Упражнения 336–344 — Глава IV. § 19. Логарифмические уравнения

Уравнение g называется следствием уравнения f, если каждый корень f является корнем g.
1) Корень первого: x = 3. Корни второго: x² − 5x + 6 = 0, x = 2 и x = 3. Все корни первого есть среди корней второго, значит второе уравнение — следствие первого.
2) √(x²) = |x|, поэтому уравнения совпадают; корни обоих: x = ±5. Каждое из них — следствие другого (уравнения равносильны).
3) Первое: x² − 3x + 2 = 0 при x ≠ 1, откуда (x − 1)(x − 2) = 0 и корень только x = 2. Второе: x = 1 и x = 2. Второе уравнение — следствие первого.
4) Первое: область определения x > 2; x (x − 2) = 8, x² − 2x − 8 = 0, x = 4 или x = −2; подходит x = 4. Второе: x (x − 2) > 0, т. е. x < 0 или x > 2; корни x = 4 и x = −2 (оба подходят). Второе уравнение — следствие первого.

1) ОДЗ: x − 5 > 0 и x + 2 > 0, т. е. x > 5. Тогда log₂ ((x − 5)(x + 2)) = 3, (x − 5)(x + 2) = 8, x² − 3x − 18 = 0, x = 6 или x = −3. Условию x > 5 удовлетворяет только x = 6.
2) ОДЗ: x > 2. (x − 2)(x + 6) = 9, x² + 4x − 21 = 0, x = 3 или x = −7. Подходит x = 3.
3) ОДЗ: x > √3. (x + √3)(x − √3) = 1, x² − 3 = 1, x² = 4, x = ±2. Подходит x = 2.
4) ОДЗ: x > 1. (x − 1)(x + 1) = 1, x² = 2, x = ±√2. Подходит x = √2.
Ответ: 1) 6; 2) 3; 3) 2; 4) √2.

1) ОДЗ: x − 1 > 0 и 2x − 11 > 0, т. е. x > 5,5. Тогда lg ((x − 1)/(2x − 11)) = lg 2, (x − 1)/(2x − 11) = 2, x − 1 = 4x − 22, x = 7. Условие x > 5,5 выполнено.
2) ОДЗ: 3x − 1 > 0 и x + 5 > 0, т. е. x > 1/3. (3x − 1)/(x + 5) = 5, 3x − 1 = 5x + 25, x = −13 — не входит в ОДЗ. Корней нет.
3) ОДЗ: x > 0 и x³ − x = x (x − 1)(x + 1) > 0, т. е. x > 1. Тогда (x³ − x)/x = 3, x² − 1 = 3, x² = 4, x = 2 (x = −2 не подходит).
Ответ: 1) 7; 2) корней нет; 3) 2.

1) ОДЗ: x > 0 (из lg (5x)) и x² + x − 5 > 0. Правая часть: lg (5x) + lg (1/(5x)) = lg 1 = 0. Значит, lg (x² + x − 5) = 0, x² + x − 5 = 1, x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3. Условию x > 0 удовлетворяет x = 2; при этом x² + x − 5 = 1 > 0.
2) ОДЗ: x > 0 и x² − 4x − 1 > 0. Правая часть: lg (8x/(4x)) = lg 2. Тогда lg (x² − 4x − 1) = 2 lg 2 = lg 4, x² − 4x − 1 = 4, x² − 4x − 5 = 0, x = 5 или x = −1. Подходит x = 5 (x > 0, 25 − 20 − 1 = 4 > 0).
Ответ: 1) 2; 2) 5.

Приравниваем выражения под знаком логарифма и проверяем, что они положительны.
1) 5x + 3 = 7x + 5, x = −1. При x = −1 имеем 5x + 3 = −2 < 0, логарифм не определён. Корней нет.
2) 3x − 1 = 6x + 8, x = −3. При x = −3 имеем 3x − 1 = −10 < 0. Корней нет.
Ответ: 1) корней нет; 2) корней нет.

