Глава III. § 12. Показательные уравнения — с. 80
215. Решить уравнение:
1) 0,3^(x³ − x² + x − 1) = 1;
2) (2 1/3)^(−x² − 2x + 3) = 1;
3) 5,1^((1/2)(x − 3)) = 5,1 · √5,1;
4) 100^(x² − 1) = 10^(1 − 5x).
1) 0,3^(x³ − x² + x − 1) = 1;
2) (2 1/3)^(−x² − 2x + 3) = 1;
3) 5,1^((1/2)(x − 3)) = 5,1 · √5,1;
4) 100^(x² − 1) = 10^(1 − 5x).
1) Показатель равен нулю: x³ − x² + x − 1 = x²(x − 1) + (x − 1) = (x − 1)(x² + 1) = 0. Так как x² + 1 > 0, x = 1.
2) −x² − 2x + 3 = 0, x² + 2x − 3 = 0, x₁ = 1, x₂ = −3.
3) 5,1 · √5,1 = 5,1^(3/2). Тогда (x − 3)/2 = 3/2, x − 3 = 3, x = 6.
4) 100^(x² − 1) = 10^(2x² − 2). Тогда 2x² − 2 = 1 − 5x, 2x² + 5x − 3 = 0, D = 25 + 24 = 49, x = (−5 ± 7)/4: x₁ = 1/2, x₂ = −3.
Ответ: 1) 1; 2) 1; −3; 3) 6; 4) 1/2; −3.
2) −x² − 2x + 3 = 0, x² + 2x − 3 = 0, x₁ = 1, x₂ = −3.
3) 5,1 · √5,1 = 5,1^(3/2). Тогда (x − 3)/2 = 3/2, x − 3 = 3, x = 6.
4) 100^(x² − 1) = 10^(2x² − 2). Тогда 2x² − 2 = 1 − 5x, 2x² + 5x − 3 = 0, D = 25 + 24 = 49, x = (−5 ± 7)/4: x₁ = 1/2, x₂ = −3.
Ответ: 1) 1; 2) 1; −3; 3) 6; 4) 1/2; −3.
216. Решить уравнение:
1) 10ˣ = ∛100;
2) 10ˣ = корень 5-й степени из (10 000);
3) 225^(2x² − 24) = 15;
4) 10ˣ = 1/(корень 4-й степени из (10 000));
5) (√10)ˣ = 10^(x² − x);
6) 100^(x² − 1) = 10^(1 − 5x).
1) 10ˣ = ∛100;
2) 10ˣ = корень 5-й степени из (10 000);
3) 225^(2x² − 24) = 15;
4) 10ˣ = 1/(корень 4-й степени из (10 000));
5) (√10)ˣ = 10^(x² − x);
6) 100^(x² − 1) = 10^(1 − 5x).
1) ∛100 = 10^(2/3), x = 2/3.
2) корень 5-й степени из 10 000 = (10⁴)^(1/5) = 10^(4/5), x = 4/5.
3) 225 = 15², значит 15^(2(2x² − 24)) = 15¹, 4x² − 48 = 1, x² = 49/4, x = ±7/2.
4) корень 4-й степени из 10 000 = 10, 1/10 = 10^(−1), x = −1.
5) (√10)ˣ = 10^(x/2), поэтому x/2 = x² − x, x² − (3/2)x = 0, x(x − 3/2) = 0, x₁ = 0, x₂ = 3/2.
6) 10^(2x² − 2) = 10^(1 − 5x), 2x² + 5x − 3 = 0, x₁ = 1/2, x₂ = −3.
Ответ: 1) 2/3; 2) 4/5; 3) −7/2; 7/2; 4) −1; 5) 0; 3/2; 6) 1/2; −3.
2) корень 5-й степени из 10 000 = (10⁴)^(1/5) = 10^(4/5), x = 4/5.
3) 225 = 15², значит 15^(2(2x² − 24)) = 15¹, 4x² − 48 = 1, x² = 49/4, x = ±7/2.
