Глава II. Упражнения к главе II — с. 70
180. Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений:
1) y = 0,5x + 3;
2) y = 2/(x − 3);
3) y = (x + 2)³;
4) y = x³ − 1.
1) y = 0,5x + 3;
2) y = 2/(x − 3);
3) y = (x + 2)³;
4) y = x³ − 1.
Чтобы найти обратную функцию, выражаем x через y и меняем обозначения x и y местами. Область определения обратной функции равна множеству значений исходной, а множество значений обратной — области определения исходной.
1) y = 0,5x + 3 ⇒ 0,5x = y − 3 ⇒ x = 2y − 6. Обратная функция: y = 2x − 6. Исходная: D = R, E = R, поэтому у обратной D = R, E = R.
2) y = 2/(x − 3), D = (−∞; 3) и (3; +∞), E: y ≠ 0. Выражаем: x − 3 = 2/y ⇒ x = 2/y + 3. Обратная функция: y = 2/x + 3. Её область определения: x ≠ 0, множество значений: y ≠ 3.
3) y = (x + 2)³ ⇒ x + 2 = ∛y ⇒ x = ∛y − 2. Обратная функция: y = ∛x − 2. D = R, E = R.
4) y = x³ − 1 ⇒ x³ = y + 1 ⇒ x = ∛(y + 1). Обратная функция: y = ∛(x + 1). D = R, E = R.
1) y = 0,5x + 3 ⇒ 0,5x = y − 3 ⇒ x = 2y − 6. Обратная функция: y = 2x − 6. Исходная: D = R, E = R, поэтому у обратной D = R, E = R.
2) y = 2/(x − 3), D = (−∞; 3) и (3; +∞), E: y ≠ 0. Выражаем: x − 3 = 2/y ⇒ x = 2/y + 3. Обратная функция: y = 2/x + 3. Её область определения: x ≠ 0, множество значений: y ≠ 3.
3) y = (x + 2)³ ⇒ x + 2 = ∛y ⇒ x = ∛y − 2. Обратная функция: y = ∛x − 2. D = R, E = R.
4) y = x³ − 1 ⇒ x³ = y + 1 ⇒ x = ∛(y + 1). Обратная функция: y = ∛(x + 1). D = R, E = R.
181. Изобразить график функции, обратной к функции, график которой представлен на рисунке 33.
[рисунок 33: а) график функции y = f(x), выходящий из точки (0; 0) и проходящий через точки (1; 1) и (4; 2) — ветвь вида √x; б) график функции y = g(x), выходящий из точки (0; 1) и проходящий через точки (1; 2) и (4; 3) — ветвь вида 1 + √x]
[рисунок 33: а) график функции y = f(x), выходящий из точки (0; 0) и проходящий через точки (1; 1) и (4; 2) — ветвь вида √x; б) график функции y = g(x), выходящий из точки (0; 1) и проходящий через точки (1; 2) и (4; 3) — ветвь вида 1 + √x]
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. Поэтому каждую точку (a; b) исходного графика заменяем точкой (b; a) и соединяем плавной линией.
а) По рисунку график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), то есть это график y = √x. Обратная функция: y = x², x ≥ 0 — правая ветвь параболы, проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (2; 4).
б) График проходит через точки (0; 1), (1; 2), (4; 3), то есть это график y = 1 + √x. Обратная функция: x = (y − 1)², y = (x − 1)², x ≥ 1 — правая ветвь параболы с вершиной (1; 0), проходящая через точки (2; 1), (3; 4).
На рисунке исходные графики показаны чёрным, обратные — красным, штриховая линия — прямая y = x.
а) По рисунку график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), то есть это график y = √x. Обратная функция: y = x², x ≥ 0 — правая ветвь параболы, проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (2; 4).
б) График проходит через точки (0; 1), (1; 2), (4; 3), то есть это график y = 1 + √x. Обратная функция: x = (y − 1)², y = (x − 1)², x ≥ 1 — правая ветвь параболы с вершиной (1; 0), проходящая через точки (2; 1), (3; 4).
На рисунке исходные графики показаны чёрным, обратные — красным, штриховая линия — прямая y = x.
182. Являются ли равносильными уравнения:
1) 2^(x² + 3x) = 2² и x² + 3x = 2;
2) √(x² + 3x) = √2 и x² + 3x = 2;
3) ∛(x + 18) = ∛(2 − x) и x + 18 = 2 − x?