Переносим всё в одну часть и раскладываем на множители.
1) ОДЗ: x > 1. log₇ x (log₇ (x − 1) − 1) = 0. Либо log₇ x = 0, x = 1 — не входит в ОДЗ; либо log₇ (x − 1) = 1, x − 1 = 7, x = 8.
2) ОДЗ: x > 2/3. log_(1/3) (3x − 2) (log_(1/3) x − 1) = 0. Либо 3x − 2 = 1, x = 1; либо log_(1/3) x = 1, x = 1/3 — не входит в ОДЗ. Корень x = 1.
3) ОДЗ: x > 0. log₂ (3x + 1)(log₃ x − 2) = 0. Либо 3x + 1 = 1, x = 0 — не входит в ОДЗ; либо log₃ x = 2, x = 9.
4) ОДЗ: x > 2. Так как log_(√3) (x − 2) = 2 log₃ (x − 2), получаем 2 log₃ (x − 2) log₅ x = 2 log₃ (x − 2), т. е. log₃ (x − 2)(log₅ x − 1) = 0. Либо x − 2 = 1, x = 3; либо log₅ x = 1, x = 5. Оба значения больше 2.
Ответ: 1) 8; 2) 1; 3) 9; 4) 3 и 5.

1) ОДЗ: x > 0, y > 0. Из первого уравнения lg (x/y) = 2, x/y = 100, x = 100y. Подставляем во второе: 100y − 10y = 900, y = 10, x = 1000. Оба числа положительны.
2) ОДЗ: x > 0, y > 0. Из первого уравнения log₃ (xy) = 2, xy = 9, y = 9/x. Подставляем во второе: 9x − 18/x + 9 = 0, умножаем на x/9: x² + x − 2 = 0, x = 1 или x = −2. Условию x > 0 удовлетворяет x = 1, тогда y = 9.
Ответ: 1. (1000; 10); 2. (1; 9).

1) ОДЗ: x ≠ 0. x² = 5⁰ = 1, x = ±1.
2) ОДЗ: x ≠ 0. x² = 4³ = 64, x = ±8.
3) ОДЗ: x³ > 0, т. е. x > 0. x³ = 1, x = 1.
4) ОДЗ: x > 0. x³ = 4⁶ = 4096, x = 16.
5) ОДЗ: x > 0 (нужны 4x > 0 и x³ > 0). lg (x⁴ · 4x) = lg (100 x³), 4x⁵ = 100 x³, x³ (x² − 25) = 0, x² = 25, x = 5 (x = −5 не входит в ОДЗ).
6) ОДЗ: x > 0 (нужны lg x и lg (9x)). lg x³ = lg (9x), x³ = 9x, x (x² − 9) = 0, x = 3 (x = 0 и x = −3 не входят в ОДЗ).
Ответ: 1) ±1; 2) ±8; 3) 1; 4) 16; 5) 5; 6) 3.

1) ОДЗ: (x + 2)(x + 3) > 0, т. е. x < −3 или x > −2; (x − 2)/(x + 3) > 0, т. е. x < −3 или x > 2. Вместе: x < −3 или x > 2. Складываем логарифмы: log₄ ((x + 2)(x + 3)(x − 2)/(x + 3)) = 2, (x + 2)(x − 2) = 16, x² = 20, x = ±2√5. Оба значения лежат в ОДЗ: 2√5 ≈ 4,47 > 2, −2√5 ≈ −4,47 < −3.
2) ОДЗ: (x − 1)/(x + 4) > 0 ⇒ x < −4 или x > 1 (второй логарифм при этом тоже определён). log₂ ((x − 1)/(x + 4) · (x − 1)(x + 4)) = 2, (x − 1)² = 4, x − 1 = ±2, x = 3 или x = −1. Условию ОДЗ удовлетворяет только x = 3.
3) ОДЗ: x ≠ 0 и x/(x + 6) > 0, т. е. x < −6 или x > 0. log₃ (x² (x + 6)/x) = 3, x (x + 6) = 27, x² + 6x − 27 = 0, x = 3 или x = −9. Оба значения входят в ОДЗ.
4) ОДЗ: (x + 4)/x > 0 ⇒ x < −4 или x > 0 (x² > 0 при этом выполнено). log₂ ((x + 4)/x · x²) = 5, x (x + 4) = 32, x² + 4x − 32 = 0, x = 4 или x = −8. Оба значения входят в ОДЗ.
Ответ: 1) ±2√5; 2) 3; 3) 3 и −9; 4) 4 и −8.