Глава I. § 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — с. 16
17. Вычислить:
1) lim_{n→∞} 1/4ⁿ;
2) lim_{n→∞} (0,2)ⁿ;
3) lim_{n→∞} (1 + 1/7ⁿ);
4) lim_{n→∞} ((3/5)ⁿ − 2).
1) lim_{n→∞} 1/4ⁿ;
2) lim_{n→∞} (0,2)ⁿ;
3) lim_{n→∞} (1 + 1/7ⁿ);
4) lim_{n→∞} ((3/5)ⁿ − 2).
Если |q| < 1, то lim qⁿ = 0 при n → ∞.
1) 1/4ⁿ = (1/4)ⁿ → 0. Ответ: 0.
2) 0,2 < 1, поэтому (0,2)ⁿ → 0. Ответ: 0.
3) 1/7ⁿ = (1/7)ⁿ → 0, предел равен 1 + 0 = 1.
4) (3/5)ⁿ → 0, предел равен 0 − 2 = −2.
1) 1/4ⁿ = (1/4)ⁿ → 0. Ответ: 0.
2) 0,2 < 1, поэтому (0,2)ⁿ → 0. Ответ: 0.
3) 1/7ⁿ = (1/7)ⁿ → 0, предел равен 1 + 0 = 1.
4) (3/5)ⁿ → 0, предел равен 0 − 2 = −2.
18. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
1) q = −1/2, b₁ = 1/8;
2) q = 1/3, b₅ = 1/81;
3) q = −1/3, b₁ = 9;
4) q = −1/2, b₄ = 1/8.
1) q = −1/2, b₁ = 1/8;
2) q = 1/3, b₅ = 1/81;
3) q = −1/3, b₁ = 9;
4) q = −1/2, b₄ = 1/8.
Формула: S = b₁/(1 − q).
1) S = (1/8)/(1 + 1/2) = (1/8)·(2/3) = 1/12.
2) b₅ = b₁q⁴, b₁ = (1/81)/(1/81) = 1. S = 1/(1 − 1/3) = 3/2.
3) S = 9/(1 + 1/3) = 9·3/4 = 27/4.
4) b₄ = b₁q³, b₁ = (1/8)/(−1/8) = −1. S = −1/(1 + 1/2) = −2/3.
Ответ: 1) 1/12; 2) 3/2; 3) 27/4; 4) −2/3.
1) S = (1/8)/(1 + 1/2) = (1/8)·(2/3) = 1/12.
2) b₅ = b₁q⁴, b₁ = (1/81)/(1/81) = 1. S = 1/(1 − 1/3) = 3/2.
3) S = 9/(1 + 1/3) = 9·3/4 = 27/4.
4) b₄ = b₁q³, b₁ = (1/8)/(−1/8) = −1. S = −1/(1 + 1/2) = −2/3.
Ответ: 1) 1/12; 2) 3/2; 3) 27/4; 4) −2/3.
19. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1) 6, 1, 1/6, … ;
2) −25, −5, −1, … .
1) 6, 1, 1/6, … ;
2) −25, −5, −1, … .
1) b₁ = 6, q = 1/6. S = 6/(1 − 1/6) = 6·6/5 = 36/5 = 7,2.
2) b₁ = −25, q = −5/(−25) = 1/5. S = −25/(1 − 1/5) = −25·5/4 = −125/4 = −31,25.
Ответ: 1) 7,2; 2) −31,25.
2) b₁ = −25, q = −5/(−25) = 1/5. S = −25/(1 − 1/5) = −25·5/4 = −125/4 = −31,25.
Ответ: 1) 7,2; 2) −31,25.
20. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
1) 0,(5);
2) 0,(8);
3) 0,(32);
4) 0,2(5).
1) 0,(5);
2) 0,(8);
3) 0,(32);
4) 0,2(5).
Периодическую дробь представляем суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
1) 0,(5) = 0,5 + 0,05 + 0,005 + … ; b₁ = 0,5, q = 0,1. S = 0,5/0,9 = 5/9.
2) 0,(8) = 0,8 + 0,08 + … ; S = 0,8/0,9 = 8/9.