1) 2^(x² + 3x) = 2² и x² + 3x = 2;
2) √(x² + 3x) = √2 и x² + 3x = 2;
3) ∛(x + 18) = ∛(2 − x) и x + 18 = 2 − x?
1) Показательная функция y = 2^t строго возрастает, поэтому 2^t = 2² ⇔ t = 2. При t = x² + 3x получаем равносильное уравнение x² + 3x = 2. Да, равносильны.
2) Если √u = √2, то u = 2; обратно, если u = 2, то √u = √2 (и подкоренное выражение u = 2 ≥ 0). Значит, √(x² + 3x) = √2 ⇔ x² + 3x = 2. Да, равносильны.
3) Функция ∛t определена на всей оси и строго возрастает, поэтому ∛u = ∛v ⇔ u = v. Да, равносильны.
Во всех трёх случаях множества корней совпадают: x² + 3x − 2 = 0, x = (−3 ± √17)/2.
2) Если √u = √2, то u = 2; обратно, если u = 2, то √u = √2 (и подкоренное выражение u = 2 ≥ 0). Значит, √(x² + 3x) = √2 ⇔ x² + 3x = 2. Да, равносильны.
3) Функция ∛t определена на всей оси и строго возрастает, поэтому ∛u = ∛v ⇔ u = v. Да, равносильны.
Во всех трёх случаях множества корней совпадают: x² + 3x − 2 = 0, x = (−3 ± √17)/2.
183. Решить уравнение:
1) √(3 − x) = 2;
2) √(3x + 1) = 8;
3) √(3 − 4x) = 2x;
4) √(5x − 1 + 3x²) = 3x;
5) ∛(x² − 17) = 2;
6) корень 4-й степени из (x² + 17) = 3.
1) √(3 − x) = 2;
2) √(3x + 1) = 8;
3) √(3 − 4x) = 2x;
4) √(5x − 1 + 3x²) = 3x;
5) ∛(x² − 17) = 2;
6) корень 4-й степени из (x² + 17) = 3.
1) 3 − x = 4, x = −1. Проверка: √4 = 2. Ответ: x = −1.
2) 3x + 1 = 64, 3x = 63, x = 21. Проверка: √64 = 8. Ответ: x = 21.
3) Необходимо 2x ≥ 0, x ≥ 0. Возводим в квадрат: 3 − 4x = 4x², 4x² + 4x − 3 = 0, D = 16 + 48 = 64, x = (−4 ± 8)/8, x = 1/2 или x = −3/2. Условию x ≥ 0 удовлетворяет x = 1/2. Проверка: √(3 − 2) = 1 = 2·1/2. Ответ: x = 1/2.
4) Необходимо x ≥ 0. Возводим в квадрат: 3x² + 5x − 1 = 9x², 6x² − 5x + 1 = 0, D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1)/12, x = 1/2 или x = 1/3. Оба корня неотрицательны. Проверка: x = 1/2: √(3/4 + 5/2 − 1) = √(9/4) = 3/2 = 3·1/2; x = 1/3: √(1/3 + 5/3 − 1) = √1 = 1 = 3·1/3. Ответ: x = 1/3, x = 1/2.
5) Возводим в куб: x² − 17 = 8, x² = 25, x = ±5. Ответ: x = −5, x = 5.
6) Возводим в 4-ю степень: x² + 17 = 81, x² = 64, x = ±8. Ответ: x = −8, x = 8.
2) 3x + 1 = 64, 3x = 63, x = 21. Проверка: √64 = 8. Ответ: x = 21.
3) Необходимо 2x ≥ 0, x ≥ 0. Возводим в квадрат: 3 − 4x = 4x², 4x² + 4x − 3 = 0, D = 16 + 48 = 64, x = (−4 ± 8)/8, x = 1/2 или x = −3/2. Условию x ≥ 0 удовлетворяет x = 1/2. Проверка: √(3 − 2) = 1 = 2·1/2. Ответ: x = 1/2.
4) Необходимо x ≥ 0. Возводим в квадрат: 3x² + 5x − 1 = 9x², 6x² − 5x + 1 = 0, D = 25 − 24 = 1, x = (5 ± 1)/12, x = 1/2 или x = 1/3. Оба корня неотрицательны. Проверка: x = 1/2: √(3/4 + 5/2 − 1) = √(9/4) = 3/2 = 3·1/2; x = 1/3: √(1/3 + 5/3 − 1) = √1 = 1 = 3·1/3. Ответ: x = 1/3, x = 1/2.