4) корень 4-й степени из 10 000 = 10, 1/10 = 10^(−1), x = −1.
5) (√10)ˣ = 10^(x/2), поэтому x/2 = x² − x, x² − (3/2)x = 0, x(x − 3/2) = 0, x₁ = 0, x₂ = 3/2.
6) 10^(2x² − 2) = 10^(1 − 5x), 2x² + 5x − 3 = 0, x₁ = 1/2, x₂ = −3.
Ответ: 1) 2/3; 2) 4/5; 3) −7/2; 7/2; 4) −1; 5) 0; 3/2; 6) 1/2; −3.
217. Решить уравнение:
1) 2^(x²) · (1/2)^((1/4)x) = корень 4-й степени из (8);
2) 5^(0,1x) · (1/5)^(−0,06) = 5^(x²);
3) (1/2)^(√(1 − x)) · (1/2)^(−1) = (1/2)^(2x);
4) 0,7^(√(x + 12)) · 0,7^(−2) = 0,7^(√x).
1) 2^(x²) · (1/2)^((1/4)x) = корень 4-й степени из (8);
2) 5^(0,1x) · (1/5)^(−0,06) = 5^(x²);
3) (1/2)^(√(1 − x)) · (1/2)^(−1) = (1/2)^(2x);
4) 0,7^(√(x + 12)) · 0,7^(−2) = 0,7^(√x).
1) (1/2)^(x/4) = 2^(−x/4), корень 4-й степени из 8 = 2^(3/4). Тогда x² − x/4 = 3/4, 4x² − x − 3 = 0, D = 1 + 48 = 49, x = (1 ± 7)/8: x₁ = 1, x₂ = −3/4.
2) (1/5)^(−0,06) = 5^(0,06). Тогда 0,1x + 0,06 = x², x² − 0,1x − 0,06 = 0, D = 0,01 + 0,24 = 0,25, x = (0,1 ± 0,5)/2: x₁ = 0,3, x₂ = −0,2.
3) ОДЗ: x ≤ 1. Показатели: √(1 − x) − 1 = 2x, √(1 − x) = 2x + 1. Необходимо 2x + 1 ≥ 0. Возводим в квадрат: 1 − x = 4x² + 4x + 1, 4x² + 5x = 0, x = 0 или x = −5/4. Значение −5/4 не подходит (2x + 1 < 0, а также нарушает условие). Проверка x = 0: √1 − 1 = 0 = 2·0. Ответ x = 0.
4) ОДЗ: x ≥ 0. √(x + 12) − 2 = √x, √(x + 12) = √x + 2, x + 12 = x + 4√x + 4, √x = 2, x = 4. Проверка: √16 − 2 = 2 = √4. Верно.
Ответ: 1) 1; −3/4; 2) 0,3; −0,2; 3) 0; 4) 4.
2) (1/5)^(−0,06) = 5^(0,06). Тогда 0,1x + 0,06 = x², x² − 0,1x − 0,06 = 0, D = 0,01 + 0,24 = 0,25, x = (0,1 ± 0,5)/2: x₁ = 0,3, x₂ = −0,2.
3) ОДЗ: x ≤ 1. Показатели: √(1 − x) − 1 = 2x, √(1 − x) = 2x + 1. Необходимо 2x + 1 ≥ 0. Возводим в квадрат: 1 − x = 4x² + 4x + 1, 4x² + 5x = 0, x = 0 или x = −5/4. Значение −5/4 не подходит (2x + 1 < 0, а также нарушает условие). Проверка x = 0: √1 − 1 = 0 = 2·0. Ответ x = 0.
4) ОДЗ: x ≥ 0. √(x + 12) − 2 = √x, √(x + 12) = √x + 2, x + 12 = x + 4√x + 4, √x = 2, x = 4. Проверка: √16 − 2 = 2 = √4. Верно.
Ответ: 1) 1; −3/4; 2) 0,3; −0,2; 3) 0; 4) 4.
