Глава I. § 2. Действительные числа — с. 10
6. (Устно.) Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами:
1) 16,9;
2) 7,25(4);
3) 1,21221222… (после n-й единицы стоит n двоек);
4) 99,1357911… (после запятой записаны подряд все нечётные числа)?
1) 16,9;
2) 7,25(4);
3) 1,21221222… (после n-й единицы стоит n двоек);
4) 99,1357911… (после запятой записаны подряд все нечётные числа)?
Иррациональное число — бесконечная десятичная непериодическая дробь.
1) 16,9 — конечная дробь, число рациональное.
2) 7,25(4) — периодическая дробь (период 4), число рациональное.
3) Количество двоек между единицами растёт (1, 2, 3, …), значит, периода нет: число иррациональное.
4) Записаны подряд все нечётные числа, длина записи растёт, периода нет: число иррациональное.
Ответ: иррациональны дроби 3) и 4).
1) 16,9 — конечная дробь, число рациональное.
2) 7,25(4) — периодическая дробь (период 4), число рациональное.
3) Количество двоек между единицами растёт (1, 2, 3, …), значит, периода нет: число иррациональное.
4) Записаны подряд все нечётные числа, длина записи растёт, периода нет: число иррациональное.
Ответ: иррациональны дроби 3) и 4).
7. Установить, какая из пар чисел 5,4 и 5,5 или 5,5 и 5,6 образует десятичные приближения числа √31 с недостатком и с избытком.
Приближения с недостатком и избытком a и b должны удовлетворять неравенству a < √31 < b, причём b − a = 0,1. Сравним квадраты: 5,4² = 29,16; 5,5² = 30,25; 5,6² = 31,36. Так как 30,25 < 31 < 31,36, то 5,5 < √31 < 5,6.
Для пары 5,4 и 5,5: 5,5² = 30,25 < 31, т. е. оба числа меньше √31 — это не приближения с недостатком и избытком.
Ответ: пара 5,5 и 5,6 (5,5 — с недостатком, 5,6 — с избытком).
Для пары 5,4 и 5,5: 5,5² = 30,25 < 31, т. е. оба числа меньше √31 — это не приближения с недостатком и избытком.
Ответ: пара 5,5 и 5,6 (5,5 — с недостатком, 5,6 — с избытком).
8. Какое из равенств |x| = x или |x| = −x является верным, если:
1) x = 5 − √7;
2) x = 4 − 3√3;
3) x = 5 − √10?
1) x = 5 − √7;
2) x = 4 − 3√3;
3) x = 5 − √10?
|x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0.
1) √7 < √25 = 5, поэтому 5 − √7 > 0; верно |x| = x.
2) 3√3 = √27 > √16 = 4, поэтому 4 − 3√3 < 0; верно |x| = −x.
3) √10 < √25 = 5, поэтому 5 − √10 > 0; верно |x| = x.
1) √7 < √25 = 5, поэтому 5 − √7 > 0; верно |x| = x.
2) 3√3 = √27 > √16 = 4, поэтому 4 − 3√3 < 0; верно |x| = −x.
3) √10 < √25 = 5, поэтому 5 − √10 > 0; верно |x| = x.
9. Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:
1) (√8 − 3)(3 + 2√2);
2) (√27 − 2)(2 − 3√3);
3) (√50 + 4√2) · √2;
4) (5√3 + √27) : √3;
5) (√3 − 1)² + (√3 + 1)²;
6) (√5 − 1)² − (2√5 + 1)².
1) (√8 − 3)(3 + 2√2);
2) (√27 − 2)(2 − 3√3);
3) (√50 + 4√2) · √2;
4) (5√3 + √27) : √3;
5) (√3 − 1)² + (√3 + 1)²;
6) (√5 − 1)² − (2√5 + 1)².
1) √8 = 2√2, поэтому (2√2 − 3)(2√2 + 3) = 8 − 9 = −1 — рациональное.
2) √27 = 3√3; (3√3 − 2)(2 − 3√3) = −(3√3 − 2)² = −(27 − 12√3 + 4) = −31 + 12√3 — иррациональное (так как √3 иррационально).
3) √50 = 5√2; (5√2 + 4√2) · √2 = 9√2 · √2 = 18 — рациональное.
4) √27 = 3√3; (5√3 + 3√3) : √3 = 8√3 : √3 = 8 — рациональное.
5) (3 − 2√3 + 1) + (3 + 2√3 + 1) = 8 — рациональное.
6) (5 − 2√5 + 1) − (20 + 4√5 + 1) = 6 − 2√5 − 21 − 4√5 = −15 − 6√5 — иррациональное.
2) √27 = 3√3; (3√3 − 2)(2 − 3√3) = −(3√3 − 2)² = −(27 − 12√3 + 4) = −31 + 12√3 — иррациональное (так как √3 иррационально).
3) √50 = 5√2; (5√2 + 4√2) · √2 = 9√2 · √2 = 18 — рациональное.
4) √27 = 3√3; (5√3 + 3√3) : √3 = 8√3 : √3 = 8 — рациональное.
