Упражнения 356–367 — Глава IV. § 20. Логарифмические неравенства

1) lg 8 + 1 = lg 8 + lg 10 = lg 80. Основание 10 > 1: x > 80.
2) 2 − lg 4 = lg 100 − lg 4 = lg 25. Основание больше 1: x > 25.
3) 0 < x − 4 < 2, откуда 4 < x < 6.
4) Основание 1/5 < 1, знак меняется: 0 < 3x − 5 < x + 1. Из 3x − 5 > 0: x > 5/3; из 3x − 5 < x + 1: x < 3. Итак, 5/3 < x < 3.
Ответ: 1) x > 80; 2) x > 25; 3) 4 < x < 6; 4) 5/3 < x < 3.

1) ОДЗ: x − 3 > 0 и x − 5 > 0, т. е. x > 5. Неравенство: log₁₅ ((x − 3)(x − 5)) < 1, (x − 3)(x − 5) < 15, x² − 8x < 0, 0 < x < 8. С учётом ОДЗ: 5 < x < 8.
2) ОДЗ: x − 2 > 0 и 12 − x > 0, т. е. 2 < x < 12. Неравенство: log_(1/3) ((x − 2)(12 − x)) ≥ −2 = log_(1/3) 9. Основание меньше 1: (x − 2)(12 − x) ≤ 9, −x² + 14x − 24 ≤ 9, x² − 14x + 33 ≥ 0, (x − 3)(x − 11) ≥ 0, x ≤ 3 или x ≥ 11. С учётом ОДЗ: 2 < x ≤ 3 или 11 ≤ x < 12.
Ответ: 1. (5; 8); 2. (2; 3] ∪ [11; 12).

1) x² − 4x + 3 > 0, (x − 1)(x − 3) > 0, x < 1 или x > 3.
2) (3x + 2)/(1 − x) > 0; нули числителя и знаменателя: −2/3 и 1; методом интервалов получаем −2/3 < x < 1.
3) Нужно: x > 0, x + 2 > 0 и lg x + lg (x + 2) ≥ 0, т. е. lg (x (x + 2)) ≥ 0, x² + 2x ≥ 1, x² + 2x − 1 ≥ 0, x ≤ −1 − √2 или x ≥ −1 + √2. С учётом x > 0: x ≥ √2 − 1.
4) Нужно: x > 1 и lg ((x − 1)(x + 1)) ≥ 0, x² − 1 ≥ 1, x² ≥ 2, x ≥ √2 (при x > 1).
Ответ: 1. (−∞; 1) ∪ (3; +∞); 2. (−2/3; 1); 3) [√2 − 1; +∞); 4) [√2; +∞).

1) Основание 5 > 1: (3x − 2)/(x² + 1) > 1. Так как x² + 1 > 0, это равносильно 3x − 2 > x² + 1, x² − 3x + 3 < 0. Дискриминант 9 − 12 < 0, парабола лежит выше оси x, решений нет.
2) Основание 1/2 < 1: (2x² + 3)/(x − 7) > 1 (это условие включает положительность аргумента). (2x² + 3 − x + 7)/(x − 7) > 0, (2x² − x + 10)/(x − 7) > 0. Числитель положителен при всех x (дискриминант 1 − 80 < 0), значит x − 7 > 0, x > 7.
3) Основание больше 1: 0 < 3x − 4 < 2x + 1. Из 3x − 4 > 0: x > 4/3; из 3x − 4 < 2x + 1: x < 5. Итак, 4/3 < x < 5.
4) Основание меньше 1: 0 < 2x + 3 < x + 1. Из 2x + 3 < x + 1: x < −2, из 2x + 3 > 0: x > −3/2. Эти условия несовместны, решений нет.
Ответ: 1) решений нет; 2. (7; +∞); 3. (4/3; 5); 4) решений нет.

1) Основание 8 > 1: 0 < x² − 4x + 3 < 8. Из x² − 4x + 3 > 0: x < 1 или x > 3. Из x² − 4x − 5 < 0: −1 < x < 5. Пересечение: −1 < x < 1 или 3 < x < 5.
2) x² − 3x + 2 ≥ 6, x² − 3x − 4 ≥ 0, (x − 4)(x + 1) ≥ 0, x ≤ −1 или x ≥ 4.
3) x² + 2x > 3, x² + 2x − 3 > 0, (x + 3)(x − 1) > 0, x < −3 или x > 1.
4) Основание меньше 1: −1 = log_(2/3) 3/2, поэтому x² − 2,5x > 3/2, 2x² − 5x − 3 > 0, (2x + 1)(x − 3) > 0, x < −1/2 или x > 3.
Ответ: 1. (−1; 1) ∪ (3; 5); 2. (−∞; −1] ∪ [4; +∞); 3. (−∞; −3) ∪ (1; +∞); 4. (−∞; −0,5) ∪ (3; +∞).

