Глава I. § 4. Арифметический корень натуральной степени — с. 22
37. Извлечь корень (здесь и далее буквами обозначены положительные числа, если нет дополнительных условий):
1) ∛(64x³z⁶);
2) корень 4-й степени из (a⁸b¹²);
3) корень 5-й степени из (32x¹⁰y²⁰);
4) корень 6-й степени из (a¹²b¹⁸).
1) ∛(64x³z⁶);
2) корень 4-й степени из (a⁸b¹²);
3) корень 5-й степени из (32x¹⁰y²⁰);
4) корень 6-й степени из (a¹²b¹⁸).
1) ∛64·∛(x³)·∛(z⁶) = 4xz².
2) a^(8/4)·b^(12/4) = a²b³.
3) 2·x²·y⁴ (32 = 2⁵, x¹⁰ = (x²)⁵, y²⁰ = (y⁴)⁵).
4) a^(12/6)·b^(18/6) = a²b³.
Ответ: 1) 4xz²; 2) a²b³; 3) 2x²y⁴; 4) a²b³.
2) a^(8/4)·b^(12/4) = a²b³.
3) 2·x²·y⁴ (32 = 2⁵, x¹⁰ = (x²)⁵, y²⁰ = (y⁴)⁵).
4) a^(12/6)·b^(18/6) = a²b³.
Ответ: 1) 4xz²; 2) a²b³; 3) 2x²y⁴; 4) a²b³.
38. Упростить выражение:
1) ∛(2ab²)·∛(4a²b);
2) корень 4-й степени из (3a²b³) · корень 4-й степени из (27a²b);
3) корень 4-й степени из (ab/c) · корень 4-й степени из (a³c/b);
4) ∛(16a/b²) · ∛(1/(2ab)).
1) ∛(2ab²)·∛(4a²b);
2) корень 4-й степени из (3a²b³) · корень 4-й степени из (27a²b);
3) корень 4-й степени из (ab/c) · корень 4-й степени из (a³c/b);
4) ∛(16a/b²) · ∛(1/(2ab)).
Перемножаем подкоренные выражения.
1) ∛(2ab²·4a²b) = ∛(8a³b³) = 2ab.
2) корень 4-й степени из (3a²b³·27a²b) = корень 4-й степени из (81a⁴b⁴) = 3ab.
3) корень 4-й степени из ((ab/c)·(a³c/b)) = корень 4-й степени из a⁴ = a.
4) ∛((16a/b²)·(1/(2ab))) = ∛(8/b³) = 2/b.
Ответ: 1) 2ab; 2) 3ab; 3) a; 4) 2/b.
1) ∛(2ab²·4a²b) = ∛(8a³b³) = 2ab.
2) корень 4-й степени из (3a²b³·27a²b) = корень 4-й степени из (81a⁴b⁴) = 3ab.
3) корень 4-й степени из ((ab/c)·(a³c/b)) = корень 4-й степени из a⁴ = a.
4) ∛((16a/b²)·(1/(2ab))) = ∛(8/b³) = 2/b.
Ответ: 1) 2ab; 2) 3ab; 3) a; 4) 2/b.
39. Вычислить:
1) ∛(64/125);
2) корень 4-й степени из (16/81);
3) ∛(3 3/8);
4) корень 5-й степени из (7 19/32).
1) ∛(64/125);
2) корень 4-й степени из (16/81);
3) ∛(3 3/8);
4) корень 5-й степени из (7 19/32).
1) ∛64/∛125 = 4/5.
2) корень 4-й степени из 16 равен 2, из 81 равен 3; ответ 2/3.
3) 3 3/8 = 27/8, ∛(27/8) = 3/2 = 1,5.
4) 7 19/32 = 243/32, корень 5-й степени равен 3/2 = 1,5.
Ответ: 1) 4/5; 2) 2/3; 3) 3/2; 4) 3/2.
2) корень 4-й степени из 16 равен 2, из 81 равен 3; ответ 2/3.
3) 3 3/8 = 27/8, ∛(27/8) = 3/2 = 1,5.