218. Решить уравнение:
1) 7ˣ − 7^(x − 1) = 6;
2) 3^(2y − 1) + 3^(2y − 2) − 3^(2y − 4) = 315;
3) 5^(3x) + 3 · 5^(3x − 2) = 140;
4) 2^(x + 1) + 3 · 2^(x − 1) − 5 · 2ˣ + 6 = 0.
1) 7ˣ − 7^(x − 1) = 6;
2) 3^(2y − 1) + 3^(2y − 2) − 3^(2y − 4) = 315;
3) 5^(3x) + 3 · 5^(3x − 2) = 140;
4) 2^(x + 1) + 3 · 2^(x − 1) − 5 · 2ˣ + 6 = 0.
1) 7^(x − 1)(7 − 1) = 6, 7^(x − 1) = 1, x = 1.
2) 3^(2y − 4)(3³ + 3² − 1) = 315, 35 · 3^(2y − 4) = 315, 3^(2y − 4) = 9, 2y − 4 = 2, y = 3.
3) 5^(3x − 2)(5² + 3) = 140, 28 · 5^(3x − 2) = 140, 5^(3x − 2) = 5, 3x − 2 = 1, x = 1.
4) 2ˣ(2 + 3/2 − 5) + 6 = 0, −(3/2)·2ˣ = −6, 2ˣ = 4, x = 2.
Ответ: 1) 1; 2) y = 3; 3) 1; 4) 2.
2) 3^(2y − 4)(3³ + 3² − 1) = 315, 35 · 3^(2y − 4) = 315, 3^(2y − 4) = 9, 2y − 4 = 2, y = 3.
3) 5^(3x − 2)(5² + 3) = 140, 28 · 5^(3x − 2) = 140, 5^(3x − 2) = 5, 3x − 2 = 1, x = 1.
4) 2ˣ(2 + 3/2 − 5) + 6 = 0, −(3/2)·2ˣ = −6, 2ˣ = 4, x = 2.
Ответ: 1) 1; 2) y = 3; 3) 1; 4) 2.
219. Решить уравнение:
1) 7^(x − 2) = 3^(2 − x);
2) 2^(x − 3) = 3^(3 − x);
3) 3^((x + 2)/4) = 5^(x + 2);
4) 4^((x − 3)/2) = 3^(2(x − 3)).
1) 7^(x − 2) = 3^(2 − x);
2) 2^(x − 3) = 3^(3 − x);
3) 3^((x + 2)/4) = 5^(x + 2);
4) 4^((x − 3)/2) = 3^(2(x − 3)).
Сводим к виду aᵘ = 1 при a ≠ 1, откуда u = 0.
1) 3^(2 − x) = 3^(−(x − 2)); 7^(x − 2) · 3^(x − 2) = 1, 21^(x − 2) = 1, x = 2.
2) 2^(x − 3) · 3^(x − 3) = 1, 6^(x − 3) = 1, x = 3.
3) (3^(1/4))^(x + 2) = 5^(x + 2), (3^(1/4)/5)^(x + 2) = 1, основание ≠ 1, x + 2 = 0, x = −2.
4) 4^((x − 3)/2) = 2^(x − 3), 3^(2(x − 3)) = 9^(x − 3); (2/9)^(x − 3) = 1, x = 3.
Ответ: 1) 2; 2) 3; 3) −2; 4) 3.
1) 3^(2 − x) = 3^(−(x − 2)); 7^(x − 2) · 3^(x − 2) = 1, 21^(x − 2) = 1, x = 2.
2) 2^(x − 3) · 3^(x − 3) = 1, 6^(x − 3) = 1, x = 3.
3) (3^(1/4))^(x + 2) = 5^(x + 2), (3^(1/4)/5)^(x + 2) = 1, основание ≠ 1, x + 2 = 0, x = −2.
4) 4^((x − 3)/2) = 2^(x − 3), 3^(2(x − 3)) = 9^(x − 3); (2/9)^(x − 3) = 1, x = 3.
Ответ: 1) 2; 2) 3; 3) −2; 4) 3.
