Глава II. § 9. Иррациональные уравнения — с. 63
158.
1) √(5 − x) − √(5 + x) = 2;
2) √(12 + x) − √(1 − x) = 1;
3) √(x − 2) + √(x + 6) = 0;
4) √(x + 7) + √(x − 2) = 9.
1) √(5 − x) − √(5 + x) = 2;
2) √(12 + x) − √(1 − x) = 1;
3) √(x − 2) + √(x + 6) = 0;
4) √(x + 7) + √(x − 2) = 9.
1) ОДЗ: −5 ≤ x ≤ 5. Перенесём корень: √(5 − x) = 2 + √(5 + x). Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: 5 − x = 4 + 4√(5 + x) + 5 + x, откуда −2x − 4 = 4√(5 + x), то есть −x − 2 = 2√(5 + x). Необходимо −x − 2 ≥ 0, x ≤ −2. Ещё раз возводим в квадрат: x² + 4x + 4 = 4(5 + x) = 20 + 4x, x² = 16, x = ±4. Условию x ≤ −2 удовлетворяет x = −4. Проверка: √9 − √1 = 3 − 1 = 2. Ответ: x = −4.
2) ОДЗ: −12 ≤ x ≤ 1. √(12 + x) = 1 + √(1 − x). Возводим в квадрат: 12 + x = 1 + 2√(1 − x) + 1 − x, откуда 10 + 2x = 2√(1 − x), то есть 5 + x = √(1 − x). Необходимо x ≥ −5. Тогда x² + 10x + 25 = 1 − x, x² + 11x + 24 = 0, x = −3 или x = −8. Корень x = −8 не удовлетворяет условию x ≥ −5 (посторонний). Проверка x = −3: √9 − √4 = 3 − 2 = 1. Ответ: x = −3.
3) ОДЗ: x ≥ 2. Оба корня неотрицательны, поэтому их сумма равна нулю лишь когда оба равны нулю: x − 2 = 0 и x + 6 = 0. Эти условия несовместны (x = 2 и x = −6). Ответ: корней нет.
4) ОДЗ: x ≥ 2. √(x + 7) = 9 − √(x − 2); необходимо 9 − √(x − 2) ≥ 0. Возводим в квадрат: x + 7 = 81 − 18√(x − 2) + x − 2, откуда 18√(x − 2) = 72, √(x − 2) = 4, x − 2 = 16, x = 18. Проверка: √25 + √16 = 5 + 4 = 9. Ответ: x = 18.
2) ОДЗ: −12 ≤ x ≤ 1. √(12 + x) = 1 + √(1 − x). Возводим в квадрат: 12 + x = 1 + 2√(1 − x) + 1 − x, откуда 10 + 2x = 2√(1 − x), то есть 5 + x = √(1 − x). Необходимо x ≥ −5. Тогда x² + 10x + 25 = 1 − x, x² + 11x + 24 = 0, x = −3 или x = −8. Корень x = −8 не удовлетворяет условию x ≥ −5 (посторонний). Проверка x = −3: √9 − √4 = 3 − 2 = 1. Ответ: x = −3.
3) ОДЗ: x ≥ 2. Оба корня неотрицательны, поэтому их сумма равна нулю лишь когда оба равны нулю: x − 2 = 0 и x + 6 = 0. Эти условия несовместны (x = 2 и x = −6). Ответ: корней нет.
4) ОДЗ: x ≥ 2. √(x + 7) = 9 − √(x − 2); необходимо 9 − √(x − 2) ≥ 0. Возводим в квадрат: x + 7 = 81 − 18√(x − 2) + x − 2, откуда 18√(x − 2) = 72, √(x − 2) = 4, x − 2 = 16, x = 18. Проверка: √25 + √16 = 5 + 4 = 9. Ответ: x = 18.
159.
1) √(1 − 2x) − √(13 + x) = √(x + 4);
2) √(7x + 1) − √(6 − x) = √(15 + 2x).
1) √(1 − 2x) − √(13 + x) = √(x + 4);
2) √(7x + 1) − √(6 − x) = √(15 + 2x).
1) ОДЗ: 1 − 2x ≥ 0, 13 + x ≥ 0, x + 4 ≥ 0, то есть −4 ≤ x ≤ 1/2. Запишем √(1 − 2x) = √(13 + x) + √(x + 4) и возведём в квадрат: 1 − 2x = 13 + x + x + 4 + 2√((13 + x)(x + 4)), откуда −4x − 16 = 2√((x + 13)(x + 4)), то есть −2(x + 4) = √((x + 13)(x + 4)). Левая часть при x ≥ −4 неположительна, правая неотрицательна, значит, обе равны нулю: x + 4 = 0. Тогда x = −4. Проверка: √9 − √9 = 0 = √0. Ответ: x = −4.