3) 0,(32) = 0,32 + 0,0032 + … ; b₁ = 0,32, q = 0,01. S = 0,32/0,99 = 32/99.
4) 0,2(5) = 0,2 + (0,05 + 0,005 + …) = 1/5 + 0,05/0,9 = 1/5 + 1/18 = (18 + 5)/90 = 23/90.
Ответ: 1) 5/9; 2) 8/9; 3) 32/99; 4) 23/90.
1) 0,(5) = 0,5 + 0,05 + 0,005 + … ; b₁ = 0,5, q = 0,1. S = 0,5/0,9 = 5/9.
2) 0,(8) = 0,8 + 0,08 + … ; S = 0,8/0,9 = 8/9.
3) 0,(32) = 0,32 + 0,0032 + … ; b₁ = 0,32, q = 0,01. S = 0,32/0,99 = 32/99.
4) 0,2(5) = 0,2 + (0,05 + 0,005 + …) = 1/5 + 0,05/0,9 = 1/5 + 1/18 = (18 + 5)/90 = 23/90.
Ответ: 1) 5/9; 2) 8/9; 3) 32/99; 4) 23/90.
21. Выяснить, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:
1) bₙ = 3·(−2)ⁿ;
2) bₙ = −5·4ⁿ;
3) bₙ = 8·(−1/3)^(n−1);
4) bₙ = 3·(−1/2)^(n−1).
1) bₙ = 3·(−2)ⁿ;
2) bₙ = −5·4ⁿ;
3) bₙ = 8·(−1/3)^(n−1);
4) bₙ = 3·(−1/2)^(n−1).
Знаменатель q находим как отношение b(n+1)/bₙ; нужно |q| < 1.
1) q = −2, |q| > 1. Не является бесконечно убывающей.
2) q = 4 > 1. Не является.
3) q = −1/3, |q| < 1. Является (b₁ = 8).
4) q = −1/2, |q| < 1. Является (b₁ = 3).
Ответ: 1) нет; 2) нет; 3) да; 4) да.
1) q = −2, |q| > 1. Не является бесконечно убывающей.
2) q = 4 > 1. Не является.
3) q = −1/3, |q| < 1. Является (b₁ = 8).
4) q = −1/2, |q| < 1. Является (b₁ = 3).
Ответ: 1) нет; 2) нет; 3) да; 4) да.
22. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
1) q = 1/2, b₅ = √2/16;
2) q = √3/2, b₄ = 9/8.
1) q = 1/2, b₅ = √2/16;
2) q = √3/2, b₄ = 9/8.
1) b₅ = b₁q⁴, b₁ = (√2/16)·16 = √2. S = √2/(1 − 1/2) = 2√2.
2) b₄ = b₁q³, q³ = 3√3/8, b₁ = (9/8)·(8/(3√3)) = 3/√3 = √3. S = √3/(1 − √3/2) = 2√3/(2 − √3) = 2√3(2 + √3)/(4 − 3) = 4√3 + 6.
Ответ: 1) 2√2; 2) 6 + 4√3.
2) b₄ = b₁q³, q³ = 3√3/8, b₁ = (9/8)·(8/(3√3)) = 3/√3 = √3. S = √3/(1 − √3/2) = 2√3/(2 − √3) = 2√3(2 + √3)/(4 − 3) = 4√3 + 6.
Ответ: 1) 2√2; 2) 6 + 4√3.
23. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 30. Найти:
1) b₁, если q = 1/5;
2) q, если b₁ = 20.
1) b₁, если q = 1/5;
2) q, если b₁ = 20.
S = b₁/(1 − q) = 30.
1) b₁ = 30(1 − 1/5) = 30·4/5 = 24.
2) 20/(1 − q) = 30, 1 − q = 2/3, q = 1/3 (|q| < 1, подходит).
Ответ: 1) 24; 2) 1/3.
1) b₁ = 30(1 − 1/5) = 30·4/5 = 24.
2) 20/(1 − q) = 30, 1 − q = 2/3, q = 1/3 (|q| < 1, подходит).
