Глава III. § 13. Показательные неравенства — с. 83
228. Решить неравенство:
1) 3^x > 9;
2) (1/2)^x > 1/4;
3) (1/4)^x < 2;
4) 4^x < 1/2;
5) 2^(3x) ≥ 1/2;
6) (1/3)^(x − 1) ≤ 1/9.
1) 3^x > 9;
2) (1/2)^x > 1/4;
3) (1/4)^x < 2;
4) 4^x < 1/2;
5) 2^(3x) ≥ 1/2;
6) (1/3)^(x − 1) ≤ 1/9.
1) 3^x > 3², основание 3 > 1, значит показатель сохраняет знак: x > 2.
2) (1/2)^x > (1/2)², основание меньше 1, знак меняется: x < 2.
3) (1/4)^x = 2^(−2x) < 2^1, основание 2 > 1: −2x < 1, x > −1/2.
4) 4^x < 1/2 ⇔ 2^(2x) < 2^(−1) ⇔ 2x < −1 ⇔ x < −1/2.
5) 2^(3x) ≥ 2^(−1) ⇔ 3x ≥ −1 ⇔ x ≥ −1/3.
6) (1/3)^(x − 1) ≤ (1/3)², основание меньше 1, знак меняется: x − 1 ≥ 2, x ≥ 3.
Ответ: 1) x > 2; 2) x < 2; 3) x > −1/2; 4) x < −1/2; 5) x ≥ −1/3; 6) x ≥ 3.
2) (1/2)^x > (1/2)², основание меньше 1, знак меняется: x < 2.
3) (1/4)^x = 2^(−2x) < 2^1, основание 2 > 1: −2x < 1, x > −1/2.
4) 4^x < 1/2 ⇔ 2^(2x) < 2^(−1) ⇔ 2x < −1 ⇔ x < −1/2.
5) 2^(3x) ≥ 2^(−1) ⇔ 3x ≥ −1 ⇔ x ≥ −1/3.
6) (1/3)^(x − 1) ≤ (1/3)², основание меньше 1, знак меняется: x − 1 ≥ 2, x ≥ 3.
Ответ: 1) x > 2; 2) x < 2; 3) x > −1/2; 4) x < −1/2; 5) x ≥ −1/3; 6) x ≥ 3.
229. Решить неравенство:
1) 5^(x − 1) ≤ √5;
2) 3^(x/2) > 9;
3) 3^(x² − 4) ≥ 1;
4) 5^(2x² − 18) < 1.
1) 5^(x − 1) ≤ √5;
2) 3^(x/2) > 9;
3) 3^(x² − 4) ≥ 1;
4) 5^(2x² − 18) < 1.
1) √5 = 5^(1/2); основание 5 > 1, поэтому x − 1 ≤ 1/2, x ≤ 3/2.
2) 9 = 3²; x/2 > 2, x > 4.
3) 1 = 3^0; x² − 4 ≥ 0, (x − 2)(x + 2) ≥ 0, x ≤ −2 или x ≥ 2.
4) 1 = 5^0; 2x² − 18 < 0, x² < 9, −3 < x < 3.
Ответ: 1) x ≤ 1,5; 2) x > 4; 3) x ≤ −2, x ≥ 2; 4) −3 < x < 3.
2) 9 = 3²; x/2 > 2, x > 4.
3) 1 = 3^0; x² − 4 ≥ 0, (x − 2)(x + 2) ≥ 0, x ≤ −2 или x ≥ 2.
4) 1 = 5^0; 2x² − 18 < 0, x² < 9, −3 < x < 3.
Ответ: 1) x ≤ 1,5; 2) x > 4; 3) x ≤ −2, x ≥ 2; 4) −3 < x < 3.
230. Решить графически уравнение:
1) (1/3)^x = x + 1;
2) (1/2)^x = x − 1/2;
3) 2^x = −x − 7/4;
4) 3^x = 11 − x.
1) (1/3)^x = x + 1;
2) (1/2)^x = x − 1/2;
3) 2^x = −x − 7/4;
4) 3^x = 11 − x.
Строим в одной системе координат графики левой и правой частей. Показательная функция с основанием, большим 1, возрастает, с основанием меньше 1 убывает, а линейные функции монотонны, поэтому графики пересекаются не более чем в одной точке; найденное значение проверяем подстановкой.
1) Графики y = (1/3)^x (убывающий) и y = x + 1 (возрастающая прямая) пересекаются в точке (0; 1). Проверка: (1/3)^0 = 1 = 0 + 1. x = 0.
2) Графики y = (1/2)^x и y = x − 1/2 пересекаются в точке (1; 1/2). Проверка: (1/2)^1 = 1/2 = 1 − 1/2. x = 1.
3) Графики y = 2^x (возрастающий) и y = −x − 7/4 (убывающая прямая) пересекаются в точке (−2; 1/4). Проверка: 2^(−2) = 1/4, −(−2) − 7/4 = 1/4. x = −2.
4) Графики y = 3^x и y = 11 − x пересекаются в точке (2; 9). Проверка: 3² = 9 = 11 − 2. x = 2.
Ответ: 1) 0; 2) 1; 3) −2; 4) 2.
1) Графики y = (1/3)^x (убывающий) и y = x + 1 (возрастающая прямая) пересекаются в точке (0; 1). Проверка: (1/3)^0 = 1 = 0 + 1. x = 0.