220. Решить уравнение:
1) (0,5)^(x² − 4x + 3) = (0,5)^(2x² + x + 3);
2) (0,1)^(3 + 2x) = (0,1)^(2 − x²);
3) 3^(√(x − 6)) = 3ˣ;
4) (1/3)ˣ = (1/3)^(√(2 − x)).
1) (0,5)^(x² − 4x + 3) = (0,5)^(2x² + x + 3);
2) (0,1)^(3 + 2x) = (0,1)^(2 − x²);
3) 3^(√(x − 6)) = 3ˣ;
4) (1/3)ˣ = (1/3)^(√(2 − x)).
1) x² − 4x + 3 = 2x² + x + 3, x² + 5x = 0, x₁ = 0, x₂ = −5.
2) 3 + 2x = 2 − x², x² + 2x + 1 = 0, (x + 1)² = 0, x = −1.
3) ОДЗ: x ≥ 6. √(x − 6) = x; так как x ≥ 6 > 0, возводим в квадрат: x − 6 = x², x² − x + 6 = 0, D = 1 − 24 < 0. Корней нет.
4) ОДЗ: x ≤ 2. x = √(2 − x), нужно x ≥ 0; x² = 2 − x, x² + x − 2 = 0, x = 1 или x = −2. x = −2 не подходит (x ≥ 0). Проверка x = 1: √1 = 1.
Ответ: 1) 0; −5; 2) −1; 3) корней нет; 4) 1.
2) 3 + 2x = 2 − x², x² + 2x + 1 = 0, (x + 1)² = 0, x = −1.
3) ОДЗ: x ≥ 6. √(x − 6) = x; так как x ≥ 6 > 0, возводим в квадрат: x − 6 = x², x² − x + 6 = 0, D = 1 − 24 < 0. Корней нет.
4) ОДЗ: x ≤ 2. x = √(2 − x), нужно x ≥ 0; x² = 2 − x, x² + x − 2 = 0, x = 1 или x = −2. x = −2 не подходит (x ≥ 0). Проверка x = 1: √1 = 1.
Ответ: 1) 0; −5; 2) −1; 3) корней нет; 4) 1.
221. Решить уравнение:
1) 2^|x − 2| = 2^|x + 4|;
2) 1,5^|5 − x| = 1,5^|x − 1|;
3) 3^|x + 1| = 3^(2 − |x|);
4) 3^|x| = 3^(|2 − x| − 1).
1) 2^|x − 2| = 2^|x + 4|;
2) 1,5^|5 − x| = 1,5^|x − 1|;
3) 3^|x + 1| = 3^(2 − |x|);
4) 3^|x| = 3^(|2 − x| − 1).
Основания равны, поэтому приравниваем показатели.
1) |x − 2| = |x + 4|. Возводим в квадрат: x² − 4x + 4 = x² + 8x + 16, −12x = 12, x = −1.
2) |5 − x| = |x − 1|: 25 − 10x + x² = x² − 2x + 1, 24 = 8x, x = 3.
3) |x + 1| + |x| = 2. Нули модулей −1 и 0.
При x < −1: −x − 1 − x = 2, x = −3/2 (подходит).
При −1 ≤ x < 0: x + 1 − x = 1 ≠ 2, решений нет.
При x ≥ 0: x + 1 + x = 2, x = 1/2 (подходит).
4) |x| = |2 − x| − 1. Нули модулей 0 и 2.
При x < 0: −x = 2 − x − 1, 0 = 1, решений нет.
При 0 ≤ x < 2: x = 2 − x − 1, x = 1/2 (подходит).
При x ≥ 2: x = x − 2 − 1, 0 = −3, решений нет.
Ответ: 1) −1; 2) 3; 3) −3/2; 1/2; 4) 1/2.
Оговорка: в ответах учебника к пункту 4) указано x = 1; проверка подстановкой даёт |1| = 1, а |2 − 1| − 1 = 0, поэтому x = 1 не является корнем, верный корень 1/2.