Ответ: 1) 24; 2) 1/3.
24. Вычислить:
1) lim_{n→∞} (3 − 2ⁿ)/2ⁿ;
2) lim_{n→∞} (3^(n+2) + 2)/3ⁿ;
3) lim_{n→∞} (5ⁿ + 1)²/5^(2n).
1) lim_{n→∞} (3 − 2ⁿ)/2ⁿ;
2) lim_{n→∞} (3^(n+2) + 2)/3ⁿ;
3) lim_{n→∞} (5ⁿ + 1)²/5^(2n).
1) (3 − 2ⁿ)/2ⁿ = 3·(1/2)ⁿ − 1 → 3·0 − 1 = −1.
2) (3^(n+2) + 2)/3ⁿ = 9 + 2·(1/3)ⁿ → 9.
3) (5ⁿ + 1)²/5^(2n) = ((5ⁿ + 1)/5ⁿ)² = (1 + (1/5)ⁿ)² → 1.
Ответ: 1) −1; 2) 9; 3) 1.
2) (3^(n+2) + 2)/3ⁿ = 9 + 2·(1/3)ⁿ → 9.
3) (5ⁿ + 1)²/5^(2n) = ((5ⁿ + 1)/5ⁿ)² = (1 + (1/5)ⁿ)² → 1.
Ответ: 1) −1; 2) 9; 3) 1.
25. На куб со стороной a поставили куб со стороной a/2, на него куб со стороной a/4, затем куб со стороной a/8 и т. д. (рис. 5, а). Найти высоту получившейся фигуры.
[рисунок 5, а: башня из кубов, каждый следующий вдвое меньше предыдущего]
[рисунок 5, а: башня из кубов, каждый следующий вдвое меньше предыдущего]
Высота равна сумме рёбер: a + a/2 + a/4 + a/8 + … Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с b₁ = a, q = 1/2.
S = a/(1 − 1/2) = 2a.
Ответ: 2a.
S = a/(1 − 1/2) = 2a.
Ответ: 2a.
26. В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 5, б). Радиус первой окружности равен R₁. Найти радиусы R₂, R₃, …, Rₙ, … остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма R₁ + 2(R₂ + R₃ + … + Rₙ + …) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.
[рисунок 5, б: угол 60° с биссектрисой, в него вписаны касающиеся окружности радиусов R₁, R₂, R₃]
[рисунок 5, б: угол 60° с биссектрисой, в него вписаны касающиеся окружности радиусов R₁, R₂, R₃]
Центры окружностей лежат на биссектрисе угла, она образует со стороной угла 30°. Пусть dₖ — расстояние от центра k-й окружности до вершины. Радиус перпендикулярен стороне, поэтому Rₖ = dₖ·sin 30° = dₖ/2, то есть dₖ = 2Rₖ.
Окружности касаются внешне: d₁ − d₂ = R₁ + R₂. Тогда 2R₁ − 2R₂ = R₁ + R₂, откуда R₂ = R₁/3. Аналогично R(k+1) = Rₖ/3.
Значит, Rₙ = R₁/3^(n−1): геометрическая прогрессия с q = 1/3, |q| < 1, то есть бесконечно убывающая.
Сумма R₂ + R₃ + … = (R₁/3)/(1 − 1/3) = R₁/2. Тогда R₁ + 2·(R₁/2) = 2R₁ = d₁ — это расстояние от центра первой окружности до вершины угла, что и требовалось доказать.
Окружности касаются внешне: d₁ − d₂ = R₁ + R₂. Тогда 2R₁ − 2R₂ = R₁ + R₂, откуда R₂ = R₁/3. Аналогично R(k+1) = Rₖ/3.
Значит, Rₙ = R₁/3^(n−1): геометрическая прогрессия с q = 1/3, |q| < 1, то есть бесконечно убывающая.
Сумма R₂ + R₃ + … = (R₁/3)/(1 − 1/3) = R₁/2. Тогда R₁ + 2·(R₁/2) = 2R₁ = d₁ — это расстояние от центра первой окружности до вершины угла, что и требовалось доказать.