5) (3 − 2√3 + 1) + (3 + 2√3 + 1) = 8 — рациональное.
6) (5 − 2√5 + 1) − (20 + 4√5 + 1) = 6 − 2√5 − 21 − 4√5 = −15 − 6√5 — иррациональное.
10. Вычислить:
1) √63 · √28;
2) √20 · √5;
3) √50 : √8;
4) √12 : √27.
1) √63 · √28;
2) √20 · √5;
3) √50 : √8;
4) √12 : √27.
1) √63 · √28 = √(63 · 28) = √1764 = 42 (или 3√7 · 2√7 = 6 · 7 = 42).
2) √20 · √5 = √100 = 10.
3) √50 : √8 = √(50/8) = √(25/4) = 5/2 = 2,5.
4) √12 : √27 = √(12/27) = √(4/9) = 2/3.
2) √20 · √5 = √100 = 10.
3) √50 : √8 = √(50/8) = √(25/4) = 5/2 = 2,5.
4) √12 : √27 = √(12/27) = √(4/9) = 2/3.
11. Сравнить числовые значения выражений:
1) √3,9 + √8 и √1,1 + √17;
2) √11 − √2,1 и √10 − √3,1.
1) √3,9 + √8 и √1,1 + √17;
2) √11 − √2,1 и √10 − √3,1.
1) Оценим: √3,9 < √4 = 2; √8 < 2,83, так как 2,83² = 8,0089 > 8; значит, √3,9 + √8 < 4,83. С другой стороны, √1,1 > 1 и √17 > 4,1, так как 4,1² = 16,81 < 17; значит, √1,1 + √17 > 5,1. Так как 4,83 < 5,1, то √3,9 + √8 < √1,1 + √17.
2) Перепишем сравнение в виде √11 − √10 и √2,1 − √3,1. Так как √11 > √10, то √11 − √10 > 0; так как √2,1 < √3,1, то √2,1 − √3,1 < 0. Следовательно, √11 − √10 > √2,1 − √3,1, откуда √11 − √2,1 > √10 − √3,1.
(Проверка: 1,867… > 1,401….)
2) Перепишем сравнение в виде √11 − √10 и √2,1 − √3,1. Так как √11 > √10, то √11 − √10 > 0; так как √2,1 < √3,1, то √2,1 − √3,1 < 0. Следовательно, √11 − √10 > √2,1 − √3,1, откуда √11 − √2,1 > √10 − √3,1.
(Проверка: 1,867… > 1,401….)
12. Вычислить:
1) √((√(7 − 2√10) + √2) · 2√5);
2) √((√(16 − 6√7) + √7) · 3);
3) √((√(8 + 2√15) − √(8 − 2√15)) · 2 + 7).
1) √((√(7 − 2√10) + √2) · 2√5);
2) √((√(16 − 6√7) + √7) · 3);
3) √((√(8 + 2√15) − √(8 − 2√15)) · 2 + 7).
Выделяем полные квадраты под внутренними корнями.
1) 7 − 2√10 = (√5 − √2)², так как 5 + 2 − 2√10 = 7 − 2√10, и √5 > √2. Тогда √(7 − 2√10) = √5 − √2, и (√5 − √2 + √2) · 2√5 = √5 · 2√5 = 10. Значение: √10.
2) 16 − 6√7 = (3 − √7)², так как 9 + 7 − 6√7 = 16 − 6√7, и 3 > √7. Тогда √(16 − 6√7) = 3 − √7, и (3 − √7 + √7) · 3 = 9. Значение: √9 = 3.
3) 8 + 2√15 = (√5 + √3)², 8 − 2√15 = (√5 − √3)² (так как 5 + 3 = 8). Тогда √(8 + 2√15) − √(8 − 2√15) = (√5 + √3) − (√5 − √3) = 2√3. Под внешним корнем: 2√3 · 2 + 7 = 7 + 4√3 = (2 + √3)². Значение: 2 + √3.
Ответ: 1) √10; 2) 3; 3) 2 + √3.
1) 7 − 2√10 = (√5 − √2)², так как 5 + 2 − 2√10 = 7 − 2√10, и √5 > √2. Тогда √(7 − 2√10) = √5 − √2, и (√5 − √2 + √2) · 2√5 = √5 · 2√5 = 10. Значение: √10.
2) 16 − 6√7 = (3 − √7)², так как 9 + 7 − 6√7 = 16 − 6√7, и 3 > √7. Тогда √(16 − 6√7) = 3 − √7, и (3 − √7 + √7) · 3 = 9. Значение: √9 = 3.
3) 8 + 2√15 = (√5 + √3)², 8 − 2√15 = (√5 − √3)² (так как 5 + 3 = 8). Тогда √(8 + 2√15) − √(8 − 2√15) = (√5 + √3) − (√5 − √3) = 2√3. Под внешним корнем: 2√3 · 2 + 7 = 7 + 4√3 = (2 + √3)². Значение: 2 + √3.
Ответ: 1) √10; 2) 3; 3) 2 + √3.