Глава IV. § 18. Логарифмическая функция, её свойства и график — с. 105
332. Построить график функции, найти её область определения и множество значений:
1) y = log₃ (x − 1);
2) y = log_(1/3) (x + 1);
3) y = 1 + log₃ x;
4) y = log_(1/3) x − 1;
5) y = 1 + log₃ (x − 1).
1) y = log₃ (x − 1);
2) y = log_(1/3) (x + 1);
3) y = 1 + log₃ x;
4) y = log_(1/3) x − 1;
5) y = 1 + log₃ (x − 1).
Строим графики сдвигом базовых кривых y = log₃ x (возрастает) и y = log_(1/3) x (убывает).
1) График y = log₃ x сдвигаем на 1 вправо вдоль оси x. Вертикальная асимптота x = 1; точки (2; 0), (4; 1), (10; 2). Область определения x > 1, множество значений — все действительные числа.
2) График y = log_(1/3) x сдвигаем на 1 влево. Асимптота x = −1; точки (0; 0), (2; −1), (−2/3; 1). Область определения x > −1, множество значений — R.
3) График y = log₃ x сдвигаем на 1 вверх. Точки (1; 1), (3; 2), (1/3; 0). Область определения x > 0, множество значений — R.
4) График y = log_(1/3) x сдвигаем на 1 вниз. Точки (1; −1), (1/3; 0), (3; −2). Область определения x > 0, множество значений — R.
5) График y = log₃ x сдвигаем на 1 вправо и на 1 вверх. Асимптота x = 1; точки (2; 1), (4; 2), (4/3; 0). Область определения x > 1, множество значений — R.
1) График y = log₃ x сдвигаем на 1 вправо вдоль оси x. Вертикальная асимптота x = 1; точки (2; 0), (4; 1), (10; 2). Область определения x > 1, множество значений — все действительные числа.
2) График y = log_(1/3) x сдвигаем на 1 влево. Асимптота x = −1; точки (0; 0), (2; −1), (−2/3; 1). Область определения x > −1, множество значений — R.
3) График y = log₃ x сдвигаем на 1 вверх. Точки (1; 1), (3; 2), (1/3; 0). Область определения x > 0, множество значений — R.
4) График y = log_(1/3) x сдвигаем на 1 вниз. Точки (1; −1), (1/3; 0), (3; −2). Область определения x > 0, множество значений — R.
5) График y = log₃ x сдвигаем на 1 вправо и на 1 вверх. Асимптота x = 1; точки (2; 1), (4; 2), (4/3; 0). Область определения x > 1, множество значений — R.
333. Решить графически уравнение:
1) log₂ x = −x + 1;
2) log_(1/2) x = 2x − 5;
3) lg x = √x;
4) lg x = 2^(−x).
1) log₂ x = −x + 1;
2) log_(1/2) x = 2x − 5;
3) lg x = √x;
4) lg x = 2^(−x).
В одной системе координат строим графики левой и правой частей (на рисунке красная кривая — левая часть, синяя — правая); абсциссы точек пересечения — корни уравнения.
1) y = log₂ x возрастает, y = 1 − x убывает, поэтому они пересекаются не более чем в одной точке. График проходит через (1; 0), прямая тоже: 1 − 1 = 0. Корень x = 1.
2) y = log_(1/2) x убывает, прямая y = 2x − 5 возрастает; точка (2; −1) лежит на обоих графиках: log_(1/2) 2 = −1 и 2·2 − 5 = −1. Корень x = 2.
3) График y = lg x везде лежит ниже графика y = √x (например, при x = 1: 0 < 1; при x = 10: 1 < 3,2). Строго: при t = √x имеем lg x = 2 lg t < t, так как 10^(t/2) > t. Графики не пересекаются, корней нет.
4) y = lg x возрастает, y = 2^(−x) убывает, пересечение единственное. По графику x ≈ 1,9 (проверка: lg 1,9 ≈ 0,28, 2^(−1,9) ≈ 0,27).
Ответ: 1) x = 1; 2) x = 2; 3) корней нет; 4) x ≈ 1,9.
Оговорка: в ответах учебника для п. 4 указано x ≈ 2; это то же значение, найденное по графику с меньшей точностью.
1) y = log₂ x возрастает, y = 1 − x убывает, поэтому они пересекаются не более чем в одной точке. График проходит через (1; 0), прямая тоже: 1 − 1 = 0. Корень x = 1.
2) y = log_(1/2) x убывает, прямая y = 2x − 5 возрастает; точка (2; −1) лежит на обоих графиках: log_(1/2) 2 = −1 и 2·2 − 5 = −1. Корень x = 2.