1) |x − 2| = |x + 4|. Возводим в квадрат: x² − 4x + 4 = x² + 8x + 16, −12x = 12, x = −1.
2) |5 − x| = |x − 1|: 25 − 10x + x² = x² − 2x + 1, 24 = 8x, x = 3.
3) |x + 1| + |x| = 2. Нули модулей −1 и 0.
При x < −1: −x − 1 − x = 2, x = −3/2 (подходит).
При −1 ≤ x < 0: x + 1 − x = 1 ≠ 2, решений нет.
При x ≥ 0: x + 1 + x = 2, x = 1/2 (подходит).
4) |x| = |2 − x| − 1. Нули модулей 0 и 2.
При x < 0: −x = 2 − x − 1, 0 = 1, решений нет.
При 0 ≤ x < 2: x = 2 − x − 1, x = 1/2 (подходит).
При x ≥ 2: x = x − 2 − 1, 0 = −3, решений нет.
Ответ: 1) −1; 2) 3; 3) −3/2; 1/2; 4) 1/2.
Оговорка: в ответах учебника к пункту 4) указано x = 1; проверка подстановкой даёт |1| = 1, а |2 − 1| − 1 = 0, поэтому x = 1 не является корнем, верный корень 1/2.
222. Решить уравнение:
1) 3^(x + 3) + 3ˣ = 7^(x + 1) + 5 · 7ˣ;
2) 3^(x + 4) + 3 · 5^(x + 3) = 5^(x + 4) + 3^(x + 3);
3) 2^(8 − x) + 7^(3 − x) = 7^(4 − x) + 2^(3 − x) · 11;
4) 2^(x + 1) + 2^(x − 1) − 3^(x − 1) = 3^(x − 2) − 2^(x − 3) + 2 · 3^(x − 3).
1) 3^(x + 3) + 3ˣ = 7^(x + 1) + 5 · 7ˣ;
2) 3^(x + 4) + 3 · 5^(x + 3) = 5^(x + 4) + 3^(x + 3);
3) 2^(8 − x) + 7^(3 − x) = 7^(4 − x) + 2^(3 − x) · 11;
4) 2^(x + 1) + 2^(x − 1) − 3^(x − 1) = 3^(x − 2) − 2^(x − 3) + 2 · 3^(x − 3).
Группируем степени с одинаковыми основаниями.
1) 3ˣ(27 + 1) = 7ˣ(7 + 5), 28 · 3ˣ = 12 · 7ˣ, (3/7)ˣ = 12/28 = 3/7, x = 1.
2) 3^(x + 4) − 3^(x + 3) = 5^(x + 4) − 3 · 5^(x + 3); 3^(x + 3)(3 − 1) = 5^(x + 3)(5 − 3), 2 · 3^(x + 3) = 2 · 5^(x + 3), (3/5)^(x + 3) = 1, x = −3.
3) 2^(8 − x) − 11 · 2^(3 − x) = 7^(4 − x) − 7^(3 − x); 2^(3 − x)(32 − 11) = 7^(3 − x)(7 − 1); 21 · 2^(3 − x) = 6 · 7^(3 − x); (7/2)^(3 − x) = 21/6 = 7/2, 3 − x = 1, x = 2.
4) Слева и справа собираем: 2^(x + 1) + 2^(x − 1) + 2^(x − 3) = 3^(x − 1) + 3^(x − 2) + 2 · 3^(x − 3). Левая часть: 2^(x − 3)(16 + 4 + 1) = 21 · 2^(x − 3). Правая: 3^(x − 3)(9 + 3 + 2) = 14 · 3^(x − 3). Тогда (2/3)^(x − 3) = 14/21 = 2/3, x − 3 = 1, x = 4.
Ответ: 1) 1; 2) −3; 3) 2; 4) 4.
1) 3ˣ(27 + 1) = 7ˣ(7 + 5), 28 · 3ˣ = 12 · 7ˣ, (3/7)ˣ = 12/28 = 3/7, x = 1.