2) Графики y = (1/2)^x и y = x − 1/2 пересекаются в точке (1; 1/2). Проверка: (1/2)^1 = 1/2 = 1 − 1/2. x = 1.
3) Графики y = 2^x (возрастающий) и y = −x − 7/4 (убывающая прямая) пересекаются в точке (−2; 1/4). Проверка: 2^(−2) = 1/4, −(−2) − 7/4 = 1/4. x = −2.
4) Графики y = 3^x и y = 11 − x пересекаются в точке (2; 9). Проверка: 3² = 9 = 11 − 2. x = 2.
Ответ: 1) 0; 2) 1; 3) −2; 4) 2.
231. Решить неравенство:
1) 2^(−x² + 3x) < 4;
2) (7/9)^(2x² − 3x) ≥ 9/7;
3) (13/11)^(x² − 3x) < 121/169;
4) (2 2/3)^(6x² + x) ≤ 7 1/9.
1) 2^(−x² + 3x) < 4;
2) (7/9)^(2x² − 3x) ≥ 9/7;
3) (13/11)^(x² − 3x) < 121/169;
4) (2 2/3)^(6x² + x) ≤ 7 1/9.
1) 4 = 2², основание 2 > 1: −x² + 3x < 2, x² − 3x + 2 > 0, (x − 1)(x − 2) > 0, откуда x < 1 или x > 2.
2) 9/7 = (7/9)^(−1); основание 7/9 < 1, знак меняется: 2x² − 3x ≤ −1, 2x² − 3x + 1 ≤ 0, корни 1/2 и 1, значит 1/2 ≤ x ≤ 1.
3) 121/169 = (11/13)² = (13/11)^(−2); основание 13/11 > 1: x² − 3x < −2, x² − 3x + 2 < 0, 1 < x < 2.
4) 2 2/3 = 8/3, 7 1/9 = 64/9 = (8/3)²; основание больше 1: 6x² + x ≤ 2, 6x² + x − 2 ≤ 0; D = 1 + 48 = 49, корни (−1 ± 7)/12: 1/2 и −2/3. Отсюда −2/3 ≤ x ≤ 1/2.
Ответ: 1) x < 1, x > 2; 2) 1/2 ≤ x ≤ 1; 3) 1 < x < 2; 4) −2/3 ≤ x ≤ 1/2.
2) 9/7 = (7/9)^(−1); основание 7/9 < 1, знак меняется: 2x² − 3x ≤ −1, 2x² − 3x + 1 ≤ 0, корни 1/2 и 1, значит 1/2 ≤ x ≤ 1.
3) 121/169 = (11/13)² = (13/11)^(−2); основание 13/11 > 1: x² − 3x < −2, x² − 3x + 2 < 0, 1 < x < 2.
4) 2 2/3 = 8/3, 7 1/9 = 64/9 = (8/3)²; основание больше 1: 6x² + x ≤ 2, 6x² + x − 2 ≤ 0; D = 1 + 48 = 49, корни (−1 ± 7)/12: 1/2 и −2/3. Отсюда −2/3 ≤ x ≤ 1/2.
Ответ: 1) x < 1, x > 2; 2) 1/2 ≤ x ≤ 1; 3) 1 < x < 2; 4) −2/3 ≤ x ≤ 1/2.
232. Решить неравенство:
1) 3^(x + 2) + 3^(x − 1) < 28;
2) 2^(x − 1) + 2^(x + 3) > 17;
3) 2^(2x − 1) + 2^(2x − 2) + 2^(2x − 3) ≥ 448;
4) 5^(3x + 1) − 5^(3x − 3) ≤ 624.
1) 3^(x + 2) + 3^(x − 1) < 28;
2) 2^(x − 1) + 2^(x + 3) > 17;
3) 2^(2x − 1) + 2^(2x − 2) + 2^(2x − 3) ≥ 448;
4) 5^(3x + 1) − 5^(3x − 3) ≤ 624.
1) Выносим 3^(x − 1): 3^(x − 1)·(27 + 1) < 28, 3^(x − 1) < 1 = 3^0, x − 1 < 0, x < 1.
2) Выносим 2^(x − 1): 2^(x − 1)·(1 + 16) > 17, 2^(x − 1) > 1, x − 1 > 0, x > 1.
3) Выносим 2^(2x − 3): 2^(2x − 3)·(4 + 2 + 1) ≥ 448, 2^(2x − 3) ≥ 64 = 2^6, 2x − 3 ≥ 6, x ≥ 4,5.
4) Выносим 5^(3x − 3): 5^(3x − 3)·(625 − 1) ≤ 624, 5^(3x − 3) ≤ 1, 3x − 3 ≤ 0, x ≤ 1.
Ответ: 1) x < 1; 2) x > 1; 3) x ≥ 4,5; 4) x ≤ 1.
2) Выносим 2^(x − 1): 2^(x − 1)·(1 + 16) > 17, 2^(x − 1) > 1, x − 1 > 0, x > 1.
3) Выносим 2^(2x − 3): 2^(2x − 3)·(4 + 2 + 1) ≥ 448, 2^(2x − 3) ≥ 64 = 2^6, 2x − 3 ≥ 6, x ≥ 4,5.
4) Выносим 5^(3x − 3): 5^(3x − 3)·(625 − 1) ≤ 624, 5^(3x − 3) ≤ 1, 3x − 3 ≤ 0, x ≤ 1.
Ответ: 1) x < 1; 2) x > 1; 3) x ≥ 4,5; 4) x ≤ 1.