Глава I. § 4. Арифметический корень натуральной степени — с. 21
27. (Устно.)
1) Найти арифметический квадратный корень из числа: 1; 0; 16; 0,81; 169; 1/289.
2) Найти арифметический кубический корень из числа: 1; 0; 125; 1/27; 0,027; 0,064.
3) Найти арифметический корень четвёртой степени из числа: 0; 1; 16; 16/81; 256/625; 0,0016.
1) Найти арифметический квадратный корень из числа: 1; 0; 16; 0,81; 169; 1/289.
2) Найти арифметический кубический корень из числа: 1; 0; 125; 1/27; 0,027; 0,064.
3) Найти арифметический корень четвёртой степени из числа: 0; 1; 16; 16/81; 256/625; 0,0016.
1) √1 = 1; √0 = 0; √16 = 4; √0,81 = 0,9; √169 = 13; √(1/289) = 1/17.
2) ∛1 = 1; ∛0 = 0; ∛125 = 5; ∛(1/27) = 1/3; ∛0,027 = 0,3; ∛0,064 = 0,4.
3) корень 4-й степени из 0 равен 0; из 1 равен 1; из 16 равен 2; из 16/81 равен 2/3; из 256/625 равен 4/5; из 0,0016 равен 0,2.
2) ∛1 = 1; ∛0 = 0; ∛125 = 5; ∛(1/27) = 1/3; ∛0,027 = 0,3; ∛0,064 = 0,4.
3) корень 4-й степени из 0 равен 0; из 1 равен 1; из 16 равен 2; из 16/81 равен 2/3; из 256/625 равен 4/5; из 0,0016 равен 0,2.
28. Вычислить:
1) корень 6-й степени из 36³;
2) корень 12-й степени из 64²;
3) корень 4-й степени из (1/25)²;
4) корень 8-й степени из 225⁴.
1) корень 6-й степени из 36³;
2) корень 12-й степени из 64²;
3) корень 4-й степени из (1/25)²;
4) корень 8-й степени из 225⁴.
Используем корень n-й степени из aⁿ = a при a ≥ 0.
1) 36³ = 6⁶, корень 6-й степени из 6⁶ равен 6.
2) 64² = 2¹², корень 12-й степени равен 2.
3) (1/25)² = (1/5)⁴, корень 4-й степени равен 1/5.
4) 225⁴ = 15⁸, корень 8-й степени равен 15.
Ответ: 1) 6; 2) 2; 3) 1/5; 4) 15.
1) 36³ = 6⁶, корень 6-й степени из 6⁶ равен 6.
2) 64² = 2¹², корень 12-й степени равен 2.
3) (1/25)² = (1/5)⁴, корень 4-й степени равен 1/5.
4) 225⁴ = 15⁸, корень 8-й степени равен 15.
Ответ: 1) 6; 2) 2; 3) 1/5; 4) 15.
29. Вычислить:
1) ∛(10⁶);
2) ∛(3¹²);
3) корень 4-й степени из (1/2)¹²;
4) корень 4-й степени из (1/3)¹⁶.
1) ∛(10⁶);
2) ∛(3¹²);
3) корень 4-й степени из (1/2)¹²;
4) корень 4-й степени из (1/3)¹⁶.
1) 10⁶ = (10²)³, корень равен 100.
2) 3¹² = (3⁴)³, корень равен 81.
3) (1/2)¹² = ((1/2)³)⁴, корень равен 1/8.
4) (1/3)¹⁶ = ((1/3)⁴)⁴, корень равен 1/81.
Ответ: 1) 100; 2) 81; 3) 1/8; 4) 1/81.
2) 3¹² = (3⁴)³, корень равен 81.
3) (1/2)¹² = ((1/2)³)⁴, корень равен 1/8.
4) (1/3)¹⁶ = ((1/3)⁴)⁴, корень равен 1/81.
Ответ: 1) 100; 2) 81; 3) 1/8; 4) 1/81.
30. Вычислить:
1) ∛(−8);
2) корень 15-й степени из (−1);
3) ∛(−1/27);
4) корень 5-й степени из (−1024);
5) ∛(−34³);
6) корень 7-й степени из (−8⁷).
1) ∛(−8);
2) корень 15-й степени из (−1);
3) ∛(−1/27);
4) корень 5-й степени из (−1024);
5) ∛(−34³);
6) корень 7-й степени из (−8⁷).