5) Возводим в куб: x² − 17 = 8, x² = 25, x = ±5. Ответ: x = −5, x = 5.
6) Возводим в 4-ю степень: x² + 17 = 81, x² = 64, x = ±8. Ответ: x = −8, x = 8.
Проверь себя!
Задание 1. Найти область определения функции:
1) y = 3(x − 1)^(−3);
2) y = корень 4-й степени из (x² − 3x − 4).
1) y = 3(x − 1)^(−3);
2) y = корень 4-й степени из (x² − 3x − 4).
1) y = 3/(x − 1)³ — выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю: x − 1 ≠ 0, x ≠ 1. Ответ: D(y) = (−∞; 1) и (1; +∞).
2) Корень чётной степени: x² − 3x − 4 ≥ 0. Корни трёхчлена x = −1 и x = 4, ветви параболы вверх, поэтому x ≤ −1 или x ≥ 4. Ответ: D(y) = (−∞; −1] и [4; +∞).
2) Корень чётной степени: x² − 3x − 4 ≥ 0. Корни трёхчлена x = −1 и x = 4, ветви параболы вверх, поэтому x ≤ −1 или x ≥ 4. Ответ: D(y) = (−∞; −1] и [4; +∞).
Проверь себя!
Задание 2. Построить график функции:
1) y = ∛(x + 1);
2) y = 2x^(−2);
3) y = x^4/2.
Для каждой функции указать область определения и значения x, при которых y > 0.
1) y = ∛(x + 1);
2) y = 2x^(−2);
3) y = x^4/2.
Для каждой функции указать область определения и значения x, при которых y > 0.
1) График y = ∛(x + 1) получается сдвигом графика y = ∛x на 1 единицу влево. Точки: (−2; −1), (−1; 0), (0; 1), (7; 2). D(y) = R. y > 0 ⇔ x + 1 > 0 ⇔ x > −1.
2) y = 2/x² — чётная функция, график состоит из двух ветвей в I и II четвертях, оси — асимптоты; точки (±1; 2), (±2; 0,5), (±0,5; 8). D(y) = (−∞; 0) и (0; +∞). Так как x² > 0 при x ≠ 0, то y > 0 при всех x ≠ 0.
3) y = x^4/2 — чётная функция, график похож на параболу, вершина (0; 0), точки (±1; 0,5), (±2; 8). D(y) = R. y > 0 при всех x ≠ 0 (y = 0 при x = 0).
На рисунке красным на оси x отмечены значения x, при которых y > 0.
2) y = 2/x² — чётная функция, график состоит из двух ветвей в I и II четвертях, оси — асимптоты; точки (±1; 2), (±2; 0,5), (±0,5; 8). D(y) = (−∞; 0) и (0; +∞). Так как x² > 0 при x ≠ 0, то y > 0 при всех x ≠ 0.
3) y = x^4/2 — чётная функция, график похож на параболу, вершина (0; 0), точки (±1; 0,5), (±2; 8). D(y) = R. y > 0 при всех x ≠ 0 (y = 0 при x = 0).
На рисунке красным на оси x отмечены значения x, при которых y > 0.
Проверь себя!
Задание 3. Решить уравнение:
1) ∛(x − 3) = 5;
2) √(3 − x − x²) = x.
1) ∛(x − 3) = 5;
2) √(3 − x − x²) = x.
1) Возводим в куб: x − 3 = 125, x = 128. Проверка: ∛125 = 5. Ответ: x = 128.
2) Необходимо x ≥ 0. Возводим в квадрат: 3 − x − x² = x², 2x² + x − 3 = 0, D = 1 + 24 = 25, x = (−1 ± 5)/4, x = 1 или x = −3/2. Условию x ≥ 0 удовлетворяет только x = 1. Проверка: √(3 − 1 − 1) = 1. Ответ: x = 1.
2) Необходимо x ≥ 0. Возводим в квадрат: 3 − x − x² = x², 2x² + x − 3 = 0, D = 1 + 24 = 25, x = (−1 ± 5)/4, x = 1 или x = −3/2. Условию x ≥ 0 удовлетворяет только x = 1. Проверка: √(3 − 1 − 1) = 1. Ответ: x = 1.