1) x² − 8x + 13 > 1, x² − 8x + 12 > 0, (x − 2)(x − 6) > 0, x < 2 или x > 6.
2) Основание меньше 1: x² − 5x + 7 > 1, x² − 5x + 6 > 0, (x − 2)(x − 3) > 0, x < 2 или x > 3.
3) 0 < x² + 2x < 8. Из x² + 2x > 0: x < −2 или x > 0. Из x² + 2x − 8 < 0: −4 < x < 2. Пересечение: −4 < x < −2 или 0 < x < 2.
4) Основание меньше 1, −3 = log_(1/2) 8: 0 < x² − 5x − 6 ≤ 8. Из x² − 5x − 6 > 0: x < −1 или x > 6. Из x² − 5x − 14 ≤ 0: −2 ≤ x ≤ 7. Пересечение: −2 ≤ x < −1 или 6 < x ≤ 7.
Ответ: 1. (−∞; 2) ∪ (6; +∞); 2. (−∞; 2) ∪ (3; +∞); 3. (−4; −2) ∪ (0; 2); 4) [−2; −1) ∪ (6; 7].

1) Внешний логарифм имеет основание 1/3 < 1 и log_(1/3) u > 0 ⇔ 0 < u < 1, где u = log₂ x² (это условие включает определённость). 0 < log₂ x² < 1 ⇔ 1 < x² < 2 ⇔ 1 < |x| < √2. Ответ: −√2 < x < −1 или 1 < x < √2.
2) Внутренний логарифм должен быть положительным (аргумент внешнего): log_(1/2) (x² − 1) > 0 ⇔ 0 < x² − 1 < 1. Основание 3 > 1: log_(1/2) (x² − 1) < 3 ⇔ x² − 1 > (1/2)³ = 1/8. Итак, 1/8 < x² − 1 < 1, т. е. 9/8 < x² < 2, откуда 3/(2√2) < |x| < √2 (3/(2√2) = 3√2/4). Ответ: −√2 < x < −3/(2√2) или 3/(2√2) < x < √2.

1) ОДЗ: x > 0 и x − 2 > 0, т. е. x > 2. Так как log₅ t = −log_(0,2) t, получаем log_(0,2) x + log_(0,2) (x − 2) < log_(0,2) 3, т. е. log_(0,2) (x (x − 2)) < log_(0,2) 3. Основание меньше 1: x (x − 2) > 3, x² − 2x − 3 > 0, (x − 3)(x + 1) > 0, x < −1 или x > 3. С учётом ОДЗ: x > 3.
2) ОДЗ: x > 0 и x − 1 > 0, т. е. x > 1. Так как log_(0,1) t = −lg t, неравенство принимает вид lg x + lg (x − 1) > −lg 0,5 = lg 2, т. е. lg (x (x − 1)) > lg 2. Основание больше 1: x² − x − 2 > 0, (x − 2)(x + 1) > 0, x < −1 или x > 2. С учётом ОДЗ: x > 2.
Ответ: 1) x > 3; 2) x > 2.

ОДЗ: x > 0.
1) Пусть t = log_(0,2) x. Тогда t² − 5t + 6 < 0, 2 < t < 3. Основание 0,2 < 1, поэтому 2 < log_(0,2) x < 3 ⇔ 0,2³ < x < 0,2², т. е. 0,008 < x < 0,04.
2) Пусть t = log_(0,1) x. Тогда t² + 3t − 4 > 0, (t + 4)(t − 1) > 0, t < −4 или t > 1. Основание меньше 1: t > 1 ⇔ x < 0,1; t < −4 ⇔ x > 0,1^(−4) = 10 000. С учётом ОДЗ: 0 < x < 0,1 или x > 10 000.
Ответ: 1. (0,008; 0,04); 2. (0; 0,1) ∪ (10 000; +∞).