4) 7 19/32 = 243/32, корень 5-й степени равен 3/2 = 1,5.
Ответ: 1) 4/5; 2) 2/3; 3) 3/2; 4) 3/2.
40. Вычислить:
1) корень 4-й степени из 324 : корень 4-й степени из 4;
2) ∛128 : ∛2000;
3) ∛16/∛2;
4) корень 5-й степени из 256 / корень 5-й степени из 8;
5) (√25 − √45) : √5;
6) (∛625 − ∛5) : ∛5.
1) корень 4-й степени из 324 : корень 4-й степени из 4;
2) ∛128 : ∛2000;
3) ∛16/∛2;
4) корень 5-й степени из 256 / корень 5-й степени из 8;
5) (√25 − √45) : √5;
6) (∛625 − ∛5) : ∛5.
Частное корней одной степени равно корню из частного.
1) корень 4-й степени из (324/4) = корень 4-й степени из 81 = 3.
2) ∛(128/2000) = ∛(8/125) = 2/5.
3) ∛(16/2) = ∛8 = 2.
4) корень 5-й степени из (256/8) = корень 5-й степени из 32 = 2.
5) (5 − 3√5)/√5 = 5/√5 − 3 = √5 − 3.
6) ∛(625/5) − ∛(5/5) = ∛125 − 1 = 5 − 1 = 4.
Ответ: 1) 3; 2) 2/5; 3) 2; 4) 2; 5) √5 − 3; 6) 4.
1) корень 4-й степени из (324/4) = корень 4-й степени из 81 = 3.
2) ∛(128/2000) = ∛(8/125) = 2/5.
3) ∛(16/2) = ∛8 = 2.
4) корень 5-й степени из (256/8) = корень 5-й степени из 32 = 2.
5) (5 − 3√5)/√5 = 5/√5 − 3 = √5 − 3.
6) ∛(625/5) − ∛(5/5) = ∛125 − 1 = 5 − 1 = 4.
Ответ: 1) 3; 2) 2/5; 3) 2; 4) 2; 5) √5 − 3; 6) 4.
41. Упростить выражение:
1) корень 5-й степени из (a⁶b⁷) : корень 5-й степени из (ab²);
2) ∛(81x⁴y) : ∛(3xy);
3) ∛(3x/y²) : ∛(y/(9x²));
4) корень 4-й степени из (2b/a³) : корень 4-й степени из (a/(8b³)).
1) корень 5-й степени из (a⁶b⁷) : корень 5-й степени из (ab²);
2) ∛(81x⁴y) : ∛(3xy);
3) ∛(3x/y²) : ∛(y/(9x²));
4) корень 4-й степени из (2b/a³) : корень 4-й степени из (a/(8b³)).
1) корень 5-й степени из (a⁶b⁷/(ab²)) = корень 5-й степени из (a⁵b⁵) = ab.
2) ∛(81x⁴y/(3xy)) = ∛(27x³) = 3x.
3) ∛((3x/y²)·(9x²/y)) = ∛(27x³/y³) = 3x/y.
4) корень 4-й степени из ((2b/a³)·(8b³/a)) = корень 4-й степени из (16b⁴/a⁴) = 2b/a.
Ответ: 1) ab; 2) 3x; 3) 3x/y; 4) 2b/a.
2) ∛(81x⁴y/(3xy)) = ∛(27x³) = 3x.
3) ∛((3x/y²)·(9x²/y)) = ∛(27x³/y³) = 3x/y.
4) корень 4-й степени из ((2b/a³)·(8b³/a)) = корень 4-й степени из (16b⁴/a⁴) = 2b/a.
Ответ: 1) ab; 2) 3x; 3) 3x/y; 4) 2b/a.
42. Вычислить:
1) (корень 6-й степени из 7³)²;
2) (корень 6-й степени из 9)^(−3);
3) (корень 10-й степени из 32)²;
4) (корень 8-й степени из 16)^(−4).