Корень нечётной степени из отрицательного числа отрицателен: корень из (−a) равен минус корень из a.
1) ∛(−8) = −2.
2) корень 15-й степени из (−1) = −1.
3) ∛(−1/27) = −1/3.
4) 1024 = 4⁵, корень 5-й степени из (−1024) = −4.
5) ∛(−34³) = −34.
6) корень 7-й степени из (−8⁷) = −8.
1) ∛(−8) = −2.
2) корень 15-й степени из (−1) = −1.
3) ∛(−1/27) = −1/3.
4) 1024 = 4⁵, корень 5-й степени из (−1024) = −4.
5) ∛(−34³) = −34.
6) корень 7-й степени из (−8⁷) = −8.
31. Решить уравнение:
1) x⁴ = 256;
2) x⁵ = −1/32;
3) 5x⁵ = −160;
4) 2x⁶ = 128.
1) x⁴ = 256;
2) x⁵ = −1/32;
3) 5x⁵ = −160;
4) 2x⁶ = 128.
1) x⁴ = 256 = 4⁴, чётная степень, два корня: x = ±4.
2) x⁵ = −1/32 = (−1/2)⁵, x = −1/2.
3) x⁵ = −32, x = −2.
4) x⁶ = 64 = 2⁶, x = ±2.
Ответ: 1) ±4; 2) −1/2; 3) −2; 4) ±2.
2) x⁵ = −1/32 = (−1/2)⁵, x = −1/2.
3) x⁵ = −32, x = −2.
4) x⁶ = 64 = 2⁶, x = ±2.
Ответ: 1) ±4; 2) −1/2; 3) −2; 4) ±2.
32. Вычислить:
1) ∛(−125) + (1/8)·корень 6-й степени из 64;
2) корень 5-й степени из 32 − 0,5·∛(−216);
3) −(1/3)·корень 4-й степени из 81 + корень 4-й степени из 625;
4) ∛(−1000) − (1/4)·корень 4-й степени из 256;
5) корень 5-й степени из (1/243) + ∛(−0,001) − корень 4-й степени из 0,0016.
1) ∛(−125) + (1/8)·корень 6-й степени из 64;
2) корень 5-й степени из 32 − 0,5·∛(−216);
3) −(1/3)·корень 4-й степени из 81 + корень 4-й степени из 625;
4) ∛(−1000) − (1/4)·корень 4-й степени из 256;
5) корень 5-й степени из (1/243) + ∛(−0,001) − корень 4-й степени из 0,0016.
1) −5 + (1/8)·2 = −5 + 1/4 = −4,75.
2) 2 − 0,5·(−6) = 2 + 3 = 5.
3) −(1/3)·3 + 5 = −1 + 5 = 4.
4) −10 − (1/4)·4 = −10 − 1 = −11.
5) 1/3 + (−0,1) − 0,2 = 1/3 − 0,3 = 10/30 − 9/30 = 1/30.
Ответ: 1) −4,75; 2) 5; 3) 4; 4) −11; 5) 1/30.
2) 2 − 0,5·(−6) = 2 + 3 = 5.
3) −(1/3)·3 + 5 = −1 + 5 = 4.
4) −10 − (1/4)·4 = −10 − 1 = −11.
5) 1/3 + (−0,1) − 0,2 = 1/3 − 0,3 = 10/30 − 9/30 = 1/30.
Ответ: 1) −4,75; 2) 5; 3) 4; 4) −11; 5) 1/30.
33. Вычислить:
1) ∛(343·0,125);
2) ∛(512·216);
3) корень 5-й степени из (32·100 000).
1) ∛(343·0,125);
2) ∛(512·216);
3) корень 5-й степени из (32·100 000).
Используем корень из произведения.
1) ∛343·∛0,125 = 7·0,5 = 3,5.
2) ∛512·∛216 = 8·6 = 48.
3) корень 5-й степени из 32 равен 2, из 100 000 = 10⁵ равен 10; 2·10 = 20.
Ответ: 1) 3,5; 2) 48; 3) 20.
1) ∛343·∛0,125 = 7·0,5 = 3,5.
2) ∛512·∛216 = 8·6 = 48.
3) корень 5-й степени из 32 равен 2, из 100 000 = 10⁵ равен 10; 2·10 = 20.