2) ОДЗ: 7x + 1 ≥ 0, 6 − x ≥ 0, 15 + 2x ≥ 0, то есть −1/7 ≤ x ≤ 6. Запишем √(7x + 1) = √(6 − x) + √(15 + 2x) и возведём в квадрат: 7x + 1 = 6 − x + 15 + 2x + 2√((6 − x)(15 + 2x)), откуда 6x − 20 = 2√((6 − x)(15 + 2x)), то есть 3x − 10 = √(90 − 3x − 2x²). Необходимо x ≥ 10/3. Возводим в квадрат: 9x² − 60x + 100 = 90 − 3x − 2x², 11x² − 57x + 10 = 0, D = 3249 − 440 = 2809 = 53², x = (57 ± 53)/22, x = 5 или x = 2/11. Условию x ≥ 10/3 удовлетворяет только x = 5. Проверка: √36 − √1 = 5 = √25. Ответ: x = 5.
2) ОДЗ: 7x + 1 ≥ 0, 6 − x ≥ 0, 15 + 2x ≥ 0, то есть −1/7 ≤ x ≤ 6. Запишем √(7x + 1) = √(6 − x) + √(15 + 2x) и возведём в квадрат: 7x + 1 = 6 − x + 15 + 2x + 2√((6 − x)(15 + 2x)), откуда 6x − 20 = 2√((6 − x)(15 + 2x)), то есть 3x − 10 = √(90 − 3x − 2x²). Необходимо x ≥ 10/3. Возводим в квадрат: 9x² − 60x + 100 = 90 − 3x − 2x², 11x² − 57x + 10 = 0, D = 3249 − 440 = 2809 = 53², x = (57 ± 53)/22, x = 5 или x = 2/11. Условию x ≥ 10/3 удовлетворяет только x = 5. Проверка: √36 − √1 = 5 = √25. Ответ: x = 5.
160.
1) ∛(x − 2) = 2;
2) ∛(2x + 7) = ∛(3(x − 1));
3) корень 4-й степени из (25x² − 144) = x;
4) x² = √(19x² − 34).
1) ∛(x − 2) = 2;
2) ∛(2x + 7) = ∛(3(x − 1));
3) корень 4-й степени из (25x² − 144) = x;
4) x² = √(19x² − 34).
1) Возводим обе части в куб: x − 2 = 8, x = 10. Ответ: x = 10.
2) Кубический корень определён для любых чисел и взаимно однозначен, поэтому 2x + 7 = 3(x − 1), 2x + 7 = 3x − 3, x = 10. Проверка: ∛27 = 3 = ∛27. Ответ: x = 10.
3) Правая часть равна значению корня, поэтому x ≥ 0. Возводим в 4-ю степень: 25x² − 144 = x^4, x^4 − 25x² + 144 = 0. Пусть t = x² ≥ 0: t² − 25t + 144 = 0, t = 9 или t = 16. Отсюда x = ±3 или x = ±4; условию x ≥ 0 удовлетворяют x = 3 и x = 4. Проверка: 25·9 − 144 = 81, корень 4-й степени из 81 равен 3; 25·16 − 144 = 256, корень 4-й степени из 256 равен 4. Ответ: x = 3, x = 4.
4) Левая часть неотрицательна, поэтому возводим в квадрат: x^4 = 19x² − 34, x^4 − 19x² + 34 = 0. Пусть t = x² ≥ 0: t² − 19t + 34 = 0, D = 361 − 136 = 225, t = (19 ± 15)/2, t = 17 или t = 2. Тогда x = ±√17 или x = ±√2. Подкоренное выражение 19t − 34 равно 289 и 4, то есть положительно; корни удовлетворяют уравнению (x² = √(19t − 34) = 17 и 2). Ответ: x = ±√17, x = ±√2.
2) Кубический корень определён для любых чисел и взаимно однозначен, поэтому 2x + 7 = 3(x − 1), 2x + 7 = 3x − 3, x = 10. Проверка: ∛27 = 3 = ∛27. Ответ: x = 10.
