Глава I. § 1. Целые и рациональные числа — с. 6
1. Записать в виде десятичной дроби:
1) 2/3;
2) 8/11;
3) 3/5;
4) −3/4;
5) −8 2/7;
6) 13/99.
1) 2/3;
2) 8/11;
3) 3/5;
4) −3/4;
5) −8 2/7;
6) 13/99.
Делим числитель на знаменатель углом; если остатки начинают повторяться, получается периодическая дробь.
1) 2/3 = 0,666… = 0,(6).
2) 8/11 = 0,727272… = 0,(72) (остатки 8, 3, 8, 3, …).
3) 3/5 = 6/10 = 0,6.
4) −3/4 = −75/100 = −0,75.
5) 2/7 = 0,285714285714… = 0,(285714), поэтому −8 2/7 = −8,(285714).
6) 13/99 = 0,131313… = 0,(13).
1) 2/3 = 0,666… = 0,(6).
2) 8/11 = 0,727272… = 0,(72) (остатки 8, 3, 8, 3, …).
3) 3/5 = 6/10 = 0,6.
4) −3/4 = −75/100 = −0,75.
5) 2/7 = 0,285714285714… = 0,(285714), поэтому −8 2/7 = −8,(285714).
6) 13/99 = 0,131313… = 0,(13).
2. Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби:
1) 2/11 + 1/9;
2) 8/13 + 2/3;
3) 1/3 + 1,25;
4) 1/6 + 0,33;
5) 3/14 · 1,05;
6) 7/9 · 1,7.
1) 2/11 + 1/9;
2) 8/13 + 2/3;
3) 1/3 + 1,25;
4) 1/6 + 0,33;
5) 3/14 · 1,05;
6) 7/9 · 1,7.
1) 2/11 + 1/9 = (18 + 11)/99 = 29/99 = 0,(29).
2) 8/13 + 2/3 = (24 + 26)/39 = 50/39 = 1,282051282051… = 1,(282051).
3) 1/3 + 1,25 = 1/3 + 5/4 = (4 + 15)/12 = 19/12 = 1,58333… = 1,58(3).
4) 1/6 + 0,33 = 1/6 + 33/100 = (50 + 99)/300 = 149/300 = 0,49666… = 0,49(6).
5) 3/14 · 1,05 = 3/14 · 21/20 = 63/280 = 9/40 = 0,225.
6) 7/9 · 1,7 = 7/9 · 17/10 = 119/90 = 1,3222… = 1,3(2).
2) 8/13 + 2/3 = (24 + 26)/39 = 50/39 = 1,282051282051… = 1,(282051).
3) 1/3 + 1,25 = 1/3 + 5/4 = (4 + 15)/12 = 19/12 = 1,58333… = 1,58(3).
4) 1/6 + 0,33 = 1/6 + 33/100 = (50 + 99)/300 = 149/300 = 0,49666… = 0,49(6).
5) 3/14 · 1,05 = 3/14 · 21/20 = 63/280 = 9/40 = 0,225.
6) 7/9 · 1,7 = 7/9 · 17/10 = 119/90 = 1,3222… = 1,3(2).
3. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:
1) 0,(6);
2) 1,(55);
3) 0,1(2);
4) −0,(8);
5) −3,(27);
6) −2,3(82).
1) 0,(6);
2) 1,(55);
3) 0,1(2);
4) −0,(8);
5) −3,(27);
6) −2,3(82).
Пусть x — данная дробь. Умножаем на степень десяти так, чтобы после запятой остался только период, и вычитаем.
1) x = 0,(6); 10x = 6,(6); 9x = 6; x = 2/3.
2) x = 1,(55); 100x = 155,(55); 99x = 154; x = 154/99 = 1 55/99 = 1 5/9.
3) x = 0,1(2); 10x = 1,(2); 100x = 12,(2); 90x = 11; x = 11/90.
4) 0,(8): 10x = 8,(8); 9x = 8; x = 8/9, значит −0,(8) = −8/9.