1) (корень 6-й степени из 7³)²;
2) (корень 6-й степени из 9)^(−3);
3) (корень 10-й степени из 32)²;
4) (корень 8-й степени из 16)^(−4).
Используем (корень n-й степени из a)^m = корень n-й степени из (a^m).
1) корень 6-й степени из 7⁶ = 7.
2) корень 6-й степени из 9⁻³ = корень 6-й степени из (3⁻⁶) = 3⁻¹ = 1/3.
3) корень 10-й степени из 32² = корень 10-й степени из 2¹⁰ = 2.
4) корень 8-й степени из 16⁻⁴ = корень 8-й степени из 2⁻¹⁶ = 2⁻² = 1/4.
Ответ: 1) 7; 2) 1/3; 3) 2; 4) 1/4.
1) корень 6-й степени из 7⁶ = 7.
2) корень 6-й степени из 9⁻³ = корень 6-й степени из (3⁻⁶) = 3⁻¹ = 1/3.
3) корень 10-й степени из 32² = корень 10-й степени из 2¹⁰ = 2.
4) корень 8-й степени из 16⁻⁴ = корень 8-й степени из 2⁻¹⁶ = 2⁻² = 1/4.
Ответ: 1) 7; 2) 1/3; 3) 2; 4) 1/4.
43. Вычислить:
1) √(∛729);
2) корень 5-й степени из (√1024);
3) ∛(∛9) · корень 9-й степени из 3⁷;
4) корень 4-й степени из (∛25) · корень 6-й степени из 5⁵.
1) √(∛729);
2) корень 5-й степени из (√1024);
3) ∛(∛9) · корень 9-й степени из 3⁷;
4) корень 4-й степени из (∛25) · корень 6-й степени из 5⁵.
Корень из корня: корень m-й степени из корня n-й степени из a равен корню степени mn из a.
1) корень 6-й степени из 729 = корень 6-й степени из 3⁶ = 3.
2) √1024 = 32, корень 5-й степени из 32 = 2.
3) ∛(∛9) = корень 9-й степени из 3², умножаем на корень 9-й степени из 3⁷: корень 9-й степени из 3⁹ = 3.
4) корень 12-й степени из 25 = 5^(2/12) = 5^(1/6); корень 6-й степени из 5⁵ = 5^(5/6); произведение 5^(1/6 + 5/6) = 5.
Ответ: 1) 3; 2) 2; 3) 3; 4) 5.
1) корень 6-й степени из 729 = корень 6-й степени из 3⁶ = 3.
2) √1024 = 32, корень 5-й степени из 32 = 2.
3) ∛(∛9) = корень 9-й степени из 3², умножаем на корень 9-й степени из 3⁷: корень 9-й степени из 3⁹ = 3.
4) корень 12-й степени из 25 = 5^(2/12) = 5^(1/6); корень 6-й степени из 5⁵ = 5^(5/6); произведение 5^(1/6 + 5/6) = 5.
Ответ: 1) 3; 2) 2; 3) 3; 4) 5.
44. Упростить выражение:
1) (∛x)⁶;
2) (∛(y²))³;
3) (√a · ∛b)⁶;
4) (∛(a²) · корень 4-й степени из b³)¹²;
5) (∛(√(a²b)))⁶;
6) (∛(корень 4-й степени из 27a³))⁴.
1) (∛x)⁶;
2) (∛(y²))³;
3) (√a · ∛b)⁶;
4) (∛(a²) · корень 4-й степени из b³)¹²;
5) (∛(√(a²b)))⁶;
6) (∛(корень 4-й степени из 27a³))⁴.
1) x^(6/3) = x².
2) y^(2·3/3) = y².
3) (√a)⁶·(∛b)⁶ = a³b².
4) (∛(a²))¹²·(корень 4-й степени из b³)¹² = a⁸·b⁹.
5) ∛(√(a²b)) — корень 6-й степени из a²b; в 6-й степени получаем a²b.
6) ∛(корень 4-й степени из 27a³) — корень 12-й степени из 27a³; в 4-й степени: корень 3-й степени из 27a³ = 3a.