3) Правая часть равна значению корня, поэтому x ≥ 0. Возводим в 4-ю степень: 25x² − 144 = x^4, x^4 − 25x² + 144 = 0. Пусть t = x² ≥ 0: t² − 25t + 144 = 0, t = 9 или t = 16. Отсюда x = ±3 или x = ±4; условию x ≥ 0 удовлетворяют x = 3 и x = 4. Проверка: 25·9 − 144 = 81, корень 4-й степени из 81 равен 3; 25·16 − 144 = 256, корень 4-й степени из 256 равен 4. Ответ: x = 3, x = 4.
4) Левая часть неотрицательна, поэтому возводим в квадрат: x^4 = 19x² − 34, x^4 − 19x² + 34 = 0. Пусть t = x² ≥ 0: t² − 19t + 34 = 0, D = 361 − 136 = 225, t = (19 ± 15)/2, t = 17 или t = 2. Тогда x = ±√17 или x = ±√2. Подкоренное выражение 19t − 34 равно 289 и 4, то есть положительно; корни удовлетворяют уравнению (x² = √(19t − 34) = 17 и 2). Ответ: x = ±√17, x = ±√2.
161.
1) ∛(x³ − 2) = x − 2;
2) ∛(x³ − 5x² + 16x − 5) = x − 2.
1) ∛(x³ − 2) = x − 2;
2) ∛(x³ − 5x² + 16x − 5) = x − 2.
1) Возводим в куб: x³ − 2 = (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8, откуда 6x² − 12x + 6 = 0, x² − 2x + 1 = 0, (x − 1)² = 0, x = 1. Проверка: ∛(1 − 2) = −1 = 1 − 2. Ответ: x = 1.
2) Возводим в куб: x³ − 5x² + 16x − 5 = x³ − 6x² + 12x − 8, откуда x² + 4x + 3 = 0, x = −1 или x = −3. Так как кубический корень определён при всех x и возведение в куб равносильно, проверка необязательна; для контроля: x = −1: подкоренное −1 − 5 − 16 − 5 = −27, ∛(−27) = −3 = −1 − 2. Ответ: x = −3, x = −1.
2) Возводим в куб: x³ − 5x² + 16x − 5 = x³ − 6x² + 12x − 8, откуда x² + 4x + 3 = 0, x = −1 или x = −3. Так как кубический корень определён при всех x и возведение в куб равносильно, проверка необязательна; для контроля: x = −1: подкоренное −1 − 5 − 16 − 5 = −27, ∛(−27) = −3 = −1 − 2. Ответ: x = −3, x = −1.
162. Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение:
1) √(x − 6) = −x²;
2) ∛x = (x − 1)²;
3) √(x + 1) = x² − 7;
4) x³ − 1 = √(x + 1).
1) √(x − 6) = −x²;
2) ∛x = (x − 1)²;
3) √(x + 1) = x² − 7;
4) x³ − 1 = √(x + 1).
В каждом случае строим в одной системе координат графики левой и правой частей; число корней равно числу точек пересечения графиков.
1) График y = √(x − 6) расположен при x ≥ 6 в верхней полуплоскости (y ≥ 0), а график y = −x² лежит при x ≠ 0 в нижней (y < 0), в точке x = 0 y = 0, но при x = 0 корень не определён. Графики не пересекаются. Ответ: корней нет.
2) График y = ∛x проходит через точки (0; 0), (1; 1), (−1; −1); парабола y = (x − 1)² с вершиной (1; 0) проходит через (0; 1). При x = 0 парабола выше (1 > 0), при x = 1 кривая ∛x выше (1 > 0), значит, между 0 и 1 графики пересекаются; при x = 2 ∛2 ≈ 1,26 > 1, а при x = 3 ∛3 ≈ 1,44 < 4, значит, есть ещё одна точка пересечения между 2 и 3. При x < 0 кривая ∛x отрицательна, а парабола положительна — пересечений нет. Ответ: два корня.
3) Область определения: x ≥ −1. При −1 ≤ x < √7 ≈ 2,65 парабола y = x² − 7 лежит ниже оси x (y < 0), а график корня — не ниже неё (y ≥ 0), поэтому пересечений нет. При x ≥ √7 парабола возрастает быстрее корня: в точке x = √7 парабола ниже (0 < √(√7 + 1) ≈ 1,9), при x = 4 она выше (9 > √5). Значит, одна точка пересечения. Ответ: один корень.
4) Область определения: x ≥ −1. При −1 ≤ x ≤ 1 кубическая парабола y = x³ − 1 не выше нуля, а y = √(x + 1) неотрицательна и при x = 1 равна √2, то есть пересечений нет. При x > 1 функция x³ − 1 возрастает быстро: при x = 1 она меньше корня (0 < √2), при x = 2 больше (7 > √3). Разность x³ − 1 − √(x + 1) возрастает на [1; +∞), поэтому пересечение одно. Ответ: один корень.