2) 3^(x + 4) − 3^(x + 3) = 5^(x + 4) − 3 · 5^(x + 3); 3^(x + 3)(3 − 1) = 5^(x + 3)(5 − 3), 2 · 3^(x + 3) = 2 · 5^(x + 3), (3/5)^(x + 3) = 1, x = −3.
3) 2^(8 − x) − 11 · 2^(3 − x) = 7^(4 − x) − 7^(3 − x); 2^(3 − x)(32 − 11) = 7^(3 − x)(7 − 1); 21 · 2^(3 − x) = 6 · 7^(3 − x); (7/2)^(3 − x) = 21/6 = 7/2, 3 − x = 1, x = 2.
4) Слева и справа собираем: 2^(x + 1) + 2^(x − 1) + 2^(x − 3) = 3^(x − 1) + 3^(x − 2) + 2 · 3^(x − 3). Левая часть: 2^(x − 3)(16 + 4 + 1) = 21 · 2^(x − 3). Правая: 3^(x − 3)(9 + 3 + 2) = 14 · 3^(x − 3). Тогда (2/3)^(x − 3) = 14/21 = 2/3, x − 3 = 1, x = 4.
Ответ: 1) 1; 2) −3; 3) 2; 4) 4.
223. Решить уравнение:
1) 8 · 4ˣ − 6 · 2ˣ + 1 = 0;
2) (1/4)ˣ + (1/2)ˣ − 6 = 0;
3) 13^(2x + 1) − 13ˣ − 12 = 0;
4) 3^(2x + 1) − 10 · 3ˣ + 3 = 0;
5) 2^(3x) + 8 · 2ˣ − 6 · 2^(2x) = 0;
6) 5^(3x + 1) + 34 · 5^(2x) − 7 · 5ˣ = 0.
1) 8 · 4ˣ − 6 · 2ˣ + 1 = 0;
2) (1/4)ˣ + (1/2)ˣ − 6 = 0;
3) 13^(2x + 1) − 13ˣ − 12 = 0;
4) 3^(2x + 1) − 10 · 3ˣ + 3 = 0;
5) 2^(3x) + 8 · 2ˣ − 6 · 2^(2x) = 0;
6) 5^(3x + 1) + 34 · 5^(2x) − 7 · 5ˣ = 0.
1) t = 2ˣ > 0: 8t² − 6t + 1 = 0, D = 36 − 32 = 4, t = (6 ± 2)/16: t = 1/2 или t = 1/4. 2ˣ = 2^(−1) → x = −1; 2ˣ = 2^(−2) → x = −2.
2) t = (1/2)ˣ > 0, (1/4)ˣ = t²: t² + t − 6 = 0, t = 2 или t = −3 (не подходит). (1/2)ˣ = 2 → x = −1.
3) t = 13ˣ > 0: 13t² − t − 12 = 0, D = 1 + 624 = 625, t = (1 ± 25)/26: t = 1 или t = −12/13 (не подходит). 13ˣ = 1 → x = 0.
4) t = 3ˣ > 0: 3t² − 10t + 3 = 0, D = 64, t = (10 ± 8)/6: t = 3 или t = 1/3. x = 1 или x = −1.
5) t = 2ˣ > 0: t³ − 6t² + 8t = 0, t(t² − 6t + 8) = 0, t = 2 или t = 4 (t = 0 не подходит). x = 1 или x = 2.
6) t = 5ˣ > 0: 5t³ + 34t² − 7t = 0, t(5t² + 34t − 7) = 0, D = 1156 + 140 = 1296 = 36², t = (−34 ± 36)/10: t = 1/5 или t = −7 (не подходит). 5ˣ = 5^(−1) → x = −1.
Ответ: 1) −1; −2; 2) −1; 3) 0; 4) 1; −1; 5) 1; 2; 6) −1.
2) t = (1/2)ˣ > 0, (1/4)ˣ = t²: t² + t − 6 = 0, t = 2 или t = −3 (не подходит). (1/2)ˣ = 2 → x = −1.
