Упражнения 345–353 — Глава IV. § 19. Логарифмические уравнения

1) ОДЗ: x > 0. 2^(3 lg x) = 8^(lg x), поэтому 8^(lg x) · 5^(lg x) = 40^(lg x) = 1600 = 40², lg x = 2, x = 100.
2) ОДЗ: x > 0. 2^(log₃ x²) = 2^(2 log₃ x) = 4^(log₃ x). Тогда 4^(log₃ x) · 5^(log₃ x) = 20^(log₃ x) = 400 = 20², log₃ x = 2, x = 9.
3) ОДЗ: x > 0, lg x ≠ −4, lg x ≠ 2. Пусть t = lg x. Тогда 1/(4 + t) + 2/(2 − t) = 1; (2 − t) + 2 (4 + t) = (4 + t)(2 − t); 10 + t = 8 − 2t − t²; t² + 3t + 2 = 0; t = −1 или t = −2. Значит, x = 0,1 или x = 0,01.
4) ОДЗ: x > 0, lg x ≠ 5, lg x ≠ −1. Пусть t = lg x. Тогда (1 + t) + 2 (5 − t) = (5 − t)(1 + t); 11 − t = 5 + 4t − t²; t² − 5t + 6 = 0; t = 2 или t = 3. Значит, x = 100 или x = 1000.
Ответ: 1) 100; 2) 9; 3) 0,1 и 0,01; 4) 100 и 1000.

1) Показательная функция с основанием 2 монотонна, поэтому 2^u = 2^v ⇔ u = v при любых значениях. Уравнения равносильны.
2) Если log₃ (x − 1) = 2, то по определению логарифма x − 1 = 3² = 9. Обратно, если x − 1 = 9, то x − 1 > 0 и log₃ (x − 1) = log₃ 9 = 2. Корень один и тот же (x = 10) — уравнения равносильны.
Ответ: 1) да; 2) да.

1) ОДЗ: x > 0, y > 0. Складываем уравнения: 2 lg x = 12, lg x = 6, x = 10⁶. Вычитаем из второго первое: 2 lg y = −2, lg y = −1, y = 0,1.
2) ОДЗ: x > 0, y > 0. log₂ (1/y) = −log₂ y, поэтому первое уравнение: log₂ x − (1/2) log₂ y = 4. Из xy = 2 имеем y = 2/x, log₂ y = 1 − log₂ x. Подставляем: log₂ x − (1/2)(1 − log₂ x) = 4, (3/2) log₂ x = 9/2, log₂ x = 3, x = 8, y = 1/4.
Ответ: 1. (10⁶; 0,1); 2. (8; 1/4).

ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Используем log_x a = 1/log_a x и вводим замену.
1) Пусть t = log₂ x, t ≠ 0. Тогда t − 2/t = −1, t² + t − 2 = 0, t = 1 или t = −2. x = 2 или x = 1/4.
2) Пусть t = log₂ x. Тогда t + 1/t = 5/2, 2t² − 5t + 2 = 0, t = 2 или t = 1/2. x = 4 или x = √2.
3) Пусть t = log₃ x. Тогда t + 2/t = 3, t² − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2. x = 3 или x = 9.
4) Пусть t = log₃ x. Тогда t − 6/t = 1, t² − t − 6 = 0, t = 3 или t = −2. x = 27 или x = 1/9.
Ответ: 1) 2 и 1/4; 2) 4 и √2; 3) 3 и 9; 4) 27 и 1/9.

ОДЗ: x > 0, x ≠ 1 (основания логарифмов положительны и не равны 1). При x > 0: log_(x²) b = (1/2) log_x b, log_(√x) b = 2 log_x b.
1) log_(x²) 9 = (1/2) log_x 9 = log_x 3; log_(√x) 4 = 2 log_x 4 = 4 log_x 2. Уравнение: log_x 3 + 4 log_x 2 = 2, log_x (3 · 2⁴) = 2, log_x 48 = 2, x² = 48, x = 4√3 (x > 0).
2) log_(x²) 16 = (1/2) log_x 16 = log_x 4; log_(√x) 7 = 2 log_x 7. Уравнение: log_x 4 − 2 log_x 7 = 2, log_x (4/49) = 2, x² = 4/49, x = 2/7 (x > 0, x ≠ 1).
Ответ: 1) 4√3; 2) 2/7.