1) График y = √(x − 6) расположен при x ≥ 6 в верхней полуплоскости (y ≥ 0), а график y = −x² лежит при x ≠ 0 в нижней (y < 0), в точке x = 0 y = 0, но при x = 0 корень не определён. Графики не пересекаются. Ответ: корней нет.
2) График y = ∛x проходит через точки (0; 0), (1; 1), (−1; −1); парабола y = (x − 1)² с вершиной (1; 0) проходит через (0; 1). При x = 0 парабола выше (1 > 0), при x = 1 кривая ∛x выше (1 > 0), значит, между 0 и 1 графики пересекаются; при x = 2 ∛2 ≈ 1,26 > 1, а при x = 3 ∛3 ≈ 1,44 < 4, значит, есть ещё одна точка пересечения между 2 и 3. При x < 0 кривая ∛x отрицательна, а парабола положительна — пересечений нет. Ответ: два корня.
3) Область определения: x ≥ −1. При −1 ≤ x < √7 ≈ 2,65 парабола y = x² − 7 лежит ниже оси x (y < 0), а график корня — не ниже неё (y ≥ 0), поэтому пересечений нет. При x ≥ √7 парабола возрастает быстрее корня: в точке x = √7 парабола ниже (0 < √(√7 + 1) ≈ 1,9), при x = 4 она выше (9 > √5). Значит, одна точка пересечения. Ответ: один корень.
4) Область определения: x ≥ −1. При −1 ≤ x ≤ 1 кубическая парабола y = x³ − 1 не выше нуля, а y = √(x + 1) неотрицательна и при x = 1 равна √2, то есть пересечений нет. При x > 1 функция x³ − 1 возрастает быстро: при x = 1 она меньше корня (0 < √2), при x = 2 больше (7 > √3). Разность x³ − 1 − √(x + 1) возрастает на [1; +∞), поэтому пересечение одно. Ответ: один корень.
163. Решить уравнение:
1) √(4x + 2√(3x² + 4)) = x + 2;
2) 3 − x = √(9 − √(36x² − 5x^4));
3) √(x² + 3x + 12) − √(x² + 3x) = 2;
4) √(x² + 5x + 10) − √(x² + 5x + 3) = 1.
1) √(4x + 2√(3x² + 4)) = x + 2;
2) 3 − x = √(9 − √(36x² − 5x^4));
3) √(x² + 3x + 12) − √(x² + 3x) = 2;
4) √(x² + 5x + 10) − √(x² + 5x + 3) = 1.
1) Необходимо x + 2 ≥ 0. Возводим в квадрат: 4x + 2√(3x² + 4) = x² + 4x + 4, откуда 2√(3x² + 4) = x² + 4. Обе части положительны, возводим ещё раз: 4(3x² + 4) = x^4 + 8x² + 16, x^4 − 4x² = 0, x²(x² − 4) = 0, x = 0 или x = ±2. Все числа удовлетворяют условию x ≥ −2. Проверка: x = 0: √(0 + 2·2) = 2 = 0 + 2; x = 2: √(8 + 2·4) = 4 = 2 + 2; x = −2: √(−8 + 2·4) = 0 = −2 + 2. Ответ: x = 0, x = 2, x = −2.
2) Необходимо 3 − x ≥ 0 и 36x² − 5x^4 ≥ 0. Возводим в квадрат: 9 − 6x + x² = 9 − √(36x² − 5x^4), откуда √(36x² − 5x^4) = 6x − x²; необходимо 6x − x² ≥ 0, то есть 0 ≤ x ≤ 6. Ещё раз в квадрат: 36x² − 5x^4 = 36x² − 12x³ + x^4, 6x^4 − 12x³ = 0, 6x³(x − 2) = 0, x = 0 или x = 2. Оба числа удовлетворяют условиям 0 ≤ x ≤ 3. Проверка: x = 0: 3 = √(9 − 0) = 3; x = 2: 1 = √(9 − √(144 − 80)) = √(9 − 8) = 1. Ответ: x = 0, x = 2.
3) Пусть t = x² + 3x, тогда √(t + 12) − √t = 2 (t ≥ 0). √(t + 12) = 2 + √t; возводим в квадрат: t + 12 = 4 + 4√t + t, откуда √t = 2, t = 4. Тогда x² + 3x − 4 = 0, x = 1 или x = −4. Проверка: при t = 4: √16 − √4 = 2. Ответ: x = 1, x = −4.
