Упражнения 250–257 — Глава III. Упражнения к главе III

1) (2/3)^(x + 1) = 1,5^(−x − 1). Тогда 5x − 7 = −x − 1, 6x = 6, x = 1.
2) 1 1/3 = 4/3 = 0,75^(−1), поэтому правая часть равна 0,75^(x − 5). Получаем 2x − 3 = x − 5, x = −2.
3) 1 = 5^0, значит x² − 5x − 6 = 0, x = 6 или x = −1.
4) 1/7 = (1/7)^1, значит x² − 2x − 2 = 1, x² − 2x − 3 = 0, x = 3 или x = −1.
Ответ: 1) 1; 2) −2; 3) −1; 6; 4) −1; 3.

1) 2^(x − 3)·(8 + 1) = 18, 2^(x − 3) = 2, x − 3 = 1, x = 4.
2) 3^x·(1 + 12) = 13, 3^x = 1, x = 0.
3) 3^x·(6 − 2 − 1) = 9, 3·3^x = 9, 3^x = 3, x = 1.
4) 5^(x − 1)·(25 + 3 − 30) = −10, −2·5^(x − 1) = −10, 5^(x − 1) = 5, x = 2.
Ответ: 1) 4; 2) 0; 3) 1; 4) 2.

1) Пусть t = 5^x > 0: t² − t − 600 = 0, t = 25 или t = −24 (не подходит). 5^x = 25, x = 2.
2) Пусть t = 3^x > 0: t² − t − 6 = 0, t = 3 или t = −2 (не подходит). x = 1.
3) Пусть t = 3^x > 0: t + t²/9 − 810 = 0, t² + 9t − 7290 = 0, D = 81 + 29160 = 29241 = 171², t = 81 или t = −90 (не подходит). 3^x = 81, x = 4.
4) Пусть t = 2^x > 0: t² + 2t − 80 = 0, t = 8 или t = −10 (не подходит). 2^x = 8, x = 3.
Ответ: 1) 2; 2) 1; 3) 4; 4) 3.

1) 3^(x − 2) > 3², основание больше 1: x − 2 > 2, x > 4.
2) 5^(2x) < 5^(−2): 2x < −2, x < −1.
3) Основание 0,7 < 1, знак меняется: x² + 2x > 3, x² + 2x − 3 > 0, (x + 3)(x − 1) > 0, x < −3 или x > 1.
4) 1/81 = (1/3)^4, основание меньше 1: x² < 4, −2 < x < 2.
Ответ: 1) x > 4; 2) x < −1; 3) x < −3, x > 1; 4) −2 < x < 2.

1) Функция y = 2^(−x) убывает, y = 3x + 10 возрастает, поэтому пересечение не более чем одно. Графики пересекаются в точке (−2; 4): 2² = 4 и 3·(−2) + 10 = 4. x = −2.
2) (1/3)^(−x) = 3^x. Выпуклый график y = 3^x и прямая y = 2x + 5 пересекаются в двух точках. Одна из них (2; 9): 3² = 9 = 2·2 + 5. Вторая лежит левее нуля при x ≈ −2,5 (3^(−2,47) ≈ 0,066, 2·(−2,47) + 5 ≈ 0,06).
Ответ: 1) x = −2; 2) x = 2 и x ≈ −2,5.
Оговорка: второй корень второго уравнения найден приближённо.

1) Основание 1/5 < 1, функция убывает на всей числовой оси. Область определения — все числа, множество значений y > 0, ось x — горизонтальная асимптота (при x → +∞ значения стремятся к 0). График проходит через точки (−1; 5), (0; 1), (1; 1/5).
2) Основание 5 > 1, функция возрастает, y > 0, при x → −∞ график приближается к оси x. Он проходит через точки (−1; 1/5), (0; 1), (1; 5). Графики симметричны относительно оси y.

1) Основание 1/5 < 1, функция убывает. Так как 0,2 < 1,2, то (1/5)^(0,2) > (1/5)^(1,2).
2) Основание 5 > 1, функция возрастает. Так как −0,2 > −1,2, то 5^(−0,2) > 5^(−1,2).
Ответ: 1) >; 2) >.

1) 27^(x − 1) = 3^(3x − 3), поэтому x + 1 = 3x − 3, x = 2.
2) 1 = 0,2^0, значит x² + 4x − 5 = 0, x = 1 или x = −5.
3) 2^(x + 1)·(4 − 1) = 12, 2^(x + 1) = 4, x + 1 = 2, x = 1.
4) Пусть t = 2^x > 0: 4t² − 5t + 1 = 0, t = 1 или t = 1/4. Тогда 2^x = 1, x = 0, или 2^x = 2^(−2), x = −2.
Ответ: 1) 2; 2) 1; −5; 3) 1; 4) 0; −2.

1) 49 = 7², основание больше 1: x − 2 > 2, x > 4.
2) 1/4 = 0,5², основание меньше 1, знак меняется: x² − 2 ≤ 2, x² ≤ 4, −2 ≤ x ≤ 2.
Ответ: 1) x > 4; 2) −2 ≤ x ≤ 2.

Члены последовательности: a_n = 2^n, n = 1, 2, 3, … Отношение соседних членов a_(n+1)/a_n = 2^(n+1)/2^n = 2 не зависит от n и не равно нулю. Значит, последовательность 2, 4, 8, … — геометрическая прогрессия с первым членом 2 и знаменателем 2, что и требовалось доказать.

Увеличение на p% означает умножение на (1 + p/100). Прибыль за первый год равна a, за второй a(1 + p/100), за третий a(1 + p/100)², и т. д. — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1 + p/100. За n-й год: b_n = a·(1 + p/100)^(n − 1).
Ответ: a(1 + 0,01p)^(n − 1) рублей.

1) График получается из графика y = 3^x сдвигом на 1 вниз вдоль оси y. Функция возрастает, асимптота y = −1, множество значений y > −1. Точки: (−1; −2/3), (0; 0), (1; 2), (2; 8).
2) График получается из графика y = 3^x сдвигом на 1 вправо вдоль оси x. Функция возрастает, асимптота y = 0, y > 0. Точки: (0; 1/3), (1; 1), (2; 3), (3; 9).
3) Запишем y = 2^(2 − x) + 3 = (1/2)^(x − 2) + 3: график убывающей функции (1/2)^x, сдвинутый на 2 вправо и на 3 вверх. Асимптота y = 3, y > 3. Точки: (0; 7), (1; 5), (2; 4), (3; 3,5).