Ответ: 1) x²; 2) y²; 3) a³b²; 4) a⁸b⁹; 5) a²b; 6) 3a.
2) y^(2·3/3) = y².
3) (√a)⁶·(∛b)⁶ = a³b².
4) (∛(a²))¹²·(корень 4-й степени из b³)¹² = a⁸·b⁹.
5) ∛(√(a²b)) — корень 6-й степени из a²b; в 6-й степени получаем a²b.
6) ∛(корень 4-й степени из 27a³) — корень 12-й степени из 27a³; в 4-й степени: корень 3-й степени из 27a³ = 3a.
Ответ: 1) x²; 2) y²; 3) a³b²; 4) a⁸b⁹; 5) a²b; 6) 3a.
45. При каких значениях x имеет смысл выражение:
1) корень 6-й степени из (2x − 3);
2) корень 6-й степени из (x + 3);
3) корень 6-й степени из (2x² − x − 1);
4) корень 4-й степени из ((2 − 3x)/(2x − 4)) ?
1) корень 6-й степени из (2x − 3);
2) корень 6-й степени из (x + 3);
3) корень 6-й степени из (2x² − x − 1);
4) корень 4-й степени из ((2 − 3x)/(2x − 4)) ?
Корень чётной степени определён при неотрицательном подкоренном выражении.
1) 2x − 3 ≥ 0, x ≥ 3/2.
2) x + 3 ≥ 0, x ≥ −3.
3) 2x² − x − 1 ≥ 0; корни 1 и −1/2; 2(x − 1)(x + 1/2) ≥ 0, x ≤ −1/2 или x ≥ 1.
4) (2 − 3x)/(2x − 4) ≥ 0; нули числителя и знаменателя: 2/3 и 2. Методом интервалов: знак «+» только при 2/3 ≤ x < 2 (x = 2 не входит, знаменатель не равен 0).
Ответ: 1) x ≥ 3/2; 2) x ≥ −3; 3) x ≤ −1/2 или x ≥ 1; 4) 2/3 ≤ x < 2.
1) 2x − 3 ≥ 0, x ≥ 3/2.
2) x + 3 ≥ 0, x ≥ −3.
3) 2x² − x − 1 ≥ 0; корни 1 и −1/2; 2(x − 1)(x + 1/2) ≥ 0, x ≤ −1/2 или x ≥ 1.
4) (2 − 3x)/(2x − 4) ≥ 0; нули числителя и знаменателя: 2/3 и 2. Методом интервалов: знак «+» только при 2/3 ≤ x < 2 (x = 2 не входит, знаменатель не равен 0).
Ответ: 1) x ≥ 3/2; 2) x ≥ −3; 3) x ≤ −1/2 или x ≥ 1; 4) 2/3 ≤ x < 2.
46. Вычислить:
1) √(9 + √17) · √(9 − √17);
2) (√(3 + √5) − √(3 − √5))²;
3) (√(5 + √21) + √(5 − √21))².
1) √(9 + √17) · √(9 − √17);
2) (√(3 + √5) − √(3 − √5))²;
3) (√(5 + √21) + √(5 − √21))².
1) √((9 + √17)(9 − √17)) = √(81 − 17) = √64 = 8.
2) Раскрываем квадрат разности: (3 + √5) + (3 − √5) − 2√((3 + √5)(3 − √5)) = 6 − 2√(9 − 5) = 6 − 4 = 2.
3) Квадрат суммы: (5 + √21) + (5 − √21) + 2√(25 − 21) = 10 + 4 = 14.
Ответ: 1) 8; 2) 2; 3) 14.
2) Раскрываем квадрат разности: (3 + √5) + (3 − √5) − 2√((3 + √5)(3 − √5)) = 6 − 2√(9 − 5) = 6 − 4 = 2.
3) Квадрат суммы: (5 + √21) + (5 − √21) + 2√(25 − 21) = 10 + 4 = 14.
Ответ: 1) 8; 2) 2; 3) 14.