Глава IV. Упражнения к главе IV — с. 113
368. Вычислить:
1) log₁₅ 225;
2) log₄ 256;
3) log₃ (1/243);
4) log₇ (1/343).
1) log₁₅ 225;
2) log₄ 256;
3) log₃ (1/243);
4) log₇ (1/343).
Используем определение: log_a b = c, если a^c = b.
1) 225 = 15², поэтому log₁₅ 225 = 2.
2) 256 = 4⁴, поэтому log₄ 256 = 4.
3) 1/243 = 3^(−5), поэтому log₃ (1/243) = −5.
4) 1/343 = 7^(−3), поэтому log₇ (1/343) = −3.
Ответ: 1) 2; 2) 4; 3) −5; 4) −3.
1) 225 = 15², поэтому log₁₅ 225 = 2.
2) 256 = 4⁴, поэтому log₄ 256 = 4.
3) 1/243 = 3^(−5), поэтому log₃ (1/243) = −5.
4) 1/343 = 7^(−3), поэтому log₇ (1/343) = −3.
Ответ: 1) 2; 2) 4; 3) −5; 4) −3.
369. Вычислить:
1) log_(1/4) 64;
2) log_(1/3) 81;
3) log_(1/3) (1/27);
4) log_(1/2) (1/64).
1) log_(1/4) 64;
2) log_(1/3) 81;
3) log_(1/3) (1/27);
4) log_(1/2) (1/64).
1) (1/4)^x = 64; 4^(−x) = 4³, откуда x = −3.
2) (1/3)^x = 81; 3^(−x) = 3⁴, откуда x = −4.
3) (1/3)^x = 1/27 = (1/3)³, откуда x = 3.
4) (1/2)^x = 1/64 = (1/2)⁶, откуда x = 6.
Ответ: 1) −3; 2) −4; 3) 3; 4) 6.
2) (1/3)^x = 81; 3^(−x) = 3⁴, откуда x = −4.
3) (1/3)^x = 1/27 = (1/3)³, откуда x = 3.
4) (1/2)^x = 1/64 = (1/2)⁶, откуда x = 6.
Ответ: 1) −3; 2) −4; 3) 3; 4) 6.
370. Вычислить:
1) log₁₁ 1;
2) log₇ 7;
3) log₁₆ 64;
4) log₂₇ 9.
1) log₁₁ 1;
2) log₇ 7;
3) log₁₆ 64;
4) log₂₇ 9.
1) log_a 1 = 0 при любом a > 0, a ≠ 1, поэтому log₁₁ 1 = 0.
2) log_a a = 1, поэтому log₇ 7 = 1.
3) 64 = 2⁶, 16 = 2⁴: log₁₆ 64 = log₂ 64 / log₂ 16 = 6/4 = 3/2.
4) 9 = 3², 27 = 3³: log₂₇ 9 = 2/3.
Ответ: 1) 0; 2) 1; 3) 3/2; 4) 2/3.
2) log_a a = 1, поэтому log₇ 7 = 1.
3) 64 = 2⁶, 16 = 2⁴: log₁₆ 64 = log₂ 64 / log₂ 16 = 6/4 = 3/2.
4) 9 = 3², 27 = 3³: log₂₇ 9 = 2/3.
Ответ: 1) 0; 2) 1; 3) 3/2; 4) 2/3.
371. Вычислить:
1) (0,1)^(−lg 0,3);
2) 10^(−lg 4);
3) 5^(−log₅ 3);
4) (1/6)^(−log₆ 4).
1) (0,1)^(−lg 0,3);
2) 10^(−lg 4);
3) 5^(−log₅ 3);
4) (1/6)^(−log₆ 4).
Применяем основное логарифмическое тождество a^(log_a b) = b (b > 0).
1) (0,1)^(−lg 0,3) = (10^(−1))^(−lg 0,3) = 10^(lg 0,3) = 0,3.
2) 10^(−lg 4) = (10^(lg 4))^(−1) = 4^(−1) = 1/4.
3) 5^(−log₅ 3) = (5^(log₅ 3))^(−1) = 3^(−1) = 1/3.
4) (1/6)^(−log₆ 4) = 6^(log₆ 4) = 4.
Ответ: 1) 0,3; 2) 1/4; 3) 1/3; 4) 4.
1) (0,1)^(−lg 0,3) = (10^(−1))^(−lg 0,3) = 10^(lg 0,3) = 0,3.
2) 10^(−lg 4) = (10^(lg 4))^(−1) = 4^(−1) = 1/4.
3) 5^(−log₅ 3) = (5^(log₅ 3))^(−1) = 3^(−1) = 1/3.
4) (1/6)^(−log₆ 4) = 6^(log₆ 4) = 4.
Ответ: 1) 0,3; 2) 1/4; 3) 1/3; 4) 4.
