Глава I. § 3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — с. 15
13. Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена:
1) bₙ = −5^(2n);
2) bₙ = 2^(3n).
1) bₙ = −5^(2n);
2) bₙ = 2^(3n).
Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение b(n+1)/bₙ не зависит от n.
1) bₙ = −5^(2n) = −25ⁿ. b(n+1)/bₙ = (−25^(n+1))/(−25ⁿ) = 25 — постоянно. Да, является (b₁ = −25, q = 25).
2) bₙ = 2^(3n) = 8ⁿ. b(n+1)/bₙ = 8^(n+1)/8ⁿ = 8 — постоянно. Да, является (b₁ = 8, q = 8).
Ответ: 1) да; 2) да.
1) bₙ = −5^(2n) = −25ⁿ. b(n+1)/bₙ = (−25^(n+1))/(−25ⁿ) = 25 — постоянно. Да, является (b₁ = −25, q = 25).
2) bₙ = 2^(3n) = 8ⁿ. b(n+1)/bₙ = 8^(n+1)/8ⁿ = 8 — постоянно. Да, является (b₁ = 8, q = 8).
Ответ: 1) да; 2) да.
14. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если:
1) b₄ = 88, q = 2;
2) b₁ = 11, b₄ = 88.
1) b₄ = 88, q = 2;
2) b₁ = 11, b₄ = 88.
Формула: Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
1) b₄ = b₁q³, значит b₁ = 88/8 = 11. S₅ = 11·(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 11·31 = 341.
2) b₄ = b₁q³, значит q³ = 88/11 = 8, q = 2. S₅ = 11·(32 − 1)/(2 − 1) = 341.
Ответ: 1) 341; 2) 341.
1) b₄ = b₁q³, значит b₁ = 88/8 = 11. S₅ = 11·(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 11·31 = 341.
2) b₄ = b₁q³, значит q³ = 88/11 = 8, q = 2. S₅ = 11·(32 − 1)/(2 − 1) = 341.
Ответ: 1) 341; 2) 341.
15. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:
1) 1, 1/5, 1/25, … ;
2) 1/3, 1/9, 1/27, … ;
3) −27, −9, −3, … ;
4) −64, −32, −16, … .
1) 1, 1/5, 1/25, … ;
2) 1/3, 1/9, 1/27, … ;
3) −27, −9, −3, … ;
4) −64, −32, −16, … .
Прогрессия бесконечно убывающая, если |q| < 1.
1) q = (1/5)/1 = 1/5, |q| < 1.
2) q = (1/9)/(1/3) = 1/3, |q| < 1.
3) q = −9/(−27) = 1/3, |q| < 1.
4) q = −32/(−64) = 1/2, |q| < 1.
Во всех случаях |q| < 1, что и требовалось доказать.
1) q = (1/5)/1 = 1/5, |q| < 1.
2) q = (1/9)/(1/3) = 1/3, |q| < 1.
3) q = −9/(−27) = 1/3, |q| < 1.
4) q = −32/(−64) = 1/2, |q| < 1.
Во всех случаях |q| < 1, что и требовалось доказать.
16. Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если:
1) b₁ = 40, b₂ = −20;
2) b₇ = 12, b₁₁ = 3/4;
3) b₇ = −30, b₆ = 15;
4) b₅ = 9, b₁₀ = −1/27.
1) b₁ = 40, b₂ = −20;
2) b₇ = 12, b₁₁ = 3/4;
3) b₇ = −30, b₆ = 15;
4) b₅ = 9, b₁₀ = −1/27.
Нужно проверить условие |q| < 1.
1) q = b₂/b₁ = −20/40 = −1/2, |q| = 1/2 < 1. Да.
2) b₁₁ = b₇q⁴, q⁴ = (3/4)/12 = 1/16, |q| = 1/2 < 1. Да.
3) q = b₇/b₆ = −30/15 = −2, |q| = 2 > 1. Нет.
4) b₁₀ = b₅q⁵, q⁵ = (−1/27)/9 = −1/243, q = −1/3, |q| < 1. Да.
Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) да.
1) q = b₂/b₁ = −20/40 = −1/2, |q| = 1/2 < 1. Да.
2) b₁₁ = b₇q⁴, q⁴ = (3/4)/12 = 1/16, |q| = 1/2 < 1. Да.
3) q = b₇/b₆ = −30/15 = −2, |q| = 2 > 1. Нет.
4) b₁₀ = b₅q⁵, q⁵ = (−1/27)/9 = −1/243, q = −1/3, |q| < 1. Да.
Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) да.