4) Пусть t = x² + 5x, тогда √(t + 10) − √(t + 3) = 1 (t ≥ −3). √(t + 10) = 1 + √(t + 3); возводим в квадрат: t + 10 = 1 + 2√(t + 3) + t + 3, откуда 6 = 2√(t + 3), √(t + 3) = 3, t = 6. Тогда x² + 5x − 6 = 0, x = 1 или x = −6. Проверка: при t = 6: √16 − √9 = 1. Ответ: x = 1, x = −6.
2) Необходимо 3 − x ≥ 0 и 36x² − 5x^4 ≥ 0. Возводим в квадрат: 9 − 6x + x² = 9 − √(36x² − 5x^4), откуда √(36x² − 5x^4) = 6x − x²; необходимо 6x − x² ≥ 0, то есть 0 ≤ x ≤ 6. Ещё раз в квадрат: 36x² − 5x^4 = 36x² − 12x³ + x^4, 6x^4 − 12x³ = 0, 6x³(x − 2) = 0, x = 0 или x = 2. Оба числа удовлетворяют условиям 0 ≤ x ≤ 3. Проверка: x = 0: 3 = √(9 − 0) = 3; x = 2: 1 = √(9 − √(144 − 80)) = √(9 − 8) = 1. Ответ: x = 0, x = 2.
3) Пусть t = x² + 3x, тогда √(t + 12) − √t = 2 (t ≥ 0). √(t + 12) = 2 + √t; возводим в квадрат: t + 12 = 4 + 4√t + t, откуда √t = 2, t = 4. Тогда x² + 3x − 4 = 0, x = 1 или x = −4. Проверка: при t = 4: √16 − √4 = 2. Ответ: x = 1, x = −4.
4) Пусть t = x² + 5x, тогда √(t + 10) − √(t + 3) = 1 (t ≥ −3). √(t + 10) = 1 + √(t + 3); возводим в квадрат: t + 10 = 1 + 2√(t + 3) + t + 3, откуда 6 = 2√(t + 3), √(t + 3) = 3, t = 6. Тогда x² + 5x − 6 = 0, x = 1 или x = −6. Проверка: при t = 6: √16 − √9 = 1. Ответ: x = 1, x = −6.
164. Решить уравнение:
1) √(x + √(6x − 9)) + √(x − √(6x − 9)) = √6;
2) √(x + √(x + 11)) + √(x − √(x + 11)) = 4.
1) √(x + √(6x − 9)) + √(x − √(6x − 9)) = √6;
2) √(x + √(x + 11)) + √(x − √(x + 11)) = 4.
1) ОДЗ: 6x − 9 ≥ 0, x ≥ 3/2; выражение x − √(6x − 9) ≥ 0 равносильно x² ≥ 6x − 9, то есть (x − 3)² ≥ 0, что верно всегда. Обе части уравнения неотрицательны; возводим в квадрат: x + √(6x − 9) + x − √(6x − 9) + 2√(x² − (6x − 9)) = 6, то есть 2x + 2√((x − 3)²) = 6, x + |x − 3| = 3. Если x ≥ 3: 2x − 3 = 3, x = 3. Если 3/2 ≤ x < 3: x + 3 − x = 3 — верно при всех таких x. Объединяя, получаем 3/2 ≤ x ≤ 3. Проверка: x = 2: √(2 + √3) + √(2 − √3) = √(4 + 2·1) = √6. Ответ: 3/2 ≤ x ≤ 3.
2) ОДЗ: x + 11 ≥ 0 и x − √(x + 11) ≥ 0. Возводим в квадрат: x + √(x + 11) + x − √(x + 11) + 2√(x² − (x + 11)) = 16, то есть 2x + 2√(x² − x − 11) = 16, √(x² − x − 11) = 8 − x. Необходимо x ≤ 8. Тогда x² − x − 11 = 64 − 16x + x², 15x = 75, x = 5. Проверка: √(5 + √16) + √(5 − √16) = √9 + √1 = 3 + 1 = 4. Ответ: x = 5.
2) ОДЗ: x + 11 ≥ 0 и x − √(x + 11) ≥ 0. Возводим в квадрат: x + √(x + 11) + x − √(x + 11) + 2√(x² − (x + 11)) = 16, то есть 2x + 2√(x² − x − 11) = 16, √(x² − x − 11) = 8 − x. Необходимо x ≤ 8. Тогда x² − x − 11 = 64 − 16x + x², 15x = 75, x = 5. Проверка: √(5 + √16) + √(5 − √16) = √9 + √1 = 3 + 1 = 4. Ответ: x = 5.