Упражнения 322–331 — Глава IV. § 18. Логарифмическая функция, её…

Обе функции определены при x > 0, график проходит через точку (1; 0), приближается к оси y, не пересекая её.
Составим таблицы значений.
1) y = log₂ x (основание 2 > 1, функция возрастает): x = 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8; y = −2, −1, 0, 1, 2, 3. Соединяем точки плавной кривой (красная).
2) y = log_(1/2) x = −log₂ x (основание меньше 1, функция убывает): x = 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8; y = 2, 1, 0, −1, −2, −3. Это график первой функции, симметричный относительно оси x (синяя кривая).
Область определения обеих функций x > 0, множество значений — все числа.

Строим график y = log₂ x (по точкам (1/4; −2), (1/2; −1), (1; 0), (2; 1), (4; 2), (8; 3)). Для каждого аргумента откладываем его на оси x, поднимаемся (или опускаемся) до графика и снимаем ординату на оси y.
log₂ 3 ≈ 1,6;
log₂ 0,3 ≈ −1,7;
log₂ 5 ≈ 2,3;
log₂ 0,7 ≈ −0,5.
(Точные значения: 1,585; −1,737; 2,322; −0,515.)

Общие свойства: область определения x > 0, множество значений — все числа, график проходит через точку (1; 0) и прижимается к оси y (при x → 0 значения стремятся к −∞ при a > 1 и к +∞ при 0 < a < 1).
1) Основание 10 > 1 — график возрастает; проходит через (1; 0) и (10; 1).
2) Основание e ≈ 2,72 > 1 — график возрастает; проходит через (1; 0) и (e; 1).
3) Основание 0,4 < 1 — график убывает; проходит через (1; 0) и (0,4; 1).
4) Основание 1/5 < 1 — график убывает; проходит через (1; 0), (1/5; 1) и (5; −1).

Область определения каждого неравенства x > 0. При основании больше 1 знак неравенства сохраняется, при основании от 0 до 1 меняется на противоположный.
1) Основание 5 > 1: x > 3.
2) Основание 1/5 < 1: x ≥ 1/8.
3) Основание 10 > 1: x < 4, с учётом x > 0: 0 < x < 4.
4) Основание e > 1: x > 0,5 (условие x > 0 выполнено).
Ответ: 1) x > 3; 2) x ≥ 1/8; 3) 0 < x < 4; 4) x > 0,5.

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием; область определения x > 0.
1) 2 = log₃ 9; основание 3 > 1: 0 < x < 9.
2) 2 = log_(0,4) 0,16; основание 0,4 < 1, знак меняется: 0 < x < 0,16.
3) 16 = log_(1/2) (1/2)^16; основание меньше 1: 0 < x ≤ (1/2)^16 = 1/65536.
4) 2 = log_(0,4) 0,16; основание меньше 1: x ≥ 0,16.
Ответ: 1) 0 < x < 9; 2) 0 < x < 0,16; 3) 0 < x ≤ 1/65536; 4) x ≥ 0,16.

По определению логарифма log_a u = c ⇔ u = a^c (при u > 0). Найденное значение подставляем в аргумент: он равен a^c > 0, поэтому посторонних корней нет.
1) 5x − 1 = 3² = 9, 5x = 10, x = 2.
2) 3x + 1 = 5² = 25, 3x = 24, x = 8.
3) 2x − 3 = 4, 2x = 7, x = 3,5.
4) x + 3 = 7² = 49, x = 46.
5) 3x − 1 = 10⁰ = 1, 3x = 2, x = 2/3.
6) 2 − 5x = 10, −5x = 8, x = −1,6.
Ответ: 1) 2; 2) 8; 3) 3,5; 4) 46; 5) 2/3; 6) −1,6.

Аргумент логарифма должен быть положительным.
1) x − 1 > 0, x > 1.
2) 1 + x > 0, x > −1.
3) x² + 2x > 0, x (x + 2) > 0; корни 0 и −2, ветви параболы вверх: x < −2 или x > 0.
4) 4 − x² > 0, x² < 4, −2 < x < 2.
Ответ: 1. (1; +∞); 2. (−1; +∞); 3. (−∞; −2) ∪ (0; +∞); 4. (−2; 2).

Пусть 1 < x₁ < x₂. Тогда 1 < x₁² < x₂² (квадраты положительных чисел сохраняют неравенство), откуда 0 < x₁² − 1 < x₂² − 1. Логарифмическая функция с основанием 2 > 1 возрастает на (0; +∞), поэтому log₂ (x₁² − 1) < log₂ (x₂² − 1), т. е. y (x₁) < y (x₂). По определению функция возрастает на промежутке (1; +∞). Что и требовалось доказать.

1) 1/2 = lg √10, поэтому 1/2 + lg 3 = lg (3√10) = lg √90. Далее lg 19 − lg 2 = lg 9,5 = lg √90,25. Так как √90 < √90,25 и функция lg возрастает, то 1/2 + lg 3 < lg 19 − lg 2.
2) (lg 5 + lg √7)/2 = (1/2) lg (5√7) = lg √(5·√7). Сравним √(5·√7) и (5 + √7)/2: по неравенству о среднем арифметическом и геометрическом для положительных чисел 5 и √7 (они не равны) (5 + √7)/2 > √(5·√7). Значит, (lg 5 + lg √7)/2 < lg ((5 + √7)/2).
3) 3 (lg 7 − lg 5) = lg (7/5)³ = lg 2,744. lg 9 − (2/3) lg 8 = lg 9 − lg 8^(2/3) = lg 9 − lg 4 = lg 2,25. Так как 2,744 > 2,25, то 3 (lg 7 − lg 5) > lg 9 − (2/3) lg 8.
4) Так как 1 < lg 50 < 2, то 0 < lg lg 50 < lg 2 < 1, поэтому lg lg lg 50 < 0, а lg³ 50 > 0. Следовательно, lg lg lg 50 < lg³ 50.
Ответ: 1) <; 2) <; 3) >; 4) <.

Аргумент логарифма должен быть положительным.
1) x² − 3x − 4 > 0; корни −1 и 4: (x + 1)(x − 4) > 0, x < −1 или x > 4.
2) −x² + 5x + 6 > 0, x² − 5x − 6 < 0, (x + 1)(x − 6) < 0: −1 < x < 6.
3) (x² − 9)/(x + 5) > 0, т. е. (x − 3)(x + 3)/(x + 5) > 0. Методом интервалов по точкам −5, −3, 3: знак «+» при x > 3, «−» при −3 < x < 3, «+» при −5 < x < −3, «−» при x < −5. Ответ: −5 < x < −3 или x > 3.
4) Знаменатель x² + 4 > 0 при всех x, значит x − 4 > 0, x > 4.
5) 2^x − 2 > 0, 2^x > 2^1, x > 1.
6) 3^(x − 1) > 9 = 3², x − 1 > 2, x > 3.
Ответ: 1. (−∞; −1) ∪ (4; +∞); 2. (−1; 6); 3. (−5; −3) ∪ (3; +∞); 4. (4; +∞); 5. (1; +∞); 6. (3; +∞).