Ответ: 1) 3,5; 2) 48; 3) 20.
34. Вычислить:
1) ∛(5³·7³);
2) корень 4-й степени из (11⁴·3⁴);
3) корень 5-й степени из ((0,2)⁵·8⁵);
4) корень 7-й степени из ((1/3)⁷·21⁷).
1) ∛(5³·7³);
2) корень 4-й степени из (11⁴·3⁴);
3) корень 5-й степени из ((0,2)⁵·8⁵);
4) корень 7-й степени из ((1/3)⁷·21⁷).
Степени с одинаковым показателем объединяем: aⁿbⁿ = (ab)ⁿ.
1) ∛((5·7)³) = 35.
2) корень 4-й степени из (33)⁴ = 33.
3) корень 5-й степени из (0,2·8)⁵ = 1,6.
4) корень 7-й степени из ((21/3)⁷) = 7.
Ответ: 1) 35; 2) 33; 3) 1,6; 4) 7.
1) ∛((5·7)³) = 35.
2) корень 4-й степени из (33)⁴ = 33.
3) корень 5-й степени из (0,2·8)⁵ = 1,6.
4) корень 7-й степени из ((21/3)⁷) = 7.
Ответ: 1) 35; 2) 33; 3) 1,6; 4) 7.
35. Вычислить:
1) ∛2·∛500;
2) ∛0,2·∛0,04;
3) корень 4-й степени из 324 · корень 4-й степени из 4;
4) корень 5-й степени из 2 · корень 5-й степени из 16.
1) ∛2·∛500;
2) ∛0,2·∛0,04;
3) корень 4-й степени из 324 · корень 4-й степени из 4;
4) корень 5-й степени из 2 · корень 5-й степени из 16.
Произведение корней одной степени равно корню из произведения.
1) ∛(2·500) = ∛1000 = 10.
2) ∛(0,2·0,04) = ∛0,008 = 0,2.
3) корень 4-й степени из (324·4) = корень 4-й степени из 1296 = 6 (6⁴ = 1296).
4) корень 5-й степени из (2·16) = корень 5-й степени из 32 = 2.
Ответ: 1) 10; 2) 0,2; 3) 6; 4) 2.
1) ∛(2·500) = ∛1000 = 10.
2) ∛(0,2·0,04) = ∛0,008 = 0,2.
3) корень 4-й степени из (324·4) = корень 4-й степени из 1296 = 6 (6⁴ = 1296).
4) корень 5-й степени из (2·16) = корень 5-й степени из 32 = 2.
Ответ: 1) 10; 2) 0,2; 3) 6; 4) 2.
36. Вычислить:
1) корень 5-й степени из (3¹⁰·2¹⁵);
2) ∛(2³·5⁶);
3) корень 4-й степени из (3¹²·(1/3)⁸);
4) корень 10-й степени из (4³⁰·(1/2)²⁰).
1) корень 5-й степени из (3¹⁰·2¹⁵);
2) ∛(2³·5⁶);
3) корень 4-й степени из (3¹²·(1/3)⁸);
4) корень 10-й степени из (4³⁰·(1/2)²⁰).
1) корень 5-й степени из 3¹⁰ = 3², из 2¹⁵ = 2³; 9·8 = 72.
2) ∛(2³) = 2, ∛(5⁶) = 5² = 25; 2·25 = 50.
3) (1/3)⁸ = 3⁻⁸, под корнем 3¹²·3⁻⁸ = 3⁴, корень 4-й степени равен 3.
4) 4³⁰ = 2⁶⁰, (1/2)²⁰ = 2⁻²⁰, под корнем 2⁴⁰, корень 10-й степени равен 2⁴ = 16.
Ответ: 1) 72; 2) 50; 3) 3; 4) 16.
2) ∛(2³) = 2, ∛(5⁶) = 5² = 25; 2·25 = 50.
3) (1/3)⁸ = 3⁻⁸, под корнем 3¹²·3⁻⁸ = 3⁴, корень 4-й степени равен 3.
4) 4³⁰ = 2⁶⁰, (1/2)²⁰ = 2⁻²⁰, под корнем 2⁴⁰, корень 10-й степени равен 2⁴ = 16.
Ответ: 1) 72; 2) 50; 3) 3; 4) 16.