3) t = 13ˣ > 0: 13t² − t − 12 = 0, D = 1 + 624 = 625, t = (1 ± 25)/26: t = 1 или t = −12/13 (не подходит). 13ˣ = 1 → x = 0.
4) t = 3ˣ > 0: 3t² − 10t + 3 = 0, D = 64, t = (10 ± 8)/6: t = 3 или t = 1/3. x = 1 или x = −1.
5) t = 2ˣ > 0: t³ − 6t² + 8t = 0, t(t² − 6t + 8) = 0, t = 2 или t = 4 (t = 0 не подходит). x = 1 или x = 2.
6) t = 5ˣ > 0: 5t³ + 34t² − 7t = 0, t(5t² + 34t − 7) = 0, D = 1156 + 140 = 1296 = 36², t = (−34 ± 36)/10: t = 1/5 или t = −7 (не подходит). 5ˣ = 5^(−1) → x = −1.
Ответ: 1) −1; −2; 2) −1; 3) 0; 4) 1; −1; 5) 1; 2; 6) −1.
224. При каких значениях x сумма чисел 2^(x − 1), 2^(x − 4) и 2^(x − 2) равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6,5; 3,25; 1,625; …?
Прогрессия: b₁ = 6,5, q = 3,25/6,5 = 1/2, |q| < 1. Сумма S = b₁/(1 − q) = 6,5/(1/2) = 13.
Уравнение: 2^(x − 1) + 2^(x − 4) + 2^(x − 2) = 13. Выносим 2^(x − 4): 2^(x − 4)(8 + 1 + 4) = 13, 13 · 2^(x − 4) = 13, 2^(x − 4) = 1, x = 4.
Ответ: x = 4.
Уравнение: 2^(x − 1) + 2^(x − 4) + 2^(x − 2) = 13. Выносим 2^(x − 4): 2^(x − 4)(8 + 1 + 4) = 13, 13 · 2^(x − 4) = 13, 2^(x − 4) = 1, x = 4.
Ответ: x = 4.
225. Решить уравнение:
1) 3^(2x + 6) = 2^(x + 3);
2) 5^(x − 2) = 4^(2x − 4);
3) 2ˣ · 3ˣ = 36^(x²);
4) 9^(−√(x − 1)) = 1/27.
1) 3^(2x + 6) = 2^(x + 3);
2) 5^(x − 2) = 4^(2x − 4);
3) 2ˣ · 3ˣ = 36^(x²);
4) 9^(−√(x − 1)) = 1/27.
1) 3^(2(x + 3)) = 2^(x + 3), 9^(x + 3) = 2^(x + 3), (9/2)^(x + 3) = 1, x = −3.
2) 4^(2x − 4) = 16^(x − 2); (5/16)^(x − 2) = 1, x = 2.
3) 2ˣ · 3ˣ = 6ˣ, 36^(x²) = 6^(2x²). Тогда x = 2x², x(2x − 1) = 0, x₁ = 0, x₂ = 1/2.
4) ОДЗ: x ≥ 1. 9^(−√(x − 1)) = 3^(−2√(x − 1)) = 3^(−3), √(x − 1) = 3/2, x − 1 = 9/4, x = 13/4 = 3,25.
Ответ: 1) −3; 2) 2; 3) 0; 1/2; 4) 3,25.
2) 4^(2x − 4) = 16^(x − 2); (5/16)^(x − 2) = 1, x = 2.
3) 2ˣ · 3ˣ = 6ˣ, 36^(x²) = 6^(2x²). Тогда x = 2x², x(2x − 1) = 0, x₁ = 0, x₂ = 1/2.
4) ОДЗ: x ≥ 1. 9^(−√(x − 1)) = 3^(−2√(x − 1)) = 3^(−3), √(x − 1) = 3/2, x − 1 = 9/4, x = 13/4 = 3,25.
Ответ: 1) −3; 2) 2; 3) 0; 1/2; 4) 3,25.