372. Вычислить:
1) 4 log_(1/2) 3 − (2/3) log_(1/2) 27 − 2 log_(1/2) 6;
2) (2/3) lg 0,001 + lg ∛1000 − (3/5) lg √10000.
1) 4 log_(1/2) 3 − (2/3) log_(1/2) 27 − 2 log_(1/2) 6;
2) (2/3) lg 0,001 + lg ∛1000 − (3/5) lg √10000.
1) Пусть a = log_(1/2) 3. Тогда (2/3) log_(1/2) 27 = (2/3) · 3a = 2a; log_(1/2) 6 = log_(1/2) 2 + log_(1/2) 3 = −1 + a. Получаем 4a − 2a − 2(−1 + a) = 4a − 2a + 2 − 2a = 2.
2) lg 0,001 = −3; lg ∛1000 = lg 10 = 1; lg √10000 = lg 100 = 2. Тогда (2/3)(−3) + 1 − (3/5) · 2 = −2 + 1 − 6/5 = −11/5 = −2,2.
Ответ: 1) 2; 2) −2,2.
2) lg 0,001 = −3; lg ∛1000 = lg 10 = 1; lg √10000 = lg 100 = 2. Тогда (2/3)(−3) + 1 − (3/5) · 2 = −2 + 1 − 6/5 = −11/5 = −2,2.
Ответ: 1) 2; 2) −2,2.
373. Вычислить с помощью микрокалькулятора:
1) log₈ 7;
2) log₃ 12;
3) log_(1,3) 0,17;
4) log_(0,3) 8,1.
1) log₈ 7;
2) log₃ 12;
3) log_(1,3) 0,17;
4) log_(0,3) 8,1.
Переходим к десятичным логарифмам: log_a b = lg b / lg a.
1) log₈ 7 = lg 7 / lg 8 ≈ 0,8451 / 0,9031 ≈ 0,936.
2) log₃ 12 = lg 12 / lg 3 ≈ 1,0792 / 0,4771 ≈ 2,262.
3) log_(1,3) 0,17 = lg 0,17 / lg 1,3 ≈ −0,7696 / 0,1139 ≈ −6,754.
4) log_(0,3) 8,1 = lg 8,1 / lg 0,3 ≈ 0,9085 / (−0,5229) ≈ −1,737.
Ответ: 1) ≈ 0,936; 2) ≈ 2,262; 3) ≈ −6,754; 4) ≈ −1,737.
Оговорка: при округлении до сотых в пункте 4) получается −1,74, в ответах учебника указано −1,73 (третий знак отброшен).
1) log₈ 7 = lg 7 / lg 8 ≈ 0,8451 / 0,9031 ≈ 0,936.
2) log₃ 12 = lg 12 / lg 3 ≈ 1,0792 / 0,4771 ≈ 2,262.
3) log_(1,3) 0,17 = lg 0,17 / lg 1,3 ≈ −0,7696 / 0,1139 ≈ −6,754.
4) log_(0,3) 8,1 = lg 8,1 / lg 0,3 ≈ 0,9085 / (−0,5229) ≈ −1,737.
Ответ: 1) ≈ 0,936; 2) ≈ 2,262; 3) ≈ −6,754; 4) ≈ −1,737.
Оговорка: при округлении до сотых в пункте 4) получается −1,74, в ответах учебника указано −1,73 (третий знак отброшен).
374. Построить график функции:
1) y = log₄ x;
2) y = log_(1/4) x.
Какая из данных функций является возрастающей? убывающей? При каких значениях x каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? значения, равные нулю?
1) y = log₄ x;
2) y = log_(1/4) x.
Какая из данных функций является возрастающей? убывающей? При каких значениях x каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? значения, равные нулю?
Обе функции определены при x > 0; графики проходят через точку (1; 0). Строим по точкам.
1) y = log₄ x: x = 1/4, 1, 4, 16 дают y = −1, 0, 1, 2.
2) y = log_(1/4) x: x = 1/4, 1, 4, 16 дают y = 1, 0, −1, −2. Графики симметричны относительно оси Ox.
Свойства.
y = log₄ x: основание 4 > 1, функция возрастающая; y > 0 при x > 1; y < 0 при 0 < x < 1; y = 0 при x = 1.
y = log_(1/4) x: основание 0 < 1/4 < 1, функция убывающая; y > 0 при 0 < x < 1; y < 0 при x > 1; y = 0 при x = 1.
1) y = log₄ x: x = 1/4, 1, 4, 16 дают y = −1, 0, 1, 2.
2) y = log_(1/4) x: x = 1/4, 1, 4, 16 дают y = 1, 0, −1, −2. Графики симметричны относительно оси Ox.
Свойства.
y = log₄ x: основание 4 > 1, функция возрастающая; y > 0 при x > 1; y < 0 при 0 < x < 1; y = 0 при x = 1.
y = log_(1/4) x: основание 0 < 1/4 < 1, функция убывающая; y > 0 при 0 < x < 1; y < 0 при x > 1; y = 0 при x = 1.
375. Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:
1) y = log_(0,2) x;
2) y = log_(√5) x;
3) y = log_(1/e) x;
4) y = log_(√3/2) x.
1) y = log_(0,2) x;
2) y = log_(√5) x;
3) y = log_(1/e) x;
4) y = log_(√3/2) x.
Логарифмическая функция y = log_a x возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1.
1) a = 0,2 < 1 — убывающая.
2) a = √5 > 1 — возрастающая.
3) a = 1/e ≈ 0,37 < 1 — убывающая.
4) a = √3/2 ≈ 0,87 < 1 (так как 3/4 < 1) — убывающая.
1) a = 0,2 < 1 — убывающая.
2) a = √5 > 1 — возрастающая.
3) a = 1/e ≈ 0,37 < 1 — убывающая.
4) a = √3/2 ≈ 0,87 < 1 (так как 3/4 < 1) — убывающая.
376. Решить графически уравнение:
1) log₃ x = 5 − x;
2) log_(1/3) x = 3x.
1) log₃ x = 5 − x;
2) log_(1/3) x = 3x.
Строим в одной системе координат графики левой и правой частей; абсцисса точки пересечения — корень уравнения.
1) y = log₃ x возрастает, y = 5 − x убывает, значит, графики пересекаются не более чем в одной точке. Точки для y = log₃ x: (1; 0), (3; 1), (9; 2); для y = 5 − x: (0; 5), (5; 0). Пересечение при x ≈ 3,8 (проверка: log₃ 3,8 ≈ 1,215, 5 − 3,8 = 1,2).
2) y = log_(1/3) x убывает, y = 3x возрастает, точка пересечения единственная. Точки: (1/3; 1), (1; 0), (1/9; 2) для логарифма; (0; 0), (1/3; 1) для прямой. Графики пересекаются в точке (1/3; 1): log_(1/3) (1/3) = 1 = 3 · 1/3.
Ответ: 1) x ≈ 3,8; 2) x = 1/3.
1) y = log₃ x возрастает, y = 5 − x убывает, значит, графики пересекаются не более чем в одной точке. Точки для y = log₃ x: (1; 0), (3; 1), (9; 2); для y = 5 − x: (0; 5), (5; 0). Пересечение при x ≈ 3,8 (проверка: log₃ 3,8 ≈ 1,215, 5 − 3,8 = 1,2).
2) y = log_(1/3) x убывает, y = 3x возрастает, точка пересечения единственная. Точки: (1/3; 1), (1; 0), (1/9; 2) для логарифма; (0; 0), (1/3; 1) для прямой. Графики пересекаются в точке (1/3; 1): log_(1/3) (1/3) = 1 = 3 · 1/3.
Ответ: 1) x ≈ 3,8; 2) x = 1/3.
377. Найти область определения функции:
1) y = log₇ (5 − 2x);
2) y = log₂ (x² − 2x).
1) y = log₇ (5 − 2x);
2) y = log₂ (x² − 2x).
Аргумент логарифма должен быть положительным.
1) 5 − 2x > 0, 2x < 5, x < 2,5. Область определения: (−∞; 2,5).
2) x² − 2x > 0, x(x − 2) > 0; парабола с ветвями вверх, корни 0 и 2, значит, x < 0 или x > 2. Область определения: (−∞; 0) ∪ (2; +∞).
1) 5 − 2x > 0, 2x < 5, x < 2,5. Область определения: (−∞; 2,5).
2) x² − 2x > 0, x(x − 2) > 0; парабола с ветвями вверх, корни 0 и 2, значит, x < 0 или x > 2. Область определения: (−∞; 0) ∪ (2; +∞).
378. Решить уравнение:
1) log_(1/2) (7 − 8x) = −2;
2) lg (x² − 2) = lg x.
1) log_(1/2) (7 − 8x) = −2;
2) lg (x² − 2) = lg x.
1) По определению 7 − 8x = (1/2)^(−2) = 4, откуда 8x = 3, x = 3/8. Проверка: 7 − 3 = 4 > 0.
2) ОДЗ: x² − 2 > 0 и x > 0, т. е. x > √2. Логарифмы равны при равных аргументах: x² − 2 = x, x² − x − 2 = 0, x₁ = 2, x₂ = −1. Корень −1 не входит в ОДЗ, x = 2 > √2 подходит.
Ответ: 1) 3/8; 2) 2.
2) ОДЗ: x² − 2 > 0 и x > 0, т. е. x > √2. Логарифмы равны при равных аргументах: x² − 2 = x, x² − x − 2 = 0, x₁ = 2, x₂ = −1. Корень −1 не входит в ОДЗ, x = 2 > √2 подходит.
Ответ: 1) 3/8; 2) 2.