5) 3,(27): 100x = 327,(27); 99x = 324; x = 324/99 = 36/11 = 3 3/11, значит −3,(27) = −3 3/11.
6) 2,3(82): 10x = 23,(82); 1000x = 2382,(82); 990x = 2359; x = 2359/990 = 2 379/990, значит −2,3(82) = −2 379/990.
Оговорка: в ответах учебника для пункта 6) указано −2 329/990; проверка 2359 − 1980 = 379 и 379/990 = 0,38282… подтверждает 379.
1) x = 0,(6); 10x = 6,(6); 9x = 6; x = 2/3.
2) x = 1,(55); 100x = 155,(55); 99x = 154; x = 154/99 = 1 55/99 = 1 5/9.
3) x = 0,1(2); 10x = 1,(2); 100x = 12,(2); 90x = 11; x = 11/90.
4) 0,(8): 10x = 8,(8); 9x = 8; x = 8/9, значит −0,(8) = −8/9.
5) 3,(27): 100x = 327,(27); 99x = 324; x = 324/99 = 36/11 = 3 3/11, значит −3,(27) = −3 3/11.
6) 2,3(82): 10x = 23,(82); 1000x = 2382,(82); 990x = 2359; x = 2359/990 = 2 379/990, значит −2,3(82) = −2 379/990.
Оговорка: в ответах учебника для пункта 6) указано −2 329/990; проверка 2359 − 1980 = 379 и 379/990 = 0,38282… подтверждает 379.
4. Вычислить:
1) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95);
2) 7/36 · 9 + 8 · 11/32 + 9/10 · 5/18.
1) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95);
2) 7/36 · 9 + 8 · 11/32 + 9/10 · 5/18.
1) 20,88 : 18 = 1,16; 45 : 0,36 = 125; сумма в первой скобке 1,16 + 125 = 126,16; вторая скобка 19,59 + 11,95 = 31,54. Тогда 126,16 : 31,54 = 4.
2) 7/36 · 9 = 7/4; 8 · 11/32 = 11/4; 9/10 · 5/18 = 1/4. Сумма: 7/4 + 11/4 + 1/4 = 19/4 = 4 3/4.
Ответ: 1) 4; 2) 4 3/4.
2) 7/36 · 9 = 7/4; 8 · 11/32 = 11/4; 9/10 · 5/18 = 1/4. Сумма: 7/4 + 11/4 + 1/4 = 19/4 = 4 3/4.
Ответ: 1) 4; 2) 4 3/4.
5. Вычислить:
1) (3 4/25 + 0,24) · 2,15 + (5,1625 − 2 3/16) · 2/5;
2) 0,364 : 7/25 + 5/16 : 0,125 + 2 1/2 · 0,8.
1) (3 4/25 + 0,24) · 2,15 + (5,1625 − 2 3/16) · 2/5;
2) 0,364 : 7/25 + 5/16 : 0,125 + 2 1/2 · 0,8.
1) 3 4/25 = 3,16, поэтому 3,16 + 0,24 = 3,4; 3,4 · 2,15 = 7,31. Далее 2 3/16 = 2,1875, 5,1625 − 2,1875 = 2,975; 2,975 · 2/5 = 1,19. Сумма: 7,31 + 1,19 = 8,5.
2) 0,364 : 7/25 = 0,364 · 25/7 = 1,3; 5/16 : 0,125 = 5/16 · 8 = 2,5; 2 1/2 · 0,8 = 2,5 · 0,8 = 2. Сумма: 1,3 + 2,5 + 2 = 5,8.
Ответ: 1) 8,5; 2) 5,8.
2) 0,364 : 7/25 = 0,364 · 25/7 = 1,3; 5/16 : 0,125 = 5/16 · 8 = 2,5; 2 1/2 · 0,8 = 2,5 · 0,8 = 2. Сумма: 1,3 + 2,5 + 2 = 5,8.
Ответ: 1) 8,5; 2) 5,8.