1) ОДЗ: x > 0, lg x ≠ 5, lg x ≠ −1. Пусть t = lg x. Переносим 1 влево: ((1 + t) + 2 (5 − t) − (5 − t)(1 + t))/((5 − t)(1 + t)) < 0; числитель 11 − t − 5 − 4t + t² = t² − 5t + 6 = (t − 2)(t − 3). Получаем (t − 2)(t − 3)/((t − 5)(t + 1)) > 0. Метод интервалов по точкам −1, 2, 3, 5: t < −1, 2 < t < 3, t > 5. Значит, 0 < x < 0,1, 100 < x < 1000 или x > 10⁵.
2) ОДЗ: 2 − 3^(−x) > 0, 3^(−x) < 2, x > −log₃ 2. Правая часть равна log₃ (3^(x+1)/4). Основание 3 > 1: 2 − 3^(−x) < 3^(x+1)/4. Пусть u = 3^x > 0: 2 − 1/u < 3u/4, 3u² − 8u + 4 > 0, (3u − 2)(u − 2) > 0, u < 2/3 или u > 2. Из ОДЗ: u > 1/2. Итак, 1/2 < u < 2/3 или u > 2, откуда log₃ (1/2) < x < log₃ (2/3) или x > log₃ 2.
3) Основание: x² − 3 > 0, x² − 3 ≠ 1 (x ≠ ±2); аргумент: 4x + 7 > 0, x > −7/4. Так как √3 ≈ 1,732 < 7/4 = 1,75, ОДЗ: −7/4 < x < −√3 или x > √3, x ≠ 2. Неравенство log_b a > 0 равносильно (b − 1)(a − 1) > 0: (x² − 4)(4x + 6) > 0. Корни −2, −3/2, 2; знаки: «+» при x > 2, «−» при −3/2 < x < 2, «+» при −2 < x < −3/2, «−» при x < −2. С учётом ОДЗ: интервал (−7/4; −√3) целиком лежит в (−2; −3/2), поэтому подходит; из x > √3 подходит x > 2. Итак, −7/4 < x < −√3 или x > 2.
4) ОДЗ: аргумент √6 − 2x > 0 ⇒ x < √6/2 ≈ 1,225; основание b = (x − 1)/(5x − 6) > 0 ⇒ x < 1 или x > 6/5, и b ≠ 1 ⇒ x ≠ 5/4 (это значение вне x < √6/2). ОДЗ: x < 1 или 6/5 < x < √6/2. Неравенство log_b a < 0 равносильно (b − 1)(a − 1) < 0, где b − 1 = (5 − 4x)/(5x − 6), a − 1 = √6 − 2x − 1. При x < 1 имеем 5 − 4x > 0, 5x − 6 < 0, b − 1 < 0, нужно a − 1 > 0: x < (√6 − 1)/2. При 6/5 < x < √6/2: b − 1 > 0, нужно a − 1 < 0: x > (√6 − 1)/2 ≈ 0,72 — выполнено. Итак, x < (√6 − 1)/2 или 6/5 < x < √6/2.
Ответ: 1. (0; 0,1) ∪ (100; 1000) ∪ (10⁵; +∞); 2. (log₃ 1/2; log₃ 2/3) ∪ (log₃ 2; +∞); 3. (−7/4; −√3) ∪ (2; +∞); 4. (−∞; (√6 − 1)/2) ∪ (6/5; √6/2).

Пусть u = 3^x > 0, 9^x = u². Тогда 2/(u − 1) ≤ 7/(u² − 2), ОДЗ: u ≠ 1, u ≠ √2. Переносим: (2 (u² − 2) − 7 (u − 1))/((u − 1)(u² − 2)) ≤ 0, (2u² − 7u + 3)/((u − 1)(u² − 2)) ≤ 0, т. е. (2u − 1)(u − 3)/((u − 1)(u − √2)(u + √2)) ≤ 0. При u > 0 множитель u + √2 > 0, поэтому (2u − 1)(u − 3)/((u − 1)(u − √2)) ≤ 0. Метод интервалов по точкам 1/2, 1, √2, 3 (точки 1/2 и 3 входят, 1 и √2 — нет): 1/2 ≤ u < 1 или √2 < u ≤ 3. Возвращаемся к x: 3^x ≥ 1/2 и 3^x < 1: −log₃ 2 ≤ x < 0; 3^x > √2 и 3^x ≤ 3: (1/2) log₃ 2 < x ≤ 1.
Ответ: −log₃ 2 ≤ x < 0, log₃ √2 < x ≤ 1.

Пусть u = 4^x > 0. Тогда 16^(1−x) = 16/u². ОДЗ: 16/u² − 1 ≥ 0, u ≤ 4 (x ≤ 1). √(16/u² − 1) = √(16 − u²)/u. Неравенство: √(16 − u²) + 2u < 4 |u − 1|, 0 < u ≤ 4.
Случай u ≥ 1: √(16 − u²) < 2u − 4. Нужно 2u − 4 > 0, u > 2, и 16 − u² < 4u² − 16u + 16, 5u² − 16u > 0, u > 16/5. С учётом u ≤ 4: 16/5 < u ≤ 4.
Случай 0 < u < 1: √(16 − u²) < 4 − 6u. Нужно 4 − 6u > 0, u < 2/3, и 16 − u² < 16 − 48u + 36u², 37u² − 48u > 0, u > 48/37 — несовместно с u < 2/3. Решений нет.
Итак, 16/5 < 4^x ≤ 4, откуда log₄ (16/5) < x ≤ 1, т. е. 2 − log₄ 5 < x ≤ 1.
Ответ: 2 − log₄ 5 < x ≤ 1.