛7 + √15 < 6. Далее √10 > √9 = 3 и ∛28 > ∛27 = 3, поэтому √10 + ∛28 > 6. Следовательно, ∛7 + √15 < 6 < √10 + ∛28.
Ответ: ∛7 + √15 < √10 + ∛28.
53. Доказать, что:
1) √(4 + 2√3) − √(4 − 2√3) = 2;
2) ∛(9 + √80) + ∛(9 − √80) = 3.
1) √(4 + 2√3) − √(4 − 2√3) = 2;
2) ∛(9 + √80) + ∛(9 − √80) = 3.
1) 4 + 2√3 = 3 + 2√3 + 1 = (√3 + 1)², 4 − 2√3 = (√3 − 1)². Поэтому √(4 + 2√3) − √(4 − 2√3) = |√3 + 1| − |√3 − 1| = (√3 + 1) − (√3 − 1) = 2. Равенство доказано.
2) √80 = 4√5. Заметим, что ((1 + √5)/2)³ = (1 + 3√5 + 15 + 5√5)/8 = (16 + 8√5)/8 = 2 + √5, откуда ((1 + √5)/2)^6 = (2 + √5)² = 9 + 4√5 = 9 + √80. Значит, ∛(9 + √80) = ((1 + √5)/2)² = (6 + 2√5)/4 = (3 + √5)/2. Аналогично ∛(9 − √80) = (3 − √5)/2. Сумма: (3 + √5)/2 + (3 − √5)/2 = 3. Равенство доказано.
Другой способ: пусть x = ∛(9 + √80) + ∛(9 − √80); тогда x³ = 18 + 3 · ∛(81 − 80) · x = 18 + 3x, то есть x³ − 3x − 18 = 0, (x − 3)(x² + 3x + 6) = 0; второй множитель корней не имеет, поэтому x = 3.
2) √80 = 4√5. Заметим, что ((1 + √5)/2)³ = (1 + 3√5 + 15 + 5√5)/8 = (16 + 8√5)/8 = 2 + √5, откуда ((1 + √5)/2)^6 = (2 + √5)² = 9 + 4√5 = 9 + √80. Значит, ∛(9 + √80) = ((1 + √5)/2)² = (6 + 2√5)/4 = (3 + √5)/2. Аналогично ∛(9 − √80) = (3 − √5)/2. Сумма: (3 + √5)/2 + (3 − √5)/2 = 3. Равенство доказано.
Другой способ: пусть x = ∛(9 + √80) + ∛(9 − √80); тогда x³ = 18 + 3 · ∛(81 − 80) · x = 18 + 3x, то есть x³ − 3x − 18 = 0, (x − 3)(x² + 3x + 6) = 0; второй множитель корней не имеет, поэтому x = 3.
54. Упростить выражение:
1) (√a − √b)/((корень 4-й степени из a) − (корень 4-й степени из b)) − (√a + корень 4-й степени из (ab))/((корень 4-й степени из a) + (корень 4-й степени из b));
2) (a − b)/(∛a − ∛b) − (a + b)/(∛a + ∛b);
3) ((a + b)/(∛a + ∛b) − ∛(ab)) : (∛a − ∛b)².
1) (√a − √b)/((корень 4-й степени из a) − (корень 4-й степени из b)) − (√a + корень 4-й степени из (ab))/((корень 4-й степени из a) + (корень 4-й степени из b));
2) (a − b)/(∛a − ∛b) − (a + b)/(∛a + ∛b);
3) ((a + b)/(∛a + ∛b) − ∛(ab)) : (∛a − ∛b)².
Везде a ≥ 0, b ≥ 0, знаменатели не равны нулю.
1) Пусть p = корень 4-й степени из a, q = корень 4-й степени из b. Тогда √a = p², √b = q², корень 4-й степени из (ab) = pq. Первая дробь: (p² − q²)/(p − q) = p + q. Вторая: (p² + pq)/(p + q) = p(p + q)/(p + q) = p. Разность: p + q − p = q.
Ответ: корень 4-й степени из b.
2) Пусть u = ∛a, v = ∛b. Тогда (u³ − v³)/(u − v) = u² + uv + v², (u³ + v³)/(u + v) = u² − uv + v². Разность: 2uv.
Ответ: 2∛(ab).
3) (u³ + v³)/(u + v) = u² − uv + v²; вычитаем uv: u² − 2uv + v² = (u − v)². Делим на (u − v)²: получаем 1.
Ответ: 1 (при a ≠ b).
1) Пусть p = корень 4-й степени из a, q = корень 4-й степени из b. Тогда √a = p², √b = q², корень 4-й степени из (ab) = pq. Первая дробь: (p² − q²)/(p − q) = p + q. Вторая: (p² + pq)/(p + q) = p(p + q)/(p + q) = p. Разность: p + q − p = q.
Ответ: корень 4-й степени из b.
2) Пусть u = ∛a, v = ∛b. Тогда (u³ − v³)/(u − v) = u² + uv + v², (u³ + v³)/(u + v) = u² − uv + v². Разность: 2uv.
Ответ: 2∛(ab).
3) (u³ + v³)/(u + v) = u² − uv + v²; вычитаем uv: u² − 2uv + v² = (u − v)². Делим на (u − v)²: получаем 1.
Ответ: 1 (при a ≠ b).