Глава III. § 12. Показательные уравнения — с. 77
203. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 2ˣ на отрезке [−1; 2].
Функция y = 2ˣ возрастает на всей числовой прямой (основание 2 > 1), поэтому на отрезке [−1; 2] наименьшее значение принимается в левом конце, наибольшее — в правом.
Наименьшее: y(−1) = 2^(−1) = 1/2.
Наибольшее: y(2) = 2² = 4.
Ответ: наименьшее значение 1/2, наибольшее значение 4.
Наименьшее: y(−1) = 2^(−1) = 1/2.
Наибольшее: y(2) = 2² = 4.
Ответ: наименьшее значение 1/2, наибольшее значение 4.
204. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 2^|x| на отрезке [−1; 1].
Функция y = 2^|x| чётная; на отрезке [−1; 1] величина t = |x| принимает значения от 0 до 1, причём t = 0 только при x = 0, t = 1 при x = ±1.
Поскольку функция 2ᵗ возрастает, наименьшее значение: 2⁰ = 1 (при x = 0); наибольшее значение: 2¹ = 2 (при x = −1 и x = 1).
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 2.
Поскольку функция 2ᵗ возрастает, наименьшее значение: 2⁰ = 1 (при x = 0); наибольшее значение: 2¹ = 2 (при x = −1 и x = 1).
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 2.
205. Построить график функции:
1) y = 2^|x|;
2) y = (1/3)^|x|;
3) y = |3ˣ − 2|;
4) y = 2 − 3ˣ.
1) y = 2^|x|;
2) y = (1/3)^|x|;
3) y = |3ˣ − 2|;
4) y = 2 − 3ˣ.
1) y = 2^|x|. Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy. При x ≥ 0 это y = 2ˣ (возрастает от 1), при x < 0 — зеркальное отражение. Точка (0; 1) — наименьшее значение, «излом» в этой точке.
2) y = (1/3)^|x|. Чётная функция: при x ≥ 0 — график убывающей y = (1/3)ˣ, при x < 0 — его отражение относительно Oy. Наибольшее значение 1 при x = 0; ось Ox — асимптота.
3) y = |3ˣ − 2|. Сначала строим y = 3ˣ − 2 (график y = 3ˣ, сдвинутый на 2 вниз; пересекает Ox в точке x = log₃ 2 ≈ 0,63, с Oy в точке (0; −1)). Затем часть графика, лежащую ниже оси Ox (при x < log₃ 2), отражаем симметрично относительно оси Ox. Получаем кривую с вершиной в (log₃ 2; 0), точкой (0; 1) и асимптотой y = 2 при x → −∞.
4) y = 2 − 3ˣ = −3ˣ + 2. Отражаем график y = 3ˣ относительно оси Ox и сдвигаем вверх на 2. Асимптота y = 2, точки (0; 1), (log₃ 2; 0). Функция убывает, значения y < 2.
Ответ: графики на рисунке.
2) y = (1/3)^|x|. Чётная функция: при x ≥ 0 — график убывающей y = (1/3)ˣ, при x < 0 — его отражение относительно Oy. Наибольшее значение 1 при x = 0; ось Ox — асимптота.
3) y = |3ˣ − 2|. Сначала строим y = 3ˣ − 2 (график y = 3ˣ, сдвинутый на 2 вниз; пересекает Ox в точке x = log₃ 2 ≈ 0,63, с Oy в точке (0; −1)). Затем часть графика, лежащую ниже оси Ox (при x < log₃ 2), отражаем симметрично относительно оси Ox. Получаем кривую с вершиной в (log₃ 2; 0), точкой (0; 1) и асимптотой y = 2 при x → −∞.
4) y = 2 − 3ˣ = −3ˣ + 2. Отражаем график y = 3ˣ относительно оси Ox и сдвигаем вверх на 2. Асимптота y = 2, точки (0; 1), (log₃ 2; 0). Функция убывает, значения y < 2.
Ответ: графики на рисунке.
206. При радиоактивном распаде количество некоторого вещества уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через 1,5 суток? через 3,5 суток?
Вычисления провести на микрокалькуляторе.
Период полураспада T = 1 сутки, начальная масса m₀ = 250 г. Масса через t суток: m(t) = m₀ · (1/2)^(t/T) = 250 · 2^(−t).
Через 1,5 суток: m = 250 · 2^(−1,5) = 250/(2·√2) ≈ 250/2,828 ≈ 88,4 г.
Через 3,5 суток: m = 250 · 2^(−3,5) = 250/(8·√2) ≈ 250/11,314 ≈ 22,1 г.
Ответ: примерно 88,4 г и 22,1 г.
Через 1,5 суток: m = 250 · 2^(−1,5) = 250/(2·√2) ≈ 250/2,828 ≈ 88,4 г.
Через 3,5 суток: m = 250 · 2^(−3,5) = 250/(8·√2) ≈ 250/11,314 ≈ 22,1 г.
Ответ: примерно 88,4 г и 22,1 г.
207. На некотором лесном участке можно заготовить 4 · 10⁵ м³ древесины. Ежегодный прирост деревьев равен 4 %. Сколько можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет?
Вычисления провести на микрокалькуляторе.
Ежегодно количество древесины увеличивается в 1,04 раза, поэтому через n лет оно равно 4 · 10⁵ · 1,04ⁿ.
При n = 5: 1,04² = 1,0816; 1,04⁴ = 1,16985856; 1,04⁵ ≈ 1,21665. Тогда 4 · 10⁵ · 1,21665 ≈ 4,8666 · 10⁵.
Ответ: примерно 4,87 · 10⁵ м³.
При n = 5: 1,04² = 1,0816; 1,04⁴ = 1,16985856; 1,04⁵ ≈ 1,21665. Тогда 4 · 10⁵ · 1,21665 ≈ 4,8666 · 10⁵.
Ответ: примерно 4,87 · 10⁵ м³.