3) График y = lg x везде лежит ниже графика y = √x (например, при x = 1: 0 < 1; при x = 10: 1 < 3,2). Строго: при t = √x имеем lg x = 2 lg t < t, так как 10^(t/2) > t. Графики не пересекаются, корней нет.
4) y = lg x возрастает, y = 2^(−x) убывает, пересечение единственное. По графику x ≈ 1,9 (проверка: lg 1,9 ≈ 0,28, 2^(−1,9) ≈ 0,27).
Ответ: 1) x = 1; 2) x = 2; 3) корней нет; 4) x ≈ 1,9.
Оговорка: в ответах учебника для п. 4 указано x ≈ 2; это то же значение, найденное по графику с меньшей точностью.
334. Построить график функции, найти её область определения и множество значений, указать промежутки монотонности:
1) y = |log₃ x|;
2) y = log₃ |x|;
3) y = log₂ |3 − x|;
4) y = |1 − log₂ x|.
1) y = |log₃ x|;
2) y = log₃ |x|;
3) y = log₂ |3 − x|;
4) y = |1 − log₂ x|.
1) Строим y = log₃ x и часть графика, лежащую ниже оси x (0 < x < 1), отражаем симметрично относительно оси x. Точки: (1/3; 1), (1; 0), (3; 1). Область определения x > 0, множество значений y ≥ 0. Функция убывает на (0; 1] и возрастает на [1; +∞).
2) Строим y = log₃ x при x > 0 и отражаем эту ветвь симметрично относительно оси y (функция чётная). Точки: (±1; 0), (±3; 1), (±1/3; −1). Область определения x ≠ 0, множество значений — R. Функция убывает на (−∞; 0) и возрастает на (0; +∞).
3) Строим y = log₂ |x| (как в п. 2), затем преобразуем: |3 − x| = |x − 3|, т. е. график сдвигаем на 3 вправо. Асимптота x = 3; точки (2; 0), (4; 0), (1; 1), (5; 1), (7; 2). Область определения x ≠ 3, множество значений — R. Функция убывает на (−∞; 3) и возрастает на (3; +∞).
4) Строим y = 1 − log₂ x (убывающая, через (2; 0), (1; 1), (4; −1)) и часть графика ниже оси x (при x > 2) отражаем симметрично относительно оси x. Точки: (1; 1), (2; 0), (4; 1), (8; 2). Область определения x > 0, множество значений y ≥ 0. Функция убывает на (0; 2] и возрастает на [2; +∞).
2) Строим y = log₃ x при x > 0 и отражаем эту ветвь симметрично относительно оси y (функция чётная). Точки: (±1; 0), (±3; 1), (±1/3; −1). Область определения x ≠ 0, множество значений — R. Функция убывает на (−∞; 0) и возрастает на (0; +∞).
3) Строим y = log₂ |x| (как в п. 2), затем преобразуем: |3 − x| = |x − 3|, т. е. график сдвигаем на 3 вправо. Асимптота x = 3; точки (2; 0), (4; 0), (1; 1), (5; 1), (7; 2). Область определения x ≠ 3, множество значений — R. Функция убывает на (−∞; 3) и возрастает на (3; +∞).
4) Строим y = 1 − log₂ x (убывающая, через (2; 0), (1; 1), (4; −1)) и часть графика ниже оси x (при x > 2) отражаем симметрично относительно оси x. Точки: (1; 1), (2; 0), (4; 1), (8; 2). Область определения x > 0, множество значений y ≥ 0. Функция убывает на (0; 2] и возрастает на [2; +∞).
335. Найти область определения функции:
1) y = log₂ |3 − x| − log₂ |x³ − 8|;
2) y = log_(0,3) √(x + 1) + log_(0,4) (1 − 8x³).
1) y = log₂ |3 − x| − log₂ |x³ − 8|;
2) y = log_(0,3) √(x + 1) + log_(0,4) (1 − 8x³).
1) Под знаком логарифма должны стоять положительные числа: |3 − x| > 0 ⇒ x ≠ 3; |x³ − 8| > 0 ⇒ x³ ≠ 8 ⇒ x ≠ 2. Область определения: x ≠ 2 и x ≠ 3.
2) Условия: √(x + 1) > 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x > −1; 1 − 8x³ > 0 ⇒ x³ < 1/8 ⇒ x < 1/2. Итак, −1 < x < 1/2.
Ответ: 1. (−∞; 2) ∪ (2; 3) ∪ (3; +∞); 2. (−1; 1/2).
2) Условия: √(x + 1) > 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x > −1; 1 − 8x³ > 0 ⇒ x³ < 1/8 ⇒ x < 1/2. Итак, −1 < x < 1/2.
Ответ: 1. (−∞; 2) ∪ (2; 3) ∪ (3; +∞); 2. (−1; 1/2).