Глава IV. § 18. Логарифмическая функция, её свойства и график — с. 103
318. Сравнить числа:
1) log₃ 6/5 и log₃ 5/6;
2) log_(1/3) 9 и log_(1/3) 17;
3) log_(1/2) e и log_(1/2) π;
4) log₂ (√5/2) и log₂ (√3/2).
1) log₃ 6/5 и log₃ 5/6;
2) log_(1/3) 9 и log_(1/3) 17;
3) log_(1/2) e и log_(1/2) π;
4) log₂ (√5/2) и log₂ (√3/2).
Сравниваем значения логарифма с одним основанием: при основании больше 1 функция log_a t возрастает, при основании от 0 до 1 убывает.
1) Основание 3 > 1, функция возрастает. 6/5 > 1 > 5/6, поэтому log₃ 6/5 > log₃ 5/6.
2) Основание 1/3 < 1, функция убывает. 9 < 17, поэтому log_(1/3) 9 > log_(1/3) 17.
3) Основание 1/2 < 1, функция убывает. e ≈ 2,718 < π ≈ 3,142, поэтому log_(1/2) e > log_(1/2) π.
4) Основание 2 > 1, функция возрастает. √5 > √3, значит √5/2 > √3/2 и log₂ (√5/2) > log₂ (√3/2).
Ответ: 1) >; 2) >; 3) >; 4) >.
1) Основание 3 > 1, функция возрастает. 6/5 > 1 > 5/6, поэтому log₃ 6/5 > log₃ 5/6.
2) Основание 1/3 < 1, функция убывает. 9 < 17, поэтому log_(1/3) 9 > log_(1/3) 17.
3) Основание 1/2 < 1, функция убывает. e ≈ 2,718 < π ≈ 3,142, поэтому log_(1/2) e > log_(1/2) π.
4) Основание 2 > 1, функция возрастает. √5 > √3, значит √5/2 > √3/2 и log₂ (√5/2) > log₂ (√3/2).
Ответ: 1) >; 2) >; 3) >; 4) >.
319. Выяснить, является ли положительным или отрицательным число:
1) log₃ 4,5;
2) log₃ 0,45;
3) log₅ 25,3;
4) log_(0,5) 9,6.
1) log₃ 4,5;
2) log₃ 0,45;
3) log₅ 25,3;
4) log_(0,5) 9,6.
Знак логарифма: при a > 1 число log_a b положительно, если b > 1, и отрицательно, если 0 < b < 1; при 0 < a < 1 — наоборот.
1) Основание 3 > 1, 4,5 > 1, значит log₃ 4,5 > 0.
2) Основание 3 > 1, 0 < 0,45 < 1, значит log₃ 0,45 < 0.
3) Основание 5 > 1, 25,3 > 1, значит log₅ 25,3 > 0.
4) Основание 0,5 < 1, 9,6 > 1, значит log_(0,5) 9,6 < 0.
Ответ: 1) положительное; 2) отрицательное; 3) положительное; 4) отрицательное.
1) Основание 3 > 1, 4,5 > 1, значит log₃ 4,5 > 0.
2) Основание 3 > 1, 0 < 0,45 < 1, значит log₃ 0,45 < 0.
3) Основание 5 > 1, 25,3 > 1, значит log₅ 25,3 > 0.
4) Основание 0,5 < 1, 9,6 > 1, значит log_(0,5) 9,6 < 0.
Ответ: 1) положительное; 2) отрицательное; 3) положительное; 4) отрицательное.
320. Сравнить с единицей число x, если:
1) log₃ x = −0,3;
2) log_(1/3) x = 1,7;
3) log₂ x = 1,3.
1) log₃ x = −0,3;
2) log_(1/3) x = 1,7;
3) log₂ x = 1,3.
Так как log_a 1 = 0, сравниваем значение логарифма с нулём и учитываем монотонность.
1) log₃ x = −0,3 < 0 = log₃ 1; основание 3 > 1, функция возрастает, поэтому x < 1 (и x > 0).
2) log_(1/3) x = 1,7 > 0 = log_(1/3) 1; основание меньше 1, функция убывает, поэтому x < 1 (и x > 0).
3) log₂ x = 1,3 > 0 = log₂ 1; функция возрастает, поэтому x > 1.
Ответ: 1) x < 1; 2) x < 1; 3) x > 1.
1) log₃ x = −0,3 < 0 = log₃ 1; основание 3 > 1, функция возрастает, поэтому x < 1 (и x > 0).
2) log_(1/3) x = 1,7 > 0 = log_(1/3) 1; основание меньше 1, функция убывает, поэтому x < 1 (и x > 0).
3) log₂ x = 1,3 > 0 = log₂ 1; функция возрастает, поэтому x > 1.
Ответ: 1) x < 1; 2) x < 1; 3) x > 1.
321. Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:
1) y = log_(0,075) x;
2) y = log_(√3/2) x;
3) y = lg x;
4) y = ln x.
1) y = log_(0,075) x;
2) y = log_(√3/2) x;
3) y = lg x;
4) y = ln x.
Логарифмическая функция y = log_a x возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1.
1) a = 0,075 < 1 — функция убывающая.
2) a = √3/2 ≈ 0,866 < 1 (так как √3 < 2) — функция убывающая.
3) a = 10 > 1 — функция возрастающая.
4) a = e ≈ 2,718 > 1 — функция возрастающая.
Ответ: 1) и 2) убывающие; 3) и 4) возрастающие.
1) a = 0,075 < 1 — функция убывающая.
2) a = √3/2 ≈ 0,866 < 1 (так как √3 < 2) — функция убывающая.
3) a = 10 > 1 — функция возрастающая.
4) a = e ≈ 2,718 > 1 — функция возрастающая.
Ответ: 1) и 2) убывающие; 3) и 4) возрастающие.