1) Запишем x = lg 10^x: lg ((6 · 5^x − 25 · 20^x)/25) = lg 10^x. Тогда 6 · 5^x − 25 · 20^x = 25 · 10^x (при этом аргумент логарифма положителен, так как равен 25 · 10^x > 0). Делим на 5^x: 6 − 25 · 4^x = 25 · 2^x. Пусть u = 2^x > 0: 25u² + 25u − 6 = 0, u = 1/5 или u = −6/5. Подходит u = 1/5, 2^x = 1/5, x = −log₂ 5.
2) x − x lg 5 = x (1 − lg 5) = x lg 2 = lg 2^x. Тогда 2^x + x + 4 = 2^x, x = −4. Проверка: 2^(−4) + (−4) + 4 = 1/16 > 0, аргумент положителен.
Ответ: 1) −log₂ 5; 2) −4.

1) ОДЗ: x > 1. Пусть a = lg (x + 1), b = lg (x − 1). Тогда a² − ab − 2b² = 0, (a − 2b)(a + b) = 0.
Если a = 2b: lg (x + 1) = lg (x − 1)², x + 1 = x² − 2x + 1, x² − 3x = 0, x = 3 (x = 0 не входит в ОДЗ).
Если a = −b: lg ((x + 1)(x − 1)) = 0, x² − 1 = 1, x = √2 (x > 1).
2) ОДЗ: 4 − x > 0, 2x > 0, 2x ≠ 1, т. е. 0 < x < 4, x ≠ 1/2. Пусть a = log₅ (4 − x), b = log₅ (2x), b ≠ 0. Так как log_(2x) (4 − x) = a/b, уравнение принимает вид 2a²/b = 3a − b, т. е. 2a² − 3ab + b² = 0, (2a − b)(a − b) = 0.
Если a = b: 4 − x = 2x, x = 4/3.
Если b = 2a: 2x = (4 − x)², x² − 10x + 16 = 0, x = 2 или x = 8; x = 8 не входит в ОДЗ.
Все найденные значения (4/3 и 2) лежат в ОДЗ и дают b ≠ 0.
Ответ: 1) √2 и 3; 2) 4/3 и 2.

1) ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Правая часть 1/log₅ x должна быть положительной (левая часть неотрицательна и дробь не равна нулю), поэтому log₅ x > 0. Пусть t = log₅ x > 0. Тогда log_x 25 = 2/t, √(2/t + 3) = 1/t. Возводим в квадрат: 2/t + 3 = 1/t², 3t² + 2t − 1 = 0, t = 1/3 или t = −1. Условию t > 0 удовлетворяет t = 1/3, x = 5^(1/3) = ∛5. Проверка: log_x 25 = 6, √9 = 3 = 1/t.
2) ОДЗ: x > 0. Пусть t = log₂ x, тогда log₂ (2x) = 1 + t. Уравнение равносильно системе: 1 + t ≥ 0 и 2t² + 3t − 5 = (1 + t)². Второе: t² + t − 6 = 0, t = 2 или t = −3. Условию 1 + t ≥ 0 удовлетворяет t = 2, x = 4. Проверка: √(8 + 6 − 5) = 3 = log₂ 8.
Ответ: 1) ∛5; 2) 4.

ОДЗ: x > 0, a > 0, a ≠ 1. Так как log₂₅ x = (1/2) log₅ x, а log_a x = log₅ x / log₅ a, получаем 5 log₅ x − 2 log₅ x + log₅ x / log₅ a = a. Пусть t = log₅ x (t принимает любое действительное значение при x > 0). Тогда t (3 + 1/log₅ a) = a, т. е. t · (3 log₅ a + 1)/log₅ a = a.
Если 3 log₅ a + 1 ≠ 0, то t = a log₅ a/(3 log₅ a + 1) — единственное значение, и ему соответствует x = 5^t > 0, т. е. уравнение имеет корень.
Если 3 log₅ a + 1 = 0, т. е. a = 5^(−1/3), то получаем 0 = a, а это неверно, так как a > 0: корней нет.
Ответ: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 5^(−1